湖南省湘东教学联盟2026届高三上学期11月联考数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省湘东教学联盟2026届高三上学期11月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（）A． B．C． D．2．若复数，则（）A． B． C． D．3．双曲线的离心率为（）A． B． C． D．4．已知函数恒成立，则的值为（）A． B． C． D．5．已知等差数列满足：，则前20项的和为（）A．190 B．360 C．400 D．4406．若，，，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．7．已知，则（）A． B． C． D．8．已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（）A．463 B．464 C．465 D．466二、多选题9．随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（）A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多10．已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（）A．的最小值为B．当时，直线与圆相切C．的最小值为D．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则11．如图，三棱台中，平面，则（）

A．三棱台的体积为B．平面C．D．若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为4，则点在侧面上的轨迹长度为三、填空题12．设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为．13．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为．14．设，若，则．四、解答题15．如图，空间几何体的底面是以为直角的等腰直角三角形，平面平面，直线平面，且．(1)求证：平面；(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值．16．已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)判断的单调性；(3)若在上有两个零点，求实数的取值范围．17．已知，直线相交于点，且，点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线交曲线于两点，直线与曲线的另一个交点为，线段的中点为的面积为，求直线的方程．18．已知的内角的对边分别为．(1)若，求角的值；(2)角的平分线交的外接圆于点，圆的半径为．（i）当时，求的值；（ii）当为何值时，的面积取最大值．19．某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记2分，其余记1分．每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响．(1)求三局比赛中，人类队累计得分的分布列和数学期望；(2)若局比赛中，人类队累计得分为分的概率为，求；(3)若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖南省湘东教学联盟2026届高三上学期11月联考数学试题》参考答案题号12345678910答案ABDACCBBBDAC题号11答案ABD1．A【分析】解二次不等式和绝对值不等式得到集合，然后由交集的定义求得结果.【详解】∵，或，∴．故选：A.2．B【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为,所以，故选：B.3．D【分析】根据给定的方程，利用双曲线离心率的意义直接求解.【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，则半焦距，所以所求离心率.故选：D4．A【分析】由题意得，是函数的最大值，由正弦函数的图像与性质求解即可.【详解】由题意得，是函数的最大值，,得，，又．故选：A5．C【分析】设出公差后，结合等差数列性质与等差数列求和公式计算即可得解.【详解】设数列公差为，令得，，令得，则，即，解得，．故选：C.6．C【分析】利用对数函数、幂函数单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为函数在上为增函数，所以，即，因为，，函数在上为增函数，所以，即，故．故选：C.7．B【分析】由两角和的正弦结合弦切互化化简即可.【详解】，又，，，又由，得，，即．故选：B8．B【分析】根据的图象关于直线对称，可得，再根据可转化得为奇函数，从而得函数的周期为4，根据对称性与周期性求值即可得出结论.【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称，即的图象关于直线对称，则，由，可得，又，得，所以，即，所以的图象关于点对称，即为奇函数，所以，函数的周期为4；由可得，又因为，所以，根据函数的性质，得所以．故选：B.9．BD【分析】A选项与B选项由相关系数判断；C选项由卡方的检验判断；D选项由决定系数判断.【详解】A选项：在经验回归方程中，斜率参数，只能说明使用频次与年龄正相关，但相关系数不是0.2，故A错误；B选项：样本相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强，，说明两个变量正线性相关，且相关程度很强，故B正确；C选项：根据小概率值的独立性检验，计算得到，没有充分证据证明不同性别的AI使用频次有差异，故C错误；D选项：决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好．故选：BD．10．AC【分析】对于A，利用由求解即可；对于B，利用直线与圆位置关系求解即可；对于C，由的几何意义为圆上一点与原点连线的斜率，结合斜率公式即可求解；对于D，根据几何关系，得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】已知圆的方程可化为，故圆心，半径，对于A：因为为圆上一点，所以，故A正确；对于B：当时，直线，根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离，所以直线与圆不相切，故B错误；对于C的几何意义为圆上一点与原点连线的斜率，设，则直线的方程为，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，解得，所以，故C正确；对于D：因为圆的半径，要使圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式，即，解得，故D错误．故选：AC．11．ABD【分析】对于A项，直接由棱台的体积公式求解；对于B，C项，由线面垂直判定定理求解；对于D项，作于点，则平面为与平面所成角，得在侧面上的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，即可求解．【详解】A选项：，，故A正确；B选项：平面，平面平面，又为的中点，，平面，平面，故B正确；C选项：由B选项答案可知平面，若，而平面，则平面，，与条件矛盾，故错误；D选项：如图，在平面中，作于点，由B选项答案可知，平面，，平面，平面为与平面所成角，

