山东省德州市实验中学2025~2026学年第一学期高一年级10月份月考数学试卷（含解析）

/山东省德州市实验中学2025-2026学年第一学期高一年级10月份月考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算【分析】根据并集和补集的概念求出答案.【详解】，又，故，又，所以.故选：D2．已知命题：，，则¬是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为，.故选：C.3．已知集合，若，则a的取值是（

）A． B．C．或 D．或或0【答案】D【知识点】根据集合的包含关系求参数【分析】对进行分类讨论，根据来求得的所有可能的取值.【详解】当时，，满足.当时，，要使，则需或，解得或，综上所述，的所有可能的取值为或或0故选：D4．下列各式中，正确的是（

）①

②

③

④

⑤

⑥⑦

⑧A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦【答案】A【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断【分析】利用集合中元素的性质，元素与集合、集合与集合之间的关系依次判断即可.【详解】对于①②③，是空集，空集是任意集合的子集，故正确，余者不正确，故①③错误，②正确；对于④⑤，元素与集合之间的关系用“”或“”表示，故不正确，成立，故④错误，⑤正确；对于⑥⑦，集合与集合之间是包含或不包含的关系，故不正确，正确，故⑥错误，⑦正确；对于⑧，由集合中元素的无序性，可知，故正确，故⑧正确；综上：正确的命题有②⑤⑦⑧.故选：A.5．已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】B【知识点】判断命题的充分不必要条件【分析】根据充分不必要的定义判断即可.【详解】使得条件p成立的一个充分不必要条件应为或的真子集，只有或满足要求.故选：.6．下列选项中两个集合相等的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【知识点】判断两个集合是否相等【分析】根据集合的含义、集合相等的定义逐一判断可得选项.【详解】解：对于A选项，，，，故A不正确；对于B选项，，，故B正确；对于C选项，，，，故C不正确；对于D选项，与中的元素不同，，故D不正确.故选：B.7．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（

）A．4 B．3 C．8 D．7【答案】D【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集）【分析】根据集合的包含关系确定集合的元素，再根据集合的元素个数分类判断可得.【详解】由，再由，得，.由CB，根据集合C中的元素个数分3类：①集合C中有2个元素时，集合C只能是，共1个；②集合C中有3个元素时，集合C可以是，，，共3个；③集合C中有4个元素时，集合C可以是，，，共3个；所以满足且CB的集合的个数为个.故选：D.8．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则实数的值为（）A．4 B．-10 C．2 D．-10或2【答案】C【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】用韦达定理得出根与系数的关系，然后计算可得．【详解】方程有实根，则，解得或，设方程的两根为，则，，∴，解得（舍去）．故选：C．【点睛】易错点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题中利用韦达定理得，然后利用去化简求值，这里有一个前提条件：方程有实解，因此有个隐含条件：由此求出参数的范围，只有在这个范围内的参数值才是所求解．二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列四个命题中正确的是（

）A．已知集合，若，则或B．函数的最小值为2C．设，若，则D．不等式成立的一个充分不必要条件是或【答案】CD【知识点】集合的性质、基本不等式、不等式的性质及充分不必要条件【分析】对于选项A，根据集合中元素的互异性来判断；对于选项B，利用基本不等式求最值时需要注意等号成立的条件；对于C选项，根据不等式的性质判断；对于D选项，先求出不等式的解集，再根据充分不必要条件的定义判断.【详解】选项A：已知集合，若，则或。当时，，此时集合A中两个元素相同，不满足集合中元素的互异性，舍去。当时，即，解得或(舍去），所以，故选项A错误。选项B：函数，令，则，函数可化为，而根据基本不等式，当且仅当，即时取到等号，故原函数取不到最小值2，故选项B错误。选项C：已知，若，因为，根据不等式的性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，所以，即，故选项C正确。选项D：解不等式，则解，得或；又，即，所以不等式的解集为.因为真包含于，所以是不等式成立的一个充分不必要条件，故选项D正确.综上，答案是CD.故选：CD10．已知关于的不等式的解集为，则（

