第八章蒙特卡罗方法研究报告

第八章

蒙特卡罗方法Monte-Carlo,Monaco

MonteCar1o(MC)方法又称随机模拟或统计试验方法。

源于：Metropolis提出的美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”；研究与原子弹有关的中子输运过程。该计划的主持人之一、数学家JohnvonNeumann用驰名世界的赌城—摩纳哥的MonteCarlo—来命名这种方法。1.1引言什么是MonteCarlo方法MonteCarlo方法的应用：1，非确定性过程的模拟2，复杂程度高，不能进行模型分析的确定性系统模拟3，维数较高，不易离散化的确定性系统模拟例如：对中子输运过程的模拟多体问题的模拟多重积分的计算其他：道琼斯指数预测石油矿井勘探癌症的放射疗法MonteCarlo方法的基本思想例1，圆周率的计算：Ifyouareaverypoordartplayer,itiseasytoimaginethrowingdartsrandomlyattheabovefigure,anditshouldbeapparentthatofthetotalnumberofdartsthathitwithinthesquare(N),thenumberofdartsthathittheyellowpart(n)isproportionaltotheareaofthatpart:.MonteCarlo方法的基本思想例2，简单积分对边长为1的正方形里随机投点，点落在曲线y=f(x)的下面

对积分有贡献点落在曲线y=f(x)的上面

对积分无贡献积分I的一个估计值为xyO11例3，打靶游戏用概率论的语言说，<g>就是随机变量g(r)的数学期望值，即<g>=Eg(r).MonteCarlo方法的基本思想以r表示投掷者的飞镖到靶心的距离，分布函数f(r)表示该投掷者的飞镖分布，g(r)表示击中r处应得的分数。则投掷者的得分为：现在，假设这个投掷者投掷了N次，飞镖点分布依次是r1,r2,…,rN，则，自然认为N次投掷得分的平均值相当好地代表了这个运动员的成绩。换句话说，gN’是积分<g>的一个估计值。MonteCarlo方法的基本思想：将所要求解的问题转化为某事件出现的概率，再通过某种模拟试验方法，得到这一概率，并用它作为问题的解。MonteCarlo模拟的步骤：1，根据欲研究的物理系统的性质，建立能够描述该系统特性的理论模型，导出该模型的某些特征量的概率密度函数；2，从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一些模拟结果；3，对模拟结果进行分析总结，预言物理系统的某些特性。1.2伪随机数的产生随机的重要性：

Non-randomsequencewillskewtheapproximation.

VeryadvancedMonteCarloMethodcomputationscouldrunformonthsbeforearrivingatanapproximation.

Ifthemethodisnotsufficientlyrandom,itwillcertainlygetabadapproximationandwastelotsof$$$.随机数在具有单位矩形分布的总体中抽取简单的子样，x1,x2,…,xN，称为随机数序列，其中每一个个体称为随机数。伪随机数计算机是用数论的方法来产生随机数的。用计算机生成的随机数从表面上看是随机的，但实际上由于凡是计算机产生随机数都要依赖于某种算法，这种“随机数”仍然是确定的，故称伪随机数。均匀伪随机数产生方法线性同余法：从一个‘种子’出发生长出一个随机数序列a、b、c：幻数。一般取Forntran内部函数RAN(I)输入：整型变量或数组元素，足够大的奇数

输出：[0,1)间的随机数

1.3.1简单抽样的蒙特卡罗方法1.3蒙特卡罗方法计算积分求平均的做法：均匀地在[0，1]中随机选取N个点{xi}，考虑f(x)在这些点上的函数值。把I看成f(x)在[0，1]上的平均，则例：用简单抽样MC方法计算积分误差：根据统计力学中的大数定律和中心极限定理两种极端情况：xxf1

(x)f2

(x)只需一个点，就可求得积分的精确值即使在积分区间上取很多点，也难以求得积分的精确值

(a)

(b)1.3.2重要抽样的蒙特卡罗方法引入分布函数，将积分变形为做替换则因而xf(x)xf(x)也可以理解为：——重要抽样的MC方法例：用重要抽样MC方法计算积分解：选择分布函数1.3.3Metropolis算法对积分区间的重要抽样要求我们获得x(y)，而这只对极少数的分布

(x)能够解析地做到。Metropolis算法：

一种很普遍的产生具有任意形状的给定概率分布随机变量的方法。算法的实现：

可以用各种不同的方法落实．其中最简单者：假想有一个随机行走者在R空间中运动，这个随机行走过程相继各步的终点产生出一个点的序列：R0，R1，

；随机行走的路程越长，它连接的点就越接近所要求的分布．这一随机行走在位形空间中进行的规则如下：设行走者处于序列中Rn点上．为了产生Rn+1点，行走者迈出试探性的一步到一个新点Rt这个新点可以用任何方便的方法选取，例如可以在Rn点周围的一个边长

很小的多维立方体中均匀地随机选取．然后按照比值来决定是“接受”还是“拒绝”这一试验步．如果r大于l，那么接受这一步(取Rn+1=Rt)；而如果r小于1，则以概率r接受这步．这时我们把r和一个在[0，1]区间上均匀分布的随机数

比较，若

<r就接受这一步．如果这一试验步不被接受，就舍弃它．而取Rn+1=Rn；这样产生出Rn+1之后，可以从Rn+1出发迈出一个试验步按照同样的过程产生Rn+2，‘任意’点R0都可以用作随机行走的起点．例：用Metropolis抽样MC方法计算积分解：选择分布函数1.4蒙特卡罗方法的特点MC方法