依题意，又，又．在侧面上的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，轨迹长度为，故D正确．故选：ABD．12．4【分析】由得，利用数量积的定义即可求解.【详解】因为，所以，所以，又因为为单位向量，与的夹角为，所以，故答案为：4．13．13【分析】根据抛物线定义，写出抛物线的方程，通过点斜式写出直线的方程，利用弦长公式求解线段的长.【详解】抛物线的焦点为，，抛物线的方程为．直线的方程：，联立得，设，则．另解：．14．1【分析】对已知条件进行化简，然后构造函数，利用函数的奇偶性和单调性来找出与的关系，最后根据三角函数的性质求出的值.【详解】，化简得，①，得，②，令，，在定义域上单调递增，由①，②可得，又是奇函数，，即，．故答案为：115．(1)证明见解析(2).【分析】（1）过点作于点，利用面面垂直证明平面，再通过线线平行推出线面平行；（2）先证明四边形AHDE为矩形，依题意建系，写出相关点和向量的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式，计算即得．【详解】（1）过点作于点，连接，平面平面，且平面平面平面，平面.又平面，，又平面平面，平面.（2）取G为的中点，由题知底面是以为直角的等腰直角三角形，易得，又平面，且平面，，而，，而，故平面，因平面，而由（1）知平面，平面，则，故H与G重合.又，平面，则平面，又平面，则，又，故四边形AHDE为矩形.如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因，则.平面的一个法向量可取为，设直线与平面所成角为，，直线与平面所成角的正弦值为.16．(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）借助导数几何意义计算即可得；（2）求导后，分、及讨论即可得；（3）法一：令后参变分离，构造函数，借助导数研究其单调性后，结合零点存在性定理计算即可得解；法二：由题意可得，构造函数，再分类讨论得到该函数单调性后，结合零点存在性定理计算即可得解.【详解】（1）当时，，，由题意知切点为，切线斜率，切线方程为：，即；（2）的定义域为，，当时，在上单调递增；当时，时，单调递增，时，单调递减；当时，时，单调递减，时，单调递增；综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）法一：，令，得，即，得，令，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减，．又，当时，，当时，，时，，当且时，，当时，有2个零点，实数的取值范围为；法二：由题意可得，令，，当时，恒成立，则在上单调递增，当时，时，，只有一个零点，即只有一个零点，不符合题意；当时，令，解得，当时，单调递增，当时，单调递减，，当时，时，，故当，即时，有2个零点．实数的取值范围为.17．(1)(2)【分析】（1）设，根据列出等式，化简即可；（2）设直线，与曲线的方程联立，设，利用，由韦达定理结合面积公式求出即可.【详解】（1）设，已知，由，得，化简得：，曲线的方程为.（2）依题意，过点的直线斜率不为0，设直线，联立得，设，则.为的中点，为的中点，，

，解得，直线的方程为：，即.18．(1)(2)（i）1；（ii）【分析】（1）已知条件由正弦定理角化边，再由余弦定理求出，可得角的值；（2）（i）解法1：连接并延长交于点，连接，在中，，，在Rt中，，利用倍角公式求的值；解法2：连接，在中，得，在中，得，是方程的两根，可求的值；（ii）解法1：连接，设，由余弦定理可得是方程的两根，，有，利用导数求最大值；解法2：连接并延长交圆于点，连接，设，利用导数求最大值.【详解】（1），由正弦定理得，即，由余弦定理得，，.（2）（i）解法1：为直径且，如图，连接并延长交于点，连接，在中，，，，又平分，，，在Rt中，，.解法2：连接，平分，，易得，由正弦定理得，在中，，即，同理在中，，是方程的两根，.（ii）解法1：如图，连接，设，又外接圆的半径为，，在中，由余弦定理可得，，得，同理，在中，，是方程的两根，.又，，.设，则，，，令，则，令，时，（舍）或，设，则当，即时，，函数单调递减，当时，即时，，函数单调递增当，即时，取最大值，面积最大.解法2：如图，连接并延长交圆于点，连接，在中，，，，设，平分，，连接，在中，，在Rt中，，，由，知，即，问题转化为求函数的最大值，同解法1．19．(1)分布列见解析，4(2)(3)，答案见解析【分析】（1）得到比赛得分为Y的所有可能取值为3，4，5，6，求得相应的概率，列出随机变量的分布列，结合期望的公式，求得数学期望；（2）利用概率的乘法公式列出，再通过错位相减的方法求出；（3）分别利用概率的乘法公式求出和，再利用做差法比较大小，根据大小情况写出实际意义即可.【详解】（1）的所有可能取值为3，4，5，6，的分布列为Y3456数学期望.（2）依题意，局比赛中，人类队累计得分为分，即局