人教版函数的概念与基本初等函数多选题单元自检题检测试题

人教版函数的概念与基本初等函数多选题单元自检题检测试题一、函数的概念与基本初等函数多选题1．设表示不超过的最大整数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A．，B．，若，则C．，D．不等式的解集为或【答案】BCD【分析】通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式的解后可得不等式的解集，从而可判断D正确与否.【详解】对于A，，则，故，故A不成立.对于B，，则，故，所以，故B成立.对于C，设，其中，则，，若，则，，故；若，则，，故，故C成立.对于D，由不等式可得或，故或，故D正确.故选：BCD【点睛】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.2．已知函数，下列关于函数的结论正确的为（）A．在定义域内有三个零点 B．函数的值域为C．在定义域内为周期函数 D．图象是中心对称图象【答案】ABD【分析】将函数变形为，求出定义域，结合导数求函数的单调性即可判断BC，由零点存在定理结合单调性可判断A，由可求出函数的对称点，即可判断D.【详解】解：由题意知，，定义域为，，所以函数在定义域上单调递增，C不正确；当时，，则上有一个零点，当时，，所以在上有一个零点，当时，，所以在上有一个零点，当，，所以在定义域内函数有三个零点，A正确；当，时，，当时，，又函数在递增，且在上有一个零点，则值域为R，B正确；，所以，所以函数图象关于对称，D正确；故选:ABD.【点睛】结论点睛:1、与图象关于x轴对称；2、与图象关于y轴对称；3、与图象关于轴对称；4、与图象关于轴对称；5、与图象关于轴对称.3．下列说法中，正确的有（）A．若，则B．若，，，则的最小值为C．己知，且，则实数的取值范围为D．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项的正误；将与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项的正误；判断函数的单调性与奇偶性，解不等式可判断C选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，则，A选项错误；对于B选项，，，，，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，B选项正确；对于C选项，函数的定义域为，任取、且，则，所以，，即，所以，函数为上的减函数，，则，所以，函数为上的奇函数，且为减函数，由可得，所以，，即，解得，C选项正确；对于D选项，对于函数，令，由于外层函数为增函数，则内层函数在上为增函数，所以，解得，D选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.4．已知为上的奇函数，且当时，.记，下列结论正确的是（）A．为奇函数B．若的一个零点为，且，则C．在区间的零点个数为3个D．若大于1的零点从小到大依次为，则【答案】ABD【分析】根据奇偶性的定义判断A选项；将等价变形为，结合的奇偶性判断B选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数的奇偶性判断C选项，结合图象，得出的范围，由不等式的性质得出的范围.【详解】由题意可知的定义域为，关于原点对称因为，所以函数为奇函数，故A正确；假设，即时，所以当时，当时，当，，则由于的一个零点为，则，故B正确；当时，令，则大于的零点为的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；由图可知，大于1的零点所以故选：ABD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.5．定义在R上的函数,若在区间上为增函数,且存在,使得.则下列不等式一定成立的是()A． B．C． D．【答案】ABC【分析】先由推出关于对称，然后可得出B答案成立，对于答案ACD，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可【详解】因为所以所以关于对称，所以又因为在区间上为增函数，所以因为所以所以选项B成立因为所以比离对称轴远所以，所以选项A成立因为所以，所以比离对称轴远所以，即C答案成立因为，所以符号不定所以，无法比较大小，所以不一定成立所以D答案不一定成立故选：ABC【点睛】本题考查的是函数的性质，由条件得出关于对称是解题的关键.6．定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（）A．是的一个“完美区间”B．是的一个“完美区间”C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为【答案】AC【分析】根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.【详解】对于A，当时，，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；对于C，由定义域为，可知，当时，，此时，所以在内单调递减，则满足，化简可得，即，所以或，解得（舍）或，由解得或（舍），所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；当时，①若，则，此时.当在的值域为，则，因为，所以，即满足，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；②若，则，，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，解得，，所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；故选：AC.【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.7．