浙江省衢州市2024-2025学年高二上学期1月教学质量检测数学试题(学生版)

浙江省衢州市2024-2025学年高二上学期1月教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2025高二上·衢州期末）已知a→=(1,0,2)，b→=(2,2,m)，若A．54 B．−1 C．1 2．（2025高二上·衢州期末）已知数列{an}是等差数列，a2=1A．7 B．8 C．9 D．103．（2025高二上·衢州期末）已知抛物线C：y=4xA．y=−116 B．y=116 C．4．（2025高二上·衢州期末）已知方向向量为(1,2)的直线倾斜角为α，则sin2α=A．255 B．−255 5．（2025高二上·衢州期末）已知圆C：(x−3)2+(y−2A．2 B．2 C．22 6．（2025高二上·衢州期末）已知正项数列an，满足a1=1，aA．2 B．12 C．2024 D．7．（2025高二上·衢州期末）反比例函数y=1A．x2−y2=1 B．y28．（2025高二上·衢州期末）纸上画有一圆O，在圆内任取一定点A(异于点O)，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕l.继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2025高二上·衢州期末）已知数列an、bA．数列an+bn是等比数列C．数列lganbn是等差数列10．（2025高二上·衢州期末）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线与抛物线交于A(xA．xB．线段AB中点到准线的距离最小值为2C．若直线AB的斜率为3，则|AB|=D．tan∠ADF=sinθ(θ为直线AB的倾斜角)11．（2025高二上·衢州期末）已知ABCD−A1B1C1DA．存在点P使得直线AA1与平面PB．存在直线PQ与平面A1BC．点Q所在的曲线可能为双曲线D．点Q所在的曲线可能为抛物线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（2025高二上·衢州期末）若椭圆E：x24+y2=1的左右焦点为F13．（2025高二上·衢州期末）类似二维向量，定义n维向量空间中A(a1,a2,⋅⋅⋅,a型号身高/cm胸围/cm腰围/cm肩宽/cmXXS150766234XS155806636S160847038M165887440L170927842XL175968244XXL1801008646XXXL185104904814．（2025高二上·衢州期末）已知双曲线C：x2a2−y2b四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（2025高二上·衢州期末）已知圆M经过1,0和3,2，且圆心在直线3x+y−5=0上．（1）求圆M的方程；（2）若圆N：x216．（2025高二上·衢州期末）已知在三棱锥D−ABC中，DA⊥DC，AB⊥AC，AD=DC=3，AB=2（1）证明：平面BCD⊥平面ABC；（2）求二面角A−BD−C的正弦值．17．（2025高二上·衢州期末）已知数列an满足an+1=2an−3且a（1）求数列an，b（2）设cn=3−a18．（2025高二上·衢州期末）已知椭圆E：x2a2+y（1）求椭圆E的方程；（2）过点P0，219．（2025高二上·衢州期末）集合A={ai|ai<aj,i<j,i,j=1,2,⋯,n，（1）若A=1,2,4,8,16，求W（2）若A=1,2,3,4,5，求∑（3）若A={a1,

答案解析部分1．【答案】B【知识点】空间向量垂直的坐标表示【解析】【解答】解：因为a→=(1,0,2)，b→所以a→解得m=−1.故答案为：B【分析】利用空间向量垂直的坐标运算性质，即两垂直向量的数量积为0，通过计算数量积列方程求解m.2．【答案】C【知识点】等差数列的通项公式【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d.

