《锐角三角函数》教案

PAGEPAGE1《锐角三角函数》教案【教学目标】理解锐角三角函数的定义；会推导并熟记特殊角的三角函数；理解解直角三角形的含义，会解直角三角形；能运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。【教学重难点】教学重点是三角函数的定义及有关计算，在实际问题中创设直角三角形模型，解决实际问题；教学难点是会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。【教学过程】教学环节教学内容设计意图知识点复习知识点一：锐角三角函数的概念Rt△ABC∠C的对边．sinAAa斜边 c的余弦：cosA 的正切：tanA 锐角A的正弦、余弦、正切都叫的 .知识小结： .巩固锐角三角函数的定义，进一步理解锐角三角函数是在直角三角形中定义的，是两条线段的比值。例题精讲例1.在Rt△ABC中sinA3，则tanB .5引导学生画图，数形结合，利用三角函数的定义，巧设未知数。例题精讲例2.在Rt△ABC中，AB=5，BC=4，求sinA.知识点复习知识点二：特殊角的三角函数值知识小结： .巩固特殊角三角函数；教会学生用联想记忆法推导记忆。例题精讲例3.进一步巩固特殊角三角函数；特殊角三角函数可用于求角度。1in245tn60os30;(2)在Rt△ABC中BC=721求的度数.知识点复习知识点三：解直角三角形什么叫解直角三角形？ 。解直角三角形的常用关系：三边之间的关心: ;两锐角之间的关系: ；边角之间的关系: .3Rt△ABC中BC=721，解直角三角形.知识小结： .的常用关直角三角形。三角函数30°45°60三角函数30°45°60°sincostan例题精讲例4.t△CC＝90°⊥CD＝4osB4，5求AC= .在解决锐角三角函数的计算题时，要引导学生考虑边角关系，善于利例5.如图，在Rt△ABC中,∠C＝90°,D为BC上一用转化思点,AB=5,BD=1,tanB3.4想，例如化未知为已（1）求AD的长；（2）求sin的值.知，化斜为直等，已达到利用锐角三角函数定义求解。知识点复习知识点四：解直角三角形的应用仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是 ；视线在水平线下方的是 。画图：坡角、坡度坡角与 的夹角叫做坡角用字母表示.坡度坡面的 和 的比叫做坡度用字i表示，即： .坡水平面水平宽度l理解和巩固3.方向角O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线向上为北向O叫做观测的方向角.25°70°60°东北方向例题精讲6120的30°45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米?（结果保留根号）引导学生通过审题，数形结合，恰当引入辅助线，建立数7.A12B捕鱼船,75°1014海里的速度沿北偏东某方向出发，C处成功拦截捕鱼船.求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.角形求解，进一步得出实际问题的解，必要时利用方程思想。知识小结：利用解直角三角形的知识解决实际问题的过程（或通过做辅助线构造直角三角形边角之间的关系解有关的直角三角形；课堂总结课堂总结：画出本节课知识思维导图：从知识点和思想方法两个层面，对本节课进行总结。模拟训练一、选择题1.-3的倒数是()A.3 B.-3 C.13 D.-2.下列几何体的主视图与其他三个不同的是()3.已知反比例函数y=3a-6x的图象在第二、第四象限,则A.a≤2 B.a≥2 C.a<2 D.a>24.356578km精确到万位是()A.3.57×105km B.0.35×106kmC.3.6×105km D.4×105km5.下列图形是正方体的表面展开图的是()6.在数学课外小组活动中,小红同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是()A.30cm2 B.30πcm2C.60πcm2 D.120cm27.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤92 B.k<92 C.k≥92 D8.如图,有三条绳子穿过一片木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为()A.12 B.13 C.16 9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行10.(2024·四川宜宾中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A,B及边AC的中点M,若BC∥x轴,边AB与y轴交于点N,则ANAB的值为(A.13 B.C.15 D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其图象的对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac<b2,③2a+b=0,④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:千米)随时间x(单位:分)变化的图象(全程)如图,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30分钟,甲在乙的前面C.第48分钟时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28千米二、填空题13.把x3-4x分解因式,结果为.

14.(宁夏中考改编)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140°时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm.(传送带厚度忽略不计)

15.现有A,B两只不透明口袋,每只口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样.从每只口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是.

16.将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.

17.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在超市购买此种商品更合算.

18.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……依次下去,则点B6的坐标是.

三、解答题19.(1)计算:|2-1|-2sin45°+12(2)先化简,再求值:2a+6a220.解分式方程:2x2-21.(宁夏中考)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;

A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生.

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.(3)你认为哪个年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好?请给出一条理由.22.(宁夏中考)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某地摊经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:甲:5201.6x=175x乙:520x=1.6×175x-30,解得x=则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示.

(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个?23.“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图.根据统计图回答下列问题:(1)前往A地的车票有张,前往C地的车票占全部车票的%;

(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地完全相同,且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为;

