2025年高二选修一数学测试题及答案

2025年高二选修一数学测试题及答案

一、单项选择题1.抛物线\(y^2=4x\)的焦点坐标是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,2)\)D.\((2,0)\)2.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0,b\gt0\)）的渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，则双曲线的离心率为（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{5}{3}\)D.\(\frac{3}{2}\)3.若椭圆\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1\)的焦距为\(2\)，则\(m\)的值为（）A.\(5\)B.\(3\)C.\(5\)或\(3\)D.\(8\)4.已知直线\(l\)过抛物线\(y^2=4x\)的焦点\(F\)，且与抛物线交于\(A\)、\(B\)两点，若\(\vertAF\vert=4\)，则\(\vertBF\vert\)等于（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{5}{4}\)D.\(\frac{6}{5}\)5.设双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0,b\gt0\)）的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在双曲线的右支上，且\(\vertPF_1\vert=4\vertPF_2\vert\)，则此双曲线离心率的最大值为（）A.\(\frac{4}{3}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(2\)D.\(\frac{7}{3}\)6.已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的左、右顶点分别为\(A_1,A_2\)，且以线段\(A_1A_2\)为直径的圆与直线\(bx-ay+2ab=0\)相切，则\(C\)的离心率为（）A.\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)D.\(\frac{1}{3}\)7.已知抛物线\(y^2=2px\)（\(p\gt0\)）的焦点为\(F\)，点\(P_1(x_1,y_1)\)，\(P_2(x_2,y_2)\)，\(P_3(x_3,y_3)\)在抛物线上，且\(2x_2=x_1+x_3\)，则有（）A.\(\vertFP_1\vert+\vertFP_3\vert=2\vertFP_2\vert\)B.\(\vertFP_1\vert^2+\vertFP_3\vert^2=2\vertFP_2\vert^2\)C.\(2\vertFP_2\vert=\vertFP_1\vert+\vertFP_3\vert\)D.\(\vertFP_2\vert^2=\vertFP_1\vert\cdot\vertFP_3\vert\)8.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0,b\gt0\)）的一条渐近线平行于直线\(l:y=2x+10\)，双曲线的一个焦点在直线\(l\)上，则双曲线的方程为（）A.\(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1\)B.\(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1\)C.\(\frac{3x^2}{25}-\frac{3y^2}{100}=1\)D.\(\frac{3x^2}{100}-\frac{3y^2}{25}=1\)9.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的离心率为\(\frac{1}{2}\)，则（）A.\(a^2=2b^2\)B.\(3a^2=4b^2\)C.\(a=2b\)D.\(3a=4b\)10.已知抛物线\(y^2=4x\)上一点\(P\)到焦点\(F\)的距离为\(5\)，则\(P\)点的横坐标为（）A.\(1\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)答案：1.B2.A3.C4.B5.B6.A7.C8.A9.B10.C二、多项选择题1.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0,b\gt0\)），则下列说法正确的是（）A.实轴长为\(2a\)B.虚轴长为\(2b\)C.离心率\(e=\frac{c}{a}\)D.渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)2.对于抛物线\(y^2=2px\)（\(p\gt0\)），下列说法正确的是（）A.焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)B.准线方程为\(x=-\frac{p}{2}\)C.抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离D.过焦点垂直于对称轴的弦长为\(2p\)3.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)），下列说法正确的是（）A.长轴长为\(2a\)B.短轴长为\(2b\)C.离心率\(e=\frac{c}{a}\)D.焦点坐标为\((c,0)\)，\((-c,0)\)4.若双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0,b\gt0\)）的渐近线与圆\(x^2+(y-2)^2=1\)相切，则双曲线的离心率为（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(2\)D.\(3\)5.已知抛物线\(y^2=4x\)，过焦点\(F\)的直线交抛物线于\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)两点，则下列说法正确的是（）A.