河北省石家庄市长安区一民初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

第第页河北省石家庄市长安区一民初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x﹣1＝0 B．ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数）C．x2+x＝3 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝02．将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）A． B． C． D．3．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小15 4．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，可变形为（）A．（x+3）2＝16 B．（x﹣3）2＝16C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝25．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB的值为（）A．12 B．22 C．1 6．在锐角△ABC中，若（sinA﹣32）2+|12﹣cosB|＝0，则∠A．60° B．45° C．75° D．105°7．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（）A．12 B．13 C．238．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BDC．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD9．已知反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），若xA．y＞3 B．y＜3 C．y＞3或y＜0 D．0＜y＜310．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，图中相似的三角形有（）对.A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（每空3分，共18分）11．已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根，则另一个根是．12．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：3，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是13．若△ABC∽△DEF，它们的面积比为9：4，则对应高的比为．14．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算tan45°时，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB，使BD＝AB，连接AD，使得∠D＝15°，所以tan15°＝ACCD=115．如图，在平面直角坐标系中点A点C的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将三角形ACO沿着AC折叠，点O落在点D处，求过点D的反比例函数表达式．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E、F分别是AB、BC边上的动点，且AE：BF＝2：1，连接AF和DE交于点G，连接CG，则CG的最小值是．三、解答题（共72分）17．计算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）2sin18．用适当的方法解方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．19．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）20．西安是一座历史悠久、文化瑰宝的城市，承载着丰富的历史遗产和人文景观，独特的文化传统，吸引着无数游客前来探索．某天甲、乙两人来西安旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．（1）甲选择A景点的概率为；（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．21．如图，已知，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，CD＝CE．（1）求证：△ACE∽△BAD．（2）若AB＝15，BC＝10，试求AC和AD的长．22．楼观台显灵山的老子铜像（图1）栩栩如生，童颜鹤发，参悟天地的手势寓意着天地和谐，万物归一，与庄严肃穆的说经台遥相对应，象征着老子的和谐哲学思想源远流长．如图2，小颖想利用无人机测量老子铜像BC的高度，无人机在点A处测得铜像顶部点B的俯角∠BAD为45°，铜像底部点C的俯角∠DAC为76°，此时无人机与铜像的水平距离AD为8m，点D、B、C在一条直线上，求老子铜像BC的高度．（参考数据：tan76°≈4.0）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣3与反比例函数y＝kx的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A，B的坐标分别为（4，1）和（m（1）求反比例函数的解析式；（2）点P为y轴正半轴上一点，若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．24．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5．在AD上取一点E，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作四边形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上，若AF＝x，△BFM的面积为S．（1）当AE＝2，四边形EFMN是正方形时，求x的值为；（2）当AE＝2，四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式；（3）当四边形EFMN是矩形时且矩形的两邻边EF：EN＝2：1，请直接写出S与x的函数关系式；并指出S的最大值．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A．3x−1=0不是一元二次方程，不符合题意；B．ax2+bx+c=0C．x2D．3x故答案为：C．【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．2．【答案】C【解析】【解答】解：根据左视图的定义，从左边观察得到的图形，是选项C．故答案为：C．【分析】根据从左边观察得到的图形是左视图得到正确答案.3．【答案】A【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A故答案为：A．【分析】根据锐角三角函数的意义其相应边长的比值不变，因此锐角A的正切函数值也不会改变．4．【答案】B【解析】【解答】解：x2∴x2即：(x−3故答案为：A．【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．5．【答案】B【解析】【解答】如图，连接AC，∵AC=OC=12+32=10∴∠AOB=45°∴sin∠AOB=故答案为：B．【分析】连接AC，根据勾股定理及其逆定理证明△AOC是等腰直角三角形，∠AOB=45°6．【答案】A【解析】【解答】解：∵(sin∴sinA−32∴∠A=60°，∠B∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，故答案为：A；【分析】依题意sinA−32=0，127．【答案】B【解析】【解答】解：随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，即：S1+S2∴共3种情况根据题意，得能让灯泡L1发光的组合为：S∴能让灯泡L1发光的概率是13故答案为：B.【分析】列举出所有可能出现的情况数，然后找出能让灯泡L1发光的组合数，接下来利用概率公式进行计算.8．【答案】A【解析】【解答】解：A．AC=BD，对角线相等，能判断平行四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是菱形，符合题意B．AC⊥C．∠ACD=∠ACB，对角线平分一组对角，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；D．BC=CD，一组邻边相等，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；

故答案为：A．【分析】根据平行四边形的条件加上对角线互相垂直，或者一组邻边相等，或者对角线平分一组对角即可得到四边形为菱形，即可求解．9．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意得k=-6，反比例函数解析式为y=-6∴当-2＜x＜0时，−6y∴y＞3又∵反比例函数解析式为y=-6x∴当x＞0时，y＜0∴函数值y的取值范围为y>3或y<0．故答案为：C．【分析】先确定反比例函数解析式为y=-6x10．【答案】C【解析】【解答】解：图中的相似三角形有△ABC∽△ADE，△ABD∽△AEF，△AEF∽△DCF，△ABD∽△DCF，△ADF∽△ACD；理由如下：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，∴△ABC∽△ADE；∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠FAE，∴△ABD∽△AEF；∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△DCF；∵∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，∴△ADF∽△ACD，故答案为：C.【分析】由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，得出△ABC∽△ADE，再证出∠BAD＝∠FAE，得出△ABD∽△AEF；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，证出△AEF∽△DCF，得出△ABD∽△DCF；由∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，即可得出△ADF∽△ACD.11．【答案】x=1【解析】【解答】解：设该方程的另一个根为x12x∴x1故答案为x=1．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得2a=2，即可求解．12．【答案】16【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：3，坝高∴BCAC解得：AC=83则AB=B故答案为：16．