）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为【答案】ABD【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式与一元二次方程的关系、韦达定理【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程解得关系，可以确定参数的关系，然后进一步求解【详解】由题设条件知：，且方程的两根分别为与，，整理得：，故选项A正确；又不等式可化为：，，故选项B正确；，∴选项C不正确；不等式可化为：，又，∴原不等式可化为：，解得：，故选项D正确.故选：ABD.11．设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为2 B．的最大值为1C．的最大值为2 D．的最小值为【答案】ABC【知识点】基本（均值）不等式的应用【分析】A项先用乘1法变形，再用均值不等式逐项判断即可.【详解】因为，所以当且仅当即时等号成立，故A正确；因为所以，当且仅当时等号成立，故B正确；因为所以当且仅当时等号成立，故C正确；当且仅当时等号成立，故D错误；故选：ABC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．比较大小：（填：>、<、=）．【答案】【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小【分析】根据不等式的性质转化为比较与的大小关系，即可求解.【详解】要比较与的大小关系，即比较与的大小关系，，即，所以.故答案为：13．已知全集，，，求.【答案】{2，7，11，13}【分析】解题的关键在于明确全集U，然后根据已知的集合运算结果，逐步分析集合A和B的元素情况，从而确定集合A.【知识点】本题考查集合的运算，涉及补集、交集的概念.【详解】已知全集，质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数.所以U={2，3，5，7，11，13，17，19}.已知，这表示19和17属于B，但不属于A.已知，这表示11和7属于A，但不属于B.已知，根据德摩根定律，这表示5和3既不属于A也不属于B.由上述分析可知，19和17不属于A，11和7属于A，5和3不属于A.那么剩下的元素2、13需要进一步分析。因为，，所以2和13既不属于B也不属于，即2和13属于A。综上，A={2，7，11，13}故答案为：A={2，7，11，13}.14．命题：，使得是真命题，则的取值范围是．【答案】（2，+∞）【分析】本题可先将特称命题转化为全称命题的否定，然后根据一元二次不等式恒成立的条件，结合判别式来确定a的取值范围.【知识点】本题考查特称命题以及一元二次不等式的求解【详解】已知命题：，使得是真命题，根据特称命题与全称命题的关系，其否定“”是假命题.令，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为.当，即a≤0时：函数在上单调递增，所以，此时恒成立，不满足题意.当，即a>0时：要使，使得成立，即在（0，+∞）上存在小于0的值.因为f（x）的图象开口向上，所以只需△=a²4>0，解得a>2或a<-2.又因为a>0，所以a>2.综上，a的取值范围是（2，+∞）.故答案为：（2，+∞）.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本题13分）已知集合，实数集R为全集.(1)求；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【知识点】根据交集结果求集合或参数、补集的概念及运算、解含有参数的一元二次不等式【分析】（1）解不等式，得到集合，利用并集和补集的概念进行求解；（2）根据交集结果得到包含关系，并根据包含关系得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】（1）已知，则，解得，所以，已知，则，解得，则，，.综上，，（2）因为，所以.当C=∅时，，解得.当C≠∅时，则，解得，综上，的取值范围是.16．（本题15分）(1)当时，求的最大值；(2)已知正数满足，求的最小值，并求出此时的值；(3)已知正数满足，求的最小值，并求出此时的值．【答案】(1)当时，取得最大值(2)当时，取得最小值(3)当时，取得最小值4.【详解】（1）已知，则，那么.根据基本不等式（当且仅当时等号成立），对于，其中，因为，所以，当且仅当时等号成立.那么，所以.由，即，解得或（舍去，因为）.因此，当时，取得最大值.（2）已知，则.故原式=根据基本不等式（当且仅当时等号成立），对于，其中，因为，所以，当且仅当时等号成立.那么由且，联立方程组，解得因此，当时，取得最小值.（3）因为已知，则.根据基本不等式（当且仅当时等号成立），对于，其中，因为，所以，当且仅当时等号成立.那么由且，联立方程组，解得.因此，当时，取得最小值4.17．（本题15分）已知，命题，；命题，．(1)若p是真命题，求a的最大值；(2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围．【答案】(1)(2)或【知识点】已知命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值.（2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围.【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以，即a的最大值为.（2）若q是真命题，，解得或，若q是假命题，，解得，由已知p、q一真一假，若p真q假，则，若q真p假，则，综上：或18．（本题17分）(1)关于的不等式在实数范围内恒成立，求的取值范围；(2)解关于的不等式：.【答案】(1)的取值范围是(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为【知识点】含参一元二次不等式的恒成立问题、求解含参一元二次不等式【分析】（1）一元二次不等式大于零恒成立，只需要二次项系数大于零，即可；（2）先将不等式进行因式分解，找到对应一元二次方程的根，再讨论根的大小关系，写出不等式的解集.【详解】（1）当，即时，不等式化为，对于任意实数恒成立，所以满足条件.当，即时，不等式是一元二次不等式，要使其在实数范围内恒成立，则二次函数的图象开口向上，且与轴无交点.所以，即，且化简得.解不等式，可得.结合，取交集得综上两种情况，取和得并集，可得.因此，的取值范围是（2）当时，不等式化为，解得.当时，不等式左边因式分解，可得.方程的两根为.当时，不等式的解集为.当时，比较与1的大小：由（因为），可得，所以不等式的解集为.因此，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.19．（本题17分）已知n元有限集，若，则称集合A为“n元和谐集”.(1)若集合是“二元和谐集”，求m的值；(2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2；(3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在，1个，理由见解析【知识点】放缩法、集合新定义、一元二次