已知a2=1，则a3=a2+d=1+d，a4=a2+2d=1+2d故答案为：C.【分析】利用等差数列的通项公式an=a1+(n−1)d（其中d3．【答案】A【知识点】抛物线的标准方程【解析】【解答】解：抛物线C的方程为y=4x2，化为标准方程为即2p=14，则其准线方程为y=−故答案为：A【分析】将抛物线方程化为标准形式，根据抛物线x2=2py（p>0）的准线方程为y=−p4．【答案】C【知识点】二倍角的正弦公式；斜率的计算公式；同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：由题意可知k=tansin2α=2故答案为：C【分析】先由直线方向向量求出倾斜角的正切值tanα，再利用二倍角正弦公式和同角三角函数关系求解sin5．【答案】C【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质【解析】【解答】解：由题意，直线l：y=k(x−2)+1过定点P(2,1)，圆心C(3,2)，半径r=2，因为2−32所以点P在圆内，当直线CP与弦垂直时，弦长最短，且|CP|=3−2所以最短弦长为2故答案为：C【分析】先确定直线过的定点，判断该定点与圆的位置关系，再根据圆的弦长性质，当定点与圆心的连线垂直于直线时，弦长最短，最后结合勾股定理计算最短弦长.6．【答案】D【知识点】数列的递推公式【解析】【解答】解：已知a1当n≥2时，a1①-②得：a因式分解得：an+1(an+(n+1)an+1)−nan2=0，进一步整理为(n+1)故答案为：D【分析】通过作差法得出an与an+1的递推关系，再利用累乘法求出数列的通项公式，进而得到7．【答案】C【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用【解析】【解答】解：反比例函数y=1x的图象是等轴双曲线，新坐标系中实轴在y=x上.

联立y=1xy=x，解得x=1y=1或x=−1y=−1，则实半轴长a=故答案为：C【分析】先确定新坐标系下双曲线的实轴位置，求出实半轴长a，再根据等轴双曲线的性质得出方程.8．【答案】B【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程【解析】【解答】解：如图，圆半径为r，l是一条折痕，点A关于l的对称点M在圆O上，连接OM交直线l于P，则PM=PA，所以所以P点轨迹是以O,A为焦点的椭圆，椭圆长轴长为r．故答案为：B【分析】设圆O半径为r，折痕为直线l，点A关于l的对称点为M（M在圆O上），连接OM交l于P，利用对称性质和椭圆定义判断轨迹.9．【答案】B,C【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示【解析】【解答】解：设数列{an}的公比为q1，{bn}选项A：取an=2n，bn=3n，则a2选项B：an+1bn+1选项C：lg(an+1选项D：取an=2n，bn=3n，则a1b1故答案为：BC.【分析】通过特值法判断选项A、D，利用等比数列、等差数列的定义判断选项B、C.10．【答案】B,C,D【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)，准线x=−1，D(−1,0).

设直线AB的方程为x=my+1，联立x=my+1y2=4x，得y2选项A：x1选项B：x1+x2=m(y1+y选项C：直线AB斜率为3，则m=13，选项D：当m=0时，AB⊥x轴，θ=π2，tan∠ADF=1，sinθ=1；

当m≠0时，通过斜率分析可得tan∠ADF=故答案为：BCD.【分析】设过焦点的直线方程为x=my+1，与抛物线联立，利用韦达定理、抛物线定义及三角函数知识逐一分析选项.11．【答案】A,C,D【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角【解析】【解答】解：设正方体棱长为2，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立坐标系，

则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，D1选项A：平面PB1D1的法向量n满足n⋅D1B1=0n⋅D直线AA1的方向向量为AA1=(0,0,2)，

设直线AA1与平面P令sinθ=sinπ3=选项B：平面A1B1D1的法向量为m=(0,0,1)，直线PQ与平面选项C、D：设Q到直线AA1的距离为d1，到平面ABCD的距离为d2，由题意d1=d2.以A为原点，故答案为：ACD.【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角公式、二面角定义及圆锥曲线定义，分别分析各选项.12．【答案】2π【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【解析】【解答】解：对于椭圆E:x24+y2=1，可得a=2，b=1，c=a2−b2=3，

所以上顶点P(0,1)，焦点F2(3故答案为：2π3【分析】先根据椭圆方程求出a、b、c的值，再在直角三角形中利用三角函数求出角的大小，进而得到∠F13．【答案】L【知识点】空间中两点间的距离公式【解析】【解答】解：设该学生身材点为P(172,89,73,38)，分别计算与各型号的距离：与XXS的距离：(172−150与XS的距离：(172−155与S的距离：(172−160与M的距离：(172−165与L的距离：(172−170与XL的距离：(172−175与XXL的距离：(172−180与XXXL的距离：(172−185比较可知，与L型号的距离54最小，故此人身材点应归类为L型号.