【分析】根据坡度比可得BCAC13．【答案】3：2【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF∴对应高的比是94=3故答案为：3：【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即可求解．14．【答案】2【解析】【解答】解：如图所示，作Rt△ABC，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB到点D，使BD=AB则∠BAD=设AC=BC=x，∴AB=x∴BD=2∴CD=BC+BD=x+2∴tan22故答案为：2−1【分析】仿照例题，可得∠D=22.5°，设AC=BC=x，解直角三角形求出BD=215．【答案】−【解析】【解答】解：如图所示，设OD交AC于G，过D作DH⊥x轴于H，如图：∵A(0，2)，∴AC=OA2∵折叠∴OG=DG，OD⊥AC，∴S∴DG=OG=OA⋅OC∴OD=4∵∠DOH=90°−∠AOG=∠CAO∴tan∴OH=2DH，在Rt△DOH中，∵即4DH解得DH=4∴OH=8∴H(−8设过点D的反比例函数为y=kx，则故答案为：−32【分析】设OD交AC于G，过D作DH⊥x轴于H，勾股定理得出AC=5，tan∠CAO=12，根据等面积法求得OG，进而根据tan∠DOH=tan∠CAO=16．【答案】32﹣3【解析】【解答】解：∵AB＝3，AD＝6，∴AB：AD＝1：2，∴AEBF又∵∠B＝∠BAD＝90°，∴△ABF∽△DAE，∴∠BAF＝∠ADE，∴∠BAF+∠AED＝∠ADE+∠AED＝90°，∴∠AGD＝90°，∴点G在以AD为直径的圆上运动，如图，取AD的中点O，连接OC，交⊙O于G'，∵点O是AD的中点，∴AO＝OD＝3，∴OC=O∴CG'＝32﹣3，∴CG的最小值为32﹣3，故答案为：32﹣3．

【分析】△ABF∽△DAE，可得∠BAF=∠ADE，可证∠AGD=90°，则点G17．【答案】（1）解：原式＝2×=＝12（2）解：原式＝2×=1−＝2．【解析】【分析】（1）根据特殊锐角的三角函数值代入进行计算即可求解；（2）根据特殊锐角的三角函数值，绝对值的性质及二次根式的运算法则计算即可．18．【答案】（1）解：x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣3，x2＝1；（2）解：2x2﹣2x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝4+8＝12＞0，x=2±所以x1＝12+32，x【解析】【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；

（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．19．【答案】解：如图，∠PBC即为所求．【解析】【分析】根据作一个角等于已知角，作∠PBC＝∠C=45°，交AC于一点P即可．20．【答案】（1）1（2）解：由题意，画树状图为：共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的结果有5种，∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率为59【解析】【解答】（1）解：∵共有3个景点选择，且每个景点被选择的可能性相等，∴随机选择一个景点，选择A景点的概率为13故答案为：13【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．（2）画树状图法列举出所有可能，再利用概率公式可得出答案．21．【答案】（1）证明：∵CD＝CE，∴∠CED＝∠EDC，∵∠AEC+∠CED＝180°，∠ADB+∠EDC＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠DAC＝∠B∴△ACE∽△BAD．（2）解：∵∠DAC＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴ACBC即AC10∴AC=52∵△ACE∽△BAD，∴ACAB即52∴AD＝152【解析】【分析】（1）由CD=CE得到∠CED=∠EDC，进而可得∠AEC=∠ADB，由已知∠DAC=∠B，即可证明△ACE∽△BAD．（2）由∠DAC=∠B及公共角相等证明△ACD∽△BCA，进而根据相似三角形的性质列出比例式，求得AC，再由（1）的结论△ACE∽△BAD，根据相似三角形的性质列出比例式，求得AD，即可求解．22．【答案】解：由题意得：CD⊥AD，在Rt△ADB中，∠BAD＝45°，AD＝8m，∴BD＝AD•tan45°＝8（m），在Rt△ADC中，∠DAC＝76°，∴DC＝AD•tan76°≈8×4＝32（m），∴BC＝CD﹣BD＝32﹣8＝24（m），∴老子铜像BC的高度约为24m．【解析】【分析】在Rt△ABD中，根据正切的定义求得BD=8，在Rt△23．【答案】（1）解：把点A（4，1）代入y=k∴k＝4×1＝4，即反比例函数的解析式为y＝4x（2）解：在y＝x﹣3中，令y＝0，则x＝3，∴C（3，0），∴OC＝3，设P（0，a），∵S△POC＝2S△AOC，∴12∴a＝2，∴P（0，2）；（3）解：设E（c，d），把（m，﹣4）代入y＝x﹣3得﹣4＝x﹣3，∴x＝﹣1，∴B（﹣1，﹣4），∵A（4，1），P（0，2），以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，∴c=4−1d+2=−4+1或c+4=−11+d=−4+2或∴c=3d=−5或c=−5d=−3或∴E（3，﹣5）或（﹣5，﹣3）或（﹣5，7）．【解析】【分析】（1）把点A（4，1）代入y=k（2）先求得C(3，0)（3）设E(c，d)，把(m，24．【答案】（1）3（2）解：如图2，连接FN，作MQ⊥FB于Q，则∠MQF＝90°，∠MQF＝∠A，∵四边形FEMN是菱形，∴EN＝FM，EN∥FM