\(y_1y_2=-4\)B.\(x_1x_2=1\)C.\(\frac{1}{\vertAF\vert}+\frac{1}{\vertBF\vert}=1\)D.以\(AB\)为直径的圆与准线相切6.椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦点为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在椭圆上，则下列说法正确的是（）A.\(\vertPF_1\vert+\vertPF_2\vert=10\)B.\(\trianglePF_1F_2\)的周长为\(20\)C.\(\vertPF_1\vert\)的最大值为\(9\)D.\(\vertPF_1\vert\)的最小值为\(1\)7.已知双曲线\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1\)，则下列说法正确的是（）A.实轴长为\(4\)B.虚轴长为\(2\sqrt{3}\)C.离心率为\(2\)D.渐近线方程为\(y=\pm\sqrt{3}x\)8.抛物线\(y=ax^2\)（\(a\neq0\)）的焦点坐标为（）A.\((0,\frac{1}{4a})\)B.\((\frac{1}{4a},0)\)C.当\(a\gt0\)时，焦点在\(y\)轴正半轴D.当\(a\lt0\)时，焦点在\(y\)轴负半轴9.已知椭圆\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1\)（\(m\gt0,n\gt0\)）的离心率为\(\frac{1}{2}\)，则（）A.当\(m\gtn\)时，\(3m=4n\)B.当\(m\ltn\)时，\(3n=4m\)C.椭圆可能是圆D.椭圆不可能是圆10.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0,b\gt0\)）的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在双曲线上，且\(\vertPF_1\vert=3\vertPF_2\vert\)，则（）A.点\(P\)可能在双曲线的左支B.点\(P\)可能在双曲线的右支C.双曲线离心率的取值范围是\((1,2]\)D.双曲线离心率的取值范围是\([2,+\infty)\)答案：1.ABCD2.ABC3.ABC4.BC5.ABCD6.ABCD7.ACD8.ACD9.ABC10.BC三、判断题1.抛物线\(y^2=2px\)（\(p\gt0\)）的焦点到准线的距离为\(p\)。（）2.双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0,b\gt0\)）的离心率\(e\gt1\)。（）3.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的长轴长是\(2b\)。（）4.抛物线\(y=ax^2\)（\(a\neq0\)）的准线方程是\(y=-\frac{1}{4a}\)。（）5.双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，则离心率\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)。（）6.椭圆\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1\)（\(m\gt0,n\gt0\)），若\(m\gtn\)，则焦点在\(x\)轴上。（）7.抛物线\(y^2=4x\)上一点\(P\)到焦点的距离等于到准线的距离。（）8.双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0,b\gt0\)）的实轴长大于虚轴长。（）9.椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)的离心率为\(\frac{3}{5}\)。（）10.抛物线\(y^2=8x\)的焦点坐标是\((2,0)\)。（）答案：1.√2.√3.×4.√5.√6.×7.√8.×9.√10.√四、简答题1.求抛物线\(y^2=8x\)的焦点坐标和准线方程。2.已知椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，求其离心率。3.求双曲线\(9x^2-16y^2=144\)的渐近线方程。4.已知抛物线\(y^2=4x\)，过焦点\(F\)的直线交抛物线于\(A\)、\(B\)两点，若\(\vertAF\vert=3\)，求\(\vertBF\vert\)。答案：1.对于抛物线\(y^2=2px\)，由\(y^2=8x\)得\(2p=8\)，\(p=4\)，焦点坐标为\((2,0)\)，准线方程为\(x=-2\)。2.椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)中，\(a=5\)，\(b=3\)，则\(c=\sqrt{a^2-b^2}=4\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)。3.双曲线方程\(9x^2-16y^2=144\)化为标准方程\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)，渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)。4.设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，由抛物线定义知\(\vertAF\vert=x_1+1=3\)，则\(x_1=2\)，代入抛物线方程得\(y_1=\pm2\sqrt{2}\)。设直线\(AB\)斜率为\(k\)，则直线\(AB\)方程为\(y=k(x-1)\)，与抛物线方程联立得\(k^2(x-1)^2=4x\)，即\(k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0\)，\(x_1x_2=1\)，所以\(x_2=\frac{1}{2}\)，则\(\vertBF\vert=x_2+1=\frac{3}{2}\)。五、讨论题1.讨论椭圆、双曲线、抛物线的定义及它们之间的联系与