故答案为：L【分析】根据题目定义的四维向量“距离”公式，分别计算该学生身材点与8个标准型号点的距离，距离最小的即为归属型号.14．【答案】30【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质【解析】【解答】解：如图：设A(x1,由题意S△OMA=1过点A作直线OM的平行线l1，设其方程为y=13可知两平行线距离d=225，则m所以过点A作直线OM的平行线l1：同理得过点B作直线OM的平行线l2：联立y=baxy=1同理联立y=−baxy=1因为AB的中点为M(3,1)，则x1得2ba(ba解得ba=5所以双曲线离心率e=故答案为：30【分析】先利用三角形面积和中点坐标求出相关距离与坐标关系，再结合双曲线渐近线和中点公式，推导离心率.15．【答案】（1）解：以1,0和3,2为端点的线段的中点为2,1，斜率为2−03−1=1，

所以以1,0和3,2为端点的线段的垂直平分线为：x+y−3=0，即圆心在x+y−3=0上，

又圆心在直线3x+y−5=0上，由x+y−3=03x+y−5=0，解得x=1y=2，

所以圆心为M1,2，半径为r=（2）解：圆N:x2+y2+4x+4y+a=0，所以圆心N−2,−2，半径r2=8−a(a<8)，【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定【解析】【分析】（1）先求两点连线的垂直平分线方程，再与已知直线联立求圆心，进而得圆的方程；（2）将圆N化为标准式，利用两圆外切时圆心距等于半径和求解a.​​​​​​（1）以1,0和3,2为端点的线段的中点为2,1，斜率为2−03−1所以以1,0和3,2为端点的线段的垂直平分线为：x+y−3=0，即圆心在x+y−3=0上，又圆心在直线3x+y−5=0上，由x+y−3=03x+y−5=0，解得x=1所以圆心为M1,2，半径为r=所以圆M的方程为：(x−1)2（2）圆N:x2+y2因为圆M与圆N外切，所以MN=r+所以2+22+16．【答案】（1）证明：

取BC的中点为点O，AC的中点为点E，连接DO，EO，因为△ACD为等腰直角三角形，故AC=6，故BC=在△BCD中，DB=DC，∴DO⊥BC，在△DEO中，DO=1，DE=62，EO=2∴DO⊥EO，∵EO∩BC=O，且EO、BC⊂面ABC，∴DO⊥面ABC，又∵DO⊂面BCD，∴面BCD⊥面ABC.（2）解：由（1）得DO⊥面ABC，AB⊥AC，所以可以以点A为坐标原点，过点A作平行于DO的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，B2,0,0，CBC=−2,6设平面BCD的法向量m=m⋅∴设平面ABD的法向量n=n⋅∴ncos<m，n∴sin<m，n∴二面角A−BD−C的正弦值为3【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角【解析】【分析】（1）通过取中点找线面垂直，进而证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.（1）取BC的中点为点O，AC的中点为点E，连接DO，EO，因为△ACD为等腰直角三角形，故AC=6，故BC=在△BCD中，DB=DC，∴DO⊥BC，在△DEO中，DO=1，DE=62，EO=2∴DO⊥EO，∵EO∩BC=O，且EO、BC⊂面ABC，∴DO⊥面ABC，又∵DO⊂面BCD，∴面BCD⊥面ABC.（2）由（1）得DO⊥面ABC，AB⊥AC，所以可以以点A为坐标原点，过点A作平行于DO的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，B2,0,0，CBC=−2,6设平面BCD的法向量m=m⋅∴设平面ABD的法向量n=n⋅∴ncos<m，n∴sin<m，n∴二面角A−BD−C的正弦值为317．【答案】（1）解：因为an+1=2an−3，所以an+1−3=2an−3，又因为a1−3=2≠0，