设函数，则（）A．在单调递增 B．的值域为C．的一个周期为 D．的图像关于点对称【答案】BC【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解.【详解】令，则，显然函数为增函数，当时，为减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减，因为，所以增函数在时，，即的值域为；因为，所以的一个周期为，因为，令，设为上任意一点，则为关于对称的点，而，知点不在函数图象上，故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称.故选：BC【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.8．已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（）A．是周期为2的函数B．C．的值域为[-1，1]D．的图象与曲线在上有4个交点【答案】BCD【分析】对于A，由为R上的奇函数，为偶函数，得，则是周期为4的周期函数，可判断A；对于B，由是周期为4的周期函数，则，，可判断B．对于C，当时，，有，又由为R上的奇函数，则时，，可判断C．对于D，构造函数，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D．【详解】根据题意，对于A，为R上的奇函数，为偶函数，所以图象关于对称，即则是周期为4的周期函数，A错误；对于B，定义域为R的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；当时，，则，则，则；故B正确．对于C，当时，，此时有，又由为R上的奇函数，则时，，，函数关于对称，所以函数的值域．故C正确．对于D，，且时，，，，，是奇函数，，的周期为，，，，设，当，，设在恒成立，在单调递减，即在单调递减，且，存在，单调递增，单调递减，，所以在有唯一零点，在没有零点，即，的图象与曲线有1个交点，当时，，，则，，则，所以在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得，所以，，在单调递减，，，在单调递增，又，所以，又，所以在上有一个唯一的零点，在上有唯一的零点，所以当时，的图象与曲线有2个交点，，当时，同，的图象与曲线有1个交点，当，的图象与曲线没有交点，所以的图象与曲线在上有4个交点，故D正确；故选：BCD．【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.9．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（）A． B． C．0 D．2【答案】BC【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到，代入，令，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.【详解】因为的两根为，所以，从而．令，则，．因为，所以，所以在上恒成立，从而在上单调递增．又，所以，即的取值范围是，故选：BC．【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数，利用导数求取值范围是解决本题的关键.10．已知当时，；时，以下结论正确的是（）A．在区间上是增函数；B．；C．函数周期函数，且最小正周期为2；D．若方程恰有3个实根，则或；【答案】BD【分析】利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数相切，结合图像将问题简单化.【详解】对于A，时，即在区间上的单调性与在区间上单调性一致，所以在上是增函数，在上是减函数，故A错误；对于B，当时，，，，故B正确；对于C，当时，，当时，不是周期函数，故C错误；对于D，由时，；时，可求得当时，；直线恒过点，方程恰有3个实根，即函数和函数的图像有三个交点，当时，直线与函数（）相切于点，则，解得，要函数和函数的图像有三个交点，则的取值范围为：；当时，当时，直线与函数有两个交点，设直线与函数（）相切于点，则，解得综上，方程有3个实根，则或,故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.11．已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（）A．当，有1个零点 B．当时，有3个零点C．当，有4个零点 D．当时，有7个零点【答案】ABD【分析】令得，利用换元法将函数分解为和，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令，得，设，则方程等价为，函数，开口向上，过点，对称轴为对于A，当时，作出函数的图象：，此时方程有一个根，由可知，此时x只有一解，即函数有1个零点，故A正确；对于B，当时，作出函数的图象：，此时方程有一个根，由可知，此时x有3个解，即函数有3个零点，故B正确；对于C，当时，图像如A，故只有1个零点，故C错误；对于D，当时，作出函数的图象：，此时方程有3个根，其中，，由可知，此时x有3个解，由，此时x有3个解，由，此时x有1个解，即函数有7个零点，故D正确；故选：ABD．【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．12．已知是定义在上的奇函数，当时，，下列说法正确的是（）A．时，函数解析式为B．函数在定义域上为增函数C．不等式的解集为D．不等式恒成立【答案】BC【分析】对于A，利用奇函数定义求时，函数解析式为；对于B，研究当时，的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知在上的单调性；对于C，求出，不等式，转化为，利用单调性解不等式；对于D，分类讨论与两种情况是否恒成立.