(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或树状图法分析,这个规则对双方是否公平.24.如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200m.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100m.点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.(1)求步道DE的长度(结果取整数);(2)点D处有直饮水,小明从A处出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请通过计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且AC=CD.(1)求证:OC∥BD;(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.26.某地发生特大自然灾害,某慈善基金会将筹措到位的第一批救灾物资打包成件,其中棉帐篷和毛巾被共3200件,毛巾被比棉帐篷多800件.(1)打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件?(2)现计划用甲、乙两种小飞机共8架,一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往该灾区.已知甲种飞机最多可装毛巾被400件和棉帐篷100件,乙种飞机最多可装毛巾被和棉帐篷各200件.则安排甲、乙两种飞机时有几种方案?请你帮忙设计出来.(3)在第(2)问的条件下,如果甲种飞机每架需付运输成本费4000元,乙种飞机每架需付运输成本费3600元.应选择哪种方案可使运输成本费最少?最少运输成本费是多少元?27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线对应函数的解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上,☉P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.模拟训练一、选择题1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B由于方程有两个不相等的实数根,因此Δ=b2-4ac>0,则(-6)2-8k>0,解得k<928.B将绳子记为1,2,3,则姐妹选中绳子共有9种等可能结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),其中两人选到同一条绳子的结果有3种,所以两人选到同一条绳子的概率为139.B10.B过点A作BC的垂线,垂足为点D,BC与y轴交于点E,如图.设点Aa,ka,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,∴D是线段BC的中点.∴DC=BD=a-b,∴C2a∵点M为边AC的中点,∴M3a-b2∵点M在反比例函数的图象上,∴M3a-b2解得b=-3a.易知,AD∥NE,∴ANAB11.C根据抛物线的开口向下可知a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a,b同号,则b<0,且-b2a=-1,根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>①∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac<b2正确;③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴-b2a=-1,∴2∴2a+b=0错误;④由图象可知,抛物线的顶点为最高点,故当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确.12.D观察题图知,到达终点时,甲对应的点是C,所花时间为86分钟,乙对应的点是D,所花时间为96分钟,所以甲先到达终点,A正确;两人第一次相遇前,甲都在乙的前面,B正确;由A(30,10),B(66,14),利用待定系数法可求得直线AB的关系式为y=19x+203,把y=12代入关系式解得x=48,C正确;乙的速度为12÷48=14,总路程为14×96=24(二、填空题13.x(x+2)(x-2)14.35π9如图,设传送带上点A处的粮袋上升到点B,构建Rt△ABC,则AC∥由题意可得AB=140π×∵AC∥MN,∴∠BAC=∠NMA=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB·sin30°=12AB=35即传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π915.116.1717如图,当纸盒展开图中水平方向上的四个小正方形组成的矩形对角线AC为圆形纸片的直径,即圆形纸片为Rt△ABC的外接圆时,纸盒体积最大,此时AC=17cm时,设此情况下的正方体的边长为x,则在Rt△ABC中有AB2+BC2=AC2,即x2+(4x)2=172,可求出x=±17,负值舍去得x=17,所以x3=1717.17.乙18.(-8,0)三、解答题19.解(1)原式=2-1-2×22+2+2=4-1=3(2)原式=2(a+3当a=2时,原式=-2220.解方程两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,整理得2+x2+2x=x2-4,2x=-6,x=-3.检验:当x=-3时,x2-4=5≠0.故原方程的解为x=-3.21.解(1)把七年级10名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列为71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知,该组数据的中位数为a=84+862=85八年级10名学生的成绩中87分的最多,有3人,所以众数b=87,A同学得了86分大于85分,位于年级中等偏上水平,由此可判断他是七年级的学生.故答案为85,87,七.(2)510×200+610×200=220(人答:该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220.(3)我认为八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.理由:因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.22.解(1)根据所列方程可知,甲所列方程中的x表示B型玩具的单价;乙所列方程中的x表示520元购进A型玩具的数量.故答案为B型玩具的单价;520元购进A型玩具的数量.(2)设可购进A型玩具a个,则购进B型玩具(200-a)个,由(1)可知B型玩具的单价为5元,A型玩具的单价为1.6×5=8(元).根据题意得8a+5(200-a)≤1350,解得a≤11623故整数a的最大值是116.答:最多可购进A型玩具116个.23.解(1)3020(2)1(3)可能出现的所有结果列表如下:小张抛到的数字小李抛到的数字12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)或画树状图如下:共有16种可能的结果,且每种的可能性相同,其中小张获得车票的结果有6种:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3).故小张获得车票的概率为616=38,小李获得车票的概率为因此这个规则对小张、小李双方不公平.24.解(1)过点D作AE的垂线,交AE的延长线于点F,如图.由已知可得四边形ACDF是矩形,∴DF=AC=200m.∵点D在点E的北偏东45°方向,∴∠DEF=45°,∴△DEF是等腰直角三角形,∴DE=DFsin45°=2002≈283(2)由(1)知△DEF是等腰直角三角形,DE≈2002m,∴EF=DF=200m.∵点B在点A的北偏东30°方向,∴∠EAB=30°,∴∠ABC=30°,∴∠BAC=60°.∵AC=200m,∴AB=2AC=400m,BC=AB·sin60°=2003m.∵BD=100m,∴经过点B到达点D的路程为AB+BD=400+100=500(m),CD=BC+BD=(2003+100)m,∴AF=CD=(2003+100)m.∴AE=AF-EF=(2003+100)-200=(2003-100)m.∴经过点E到达点D的路程为AE+DE=2003-100+2002≈529(m).∵529>500,∴经过点B到达点D较近.25.(1)证明在☉O中,AC=CD,则∠ABC=∠DBC.∵OC=OB,∴∠ABC=∠OCB,∴∠OCB=∠DBC,则OC∥BD.(2)解∵OC∥BD,不妨设平行线OC与BD之间的距离为h,∴S△OBC=12OC·h,S△BCD=12BD·∵BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,即S△OBC=S△DBC,则OC=BD,∴四边形OBDC为平行四边形.∵OC=OB,∴四边形OBDC为菱形.26.解(1)设打包成件的毛巾被有x件,则x+(x-800)=3200,解得x=2000,所以x-800=1200.即打包成件的毛巾被和棉帐篷分别为2000件和1200件.(2)设用甲种飞机x架,则400解得2≤x≤4.所以x=2或x=3或x=4,即安排甲、乙两种飞机时有3种方案,分别为:①甲种飞机2架,乙种飞机