所以an−3是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以an−3=2n，（2）解：因为cn=3−anbn=n⋅2n，所以Sn=2+2⋅22+3⋅2【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和【解析】【分析】（1）对于数列{an}（2）先求出cn的表达式，再用错位相减法求前n项和S（1）因为an+1=2a又因为a1−3=2≠0，所以所以an−3=2因为bn+1所以b=1又因为b1=−1也适合，所以（2）因为cn所以Sn=2+2⋅2Sn①-②得−S所以Sn18．【答案】（1）解：∵AF⊥x轴，∴c=1，又∵点A1∴∴a=2，b=∴椭圆E的方程为x（2）解：根据题意画如下图：①当直线l的斜率不存在时，不符合题意②设直线l的方程为y=kx+2，Bx1直线I方程与椭圆方程联立得3+4kΔ=(16k)2−163+4k2x1+直线BA所在的直线方程为：y=y1直线CA所在的直线方程为：y=y2∵S△AMN∴=∴⇒4∴k=1或k=12∴直线l的方程为y=x+2.【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据AF⊥x轴确定c的值，再将点A代入椭圆方程，结合a2（2）设直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理和三角形面积公式求解直线斜率，进而得到直线方程.（1）∵AF⊥x轴，∴c=1，又∵点A1∴∴a=2，b=∴椭圆E的方程为x（2）根据题意画如下图：①当直线l的斜率不存在时，不符合题意②设直线l的方程为y=kx+2，Bx1直线I方程与椭圆方程联立得3+4kΔ=(16k)2−163+4k2x1+直线BA所在的直线方程为：y=y1直线CA所在的直线方程为：y=y2∵S△AMN∴=∴⇒4∴k=1或k=12∴直线l的方程为y=x+2.19．【答案】（1）解：W（2）解：分类列举A所有子集：单元素集为1,2,3,4,5

单元素集所有交错和之和为1+2+3+4+5=15

双元素集为1,2,1,3,1,4,1,5，2,3,2,4,2,5,3,4,3,5，4,5，

W1,2=1−2=−1,W1,3=1−3=−2，W1,4=1−4=−3,W1,5=1−5=−4，

W2,3=2−3=−1,W2,4=2−4=−2,

W2,5=2−5=−3,W3,4=3−4=−1,W3,5=3−5=−2W4,5=4−5=−1，

双元素集所有交错和之和为−1×4+−2×3+−3×2−4=−20，

（3）解：要使元素少，那么ai先考虑特殊情况，取An此时Bn=3，一般的，不妨设a1a1+a同理，要使元素最多，所取的数必须不小于前面两个最大数的和，如取斐波那契数列1,2,3,5,8,13,⋯和等比数列1,2,4,⋯,2元素最多为n再证B={x|x=ai+aj证明：考虑特殊情况An=1,2,⋯,n，此时B设C=1,2,3,⋯,n−1,m,m>n−1，则D=3,4,5,⋯,2n−3若使D中元素最多，则m+1>2n−3⇒m>2n−4，此时D=3,4,5,⋯,2n−3,m+1,m+2,m+3,⋯,m+n−1共有3n−6即An=1,2,⋯,n最大元素变化时，集合元素个数从当最大数字变大时，新集合中数字与原来由An−1=1,2,⋯,n−1当An最大值大于Bn−1的最大值后就不再有重复数字，这时所有这样的Bn比B以此类推，B3比B2多2个元素，而则Bn最多有1+2+3+⋯+所以，对于A=a1,B={x|x=ai+aj综上：集合B元素有nn−1【知识点】元素与集合的关系；