【详解】对于A，设，，则，又是奇函数，所以，即时，函数解析式为，故A错；对于B，，对称轴为，所以当时，单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以在上为增函数，故B对；对于C，由奇函数在上为增函数，则时，，解得，（舍去），即，所以不等式，转化为，又在上为增函数，得，解得，所以不等式的解集为，故C对；对于D，当时，，当时，不恒大于0，故D错；故选：BC【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为的模型；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；（3）已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法；（4）若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；13．函数，以下四个结论正确的是（）A．的值域是B．对任意，都有C．若规定，则对任意的D．对任意的，若函数恒成立，则当时，或【答案】ABC【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.【详解】由函数解析式可得，有如下函数图象：∴的值域是，且单调递增即(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；对于C，有，若，∴当时，，故有.正确.对于D，上，若函数恒成立，即有，恒成立，令，即上，∴时，，有或（舍去）；时，故恒成立；时，，有或（舍去）；综上，有或或；错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当结论成立，若时结论也成立，证明时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.14．设函数其中表示中的最小者.下列说法正确的有（）A．函数为偶函数B．当时，有C．当时，D．当时，【答案】ABC【分析】画出的图象然后依据图像逐个检验即可．【详解】解：画出的图象如图所示：对A，由图象可知：的图象关于轴对称，故为偶函数，故A正确；对B，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，此时有，故B成立；对C，从图象上看，当时，有成立，令，则，故，故C正确；对D，取，则，，，故D不正确．故选：ABC．【点睛】方法点睛：一般地，若（其中表示中的较小者），则的图象是由这两个函数的图象的较低部分构成的．15．已知函数的图象关于对称，且对，当时，成立，若对任意的恒成立，则的可能取值为（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由已知得函数是偶函数，在上是单调增函数，将问题转化为对任意的恒成立，由基本不等式可求得范围得选项．【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线（即轴）对称，所以函数是偶函数.又时，成立，所以函数在上是单调增函数.且对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，当时，恒成立，当时，，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，因此，故选：BC.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立.16．已知函数，若存在实数a，使得，则a的个数不是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABD【分析】令，即满足，对t进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t，进而求得a.【详解】令，即满足，转化为函数与有交点，结合图像由图可知，有两个根或（1）当，即，由，得时，经检验均满足题意；（2）当，即，当时，，解得：；当时，，解得：；综上所述：共有4个a．故选：ABD．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解17．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确有（）A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解C．方程有且仅有八个解 D．方程有且仅有一个解【答案】ABD【分析】通过利用和，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程，当或，方程只有一解；当时，方程只有两解；当时，方程有三解；对于方程，当时，方程只有唯一解.对于A选项，令，则方程有三个根，，，方程、、均只有一解，所以，方程有且仅有三个解，A选项正确；对于B选项，令，方程只有一解，方程只有三解，所以，方程有且仅有三个解，B选项正确；对于C选项，设，方程有三个根，，，方程有三解，方程有三解，方程有三解，所以，方程有且仅有九个解，C选项错误；对于D选项，令，方程只有一解，方程只有一解，所以，方程有且仅有一个解，D选项正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.18．已知函数，若，且，则（）A．B．C．的取值范围是D．的取值范围是【答案】ACD【分析】作出函数的图象，利用对数的运算性质可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D选项的正误.【详解】由可得，解得.作出函数的图象如下图所示：由图象可得，由，可得，即，得，A选项正确；令，解得，当时，令，解得，由于，，所以，函数的图象关于直线对称，则点、关于直线对称，可得，B选项错误；，C选项正确；，下面证明函数在上为减函数，任取、且，则，，则，，所以，，所以，函数在上为减函数，，则，D选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的