云南省昭通市镇雄县雨河初级中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试（含解析）

雨河中学九年级数学2025-2026年秋期期中考试题一、选择题（36分）1.已知x1，x2是一元二次方程x2−2x=0A.x1≠x2 B.x122.观察下列四个图形，中心对称图形是(

)A. B. C. D.3.用配方法解一元二次方程x2−6x−10=0时，下列变形正确的为(

)A.(x+3)2=1 B.(x−3)2=14.下列事件中，属于必然事件的是(

)A.三角形的外心到三边的距离相等 B.某射击运动员射击一次，命中靶心

C.任意画一个三角形，其内角和是180∘ D.5.把抛物线y=−12x2向下平移1个单位，再向左平移1A.y=−12(x+1)2+1 B.y=−6.若正六边形的外接圆半径长为4，则它的边长等于(

)A.4 B.2 C.23 7.如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，则截面上有油部分油面CD(单位：cm)等于(

)A.8cm

B.9cm

C.10cm

D.11cm8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(

)

A.a>0 B.3是方程ax2+bx+c=0的一个根

C.a+b+c=0 D.当x<1时，y9.如图，点O为▱ABCD对角线的交点，过点O的直线交AD，BC于点E，F，则下列说法错误的是(

)A.平行四边形ABCD是中心对称图形 B.AE=CF

C.∠B+∠D=180∘ 10.如果等腰△ABC的两边长分别是方程x2−7x+10=0的两个根，则△ABC的周长为(

)A.12 B.9 C.12或9 D.1011.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50∘，则∠C的度数是(

)A.50∘

B.40∘

C.30∘12.一元二次方程x2−2x=0的解是(

)A.0 B.0或2 C.2 D.此方程无实数解二、填空题（12分）13.抛物线y=2(x+1)2−3的顶点坐标为______14.已知关于x的方程x2+3x−k=0的一个根是−1，则k=

.15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B=2∠ADC，则∠ADE的度数是______.16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r=______.三、解答题（52分）17.已知关于x的方程x2−2(k+1)x+k2=018.如图，抛物线y=x2+4x+3交x轴于A，B两点(A在B左侧)，交y轴于点C.已知一次函数y=kx+b的图象过点A，C.

(1)求抛物线的对称轴和一次函数的解析式；

(2)根据图象，写出满足kx+b>x219.如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC.

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．20.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=1.

(1)作⊙O，使它过点A、B、C(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).

(2)在(1)所作的圆中，求出劣弧BC21.在淘宝网店，某种服装的进化价为60元，据市场调查，当每件服装的销售价定为80元时，每月可卖200件，当每件的销售价每涨1元，每月的销售数量将减少5件，如果每件服装的销售价涨x元，当x为何值时，该月获得的总利润W(元)最大？并求出最大利润？22.如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，BD的长．23.如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A(−1,0)C(0,5)，D(1,8)在抛物线上，M为抛物线顶点．

(1)求抛物线解析式；

(2)求顶点M及直线MC的解析式；

(3)求抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△MCB的面积？若存在，求出所有符合条件的点P

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根的判别式．

由根的判别式Δ=4>0，可得x1≠x2，则选项A正确；将x1代入一元二次方程x2−2x=0中可得x12−2x1=0，则选项B正确；利用根与系数的关系得x1+x2=2，x1⋅x2=0，则选项C正确，选项D错误．

【解答】

解：∵Δ=(−2)2−4×1×0=4>0，

∴x1≠x2，

故选项A正确，不符合题意；

∵2.【答案】C

【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、是中心对称图形，故本选项正确；

D、不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：C.

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D

【解析】【分析】

此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

方程移项变形后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．

【解答】

解：方程移项得：x2−6x=10，

配方得：x2−6x+9=19，即4.【答案】C

【解析】解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意；

B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；

C、三角形的内角和是180∘，是必然事件，故本选项符合题意；

D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意.

故选：C.

必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．

5.【答案】B

【解析】解：∵y=−12x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，

∴平移后的抛物线的顶点坐标为(−1,−1)，

∴平移得到的抛物线的解析式为y=−12(x+16.【答案】A

【解析】【分析】

此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形求解是解题关键．

根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．

【解答】

解：如图，正六边形的中心角∠A0B=360∘÷6=60∘，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，

故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是7.【答案】A

【解析】解：如图；连接OA；

根据垂径定理，得AC=BC=12cm；

Rt△OAC中，OA=13cm，AC=12cm；

根据勾股定理，得：

OC=OA2−AC2=5cm；

∴CD=OD−OC=8cm；

故选：A.

根据垂径定理，易知AC、BC的长；连接OA8.【答案】B

【解析】【分析】

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得到正确信息．

二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，根据对称轴和与x轴的一个交点可以判断B，根据对称轴对应的函数值可以判断C，根据二次函数的性质可以判断D.

【解答】解：A.因为抛物线开口向下，因此a<0，故此选项错误；

B.根据对称轴为x=1，一个交点坐标为(−1,0)可得另一个与x轴的交点坐标为(3,0)因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确；

C.把x=1代入二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中得：y=a+b+c，由图象可得，y>0，故此选项错误；

D.当x<1时，y9.【答案】C

【解析】解：平行四边形是中心对称图形，故选项A不合题意；

∵点O为▱ABCD对角线的交点，过点O的直线交AD，BC于点E，F，

∴AE=CF，S四边形ABFE=S四边形CDEF，故选项B、D不合题意；

∠B=∠D，故选项C符合题意．

故选：C.10.【答案】A

【解析】解：解方程x2−7x+10=0，得x1=2，x2=5，

当5为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为5+5+2=12；

当2为腰，5为底时，2+2=4，不能构成等腰三角形．

故周长为12.

11.【答案】D

【解析】解：∵OA//DE，

∴∠D=∠AOD=50∘，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠OAC=12∠AOD=25∘.

故选12.【答案】B

【解析】解：原方程变形为：x(x−2)=0

x1=0，x2=2

故选：B.

本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x(x−2)=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为13.【答案】(−1,−3).

【解析】解：顶点坐标是(−1,−3).

故答案为：(−1,−3).

直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．

此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点同学们应熟练掌握．14.【答案】−2

【解析】解：因为一元二次方程x2+3x−k=0有一个根为−1，

所以(−1)2+3×(−1)−k=0，

解得：k=−2，

故答案为：−2.

将x=−1代入一元二次方程x2+3x−k=015.【答案】120∘【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ADC=180∘−∠B=180∘−2∠ADC，

∴∠ADC=60∘，

∴∠ADE=180∘16.【答案】1

【解析】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，

则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，

设半径为r，CD=r，

∵∠C=90∘，BC=4，AC=3，

∴AB=5，

∴BE=BF=4−r，AF=AD=3−r，

∴4−r+3−r=5，

∴r=1.

∴△ABC的内切圆的半径为1.

故答案为：1.

首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出．

17.【答案】解：

∵关于x的方程x2−2(k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根，

∴△>0，即[−2(k+1)【解析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围．

本题主要考查根的判别式，掌握根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．18.【答案】解：(1)y=x2+4x+3，

当y=0时，x2+4x+3=0，

解得：x=−3或−1，

即A点的坐标是(−3,0)，B点的坐标是(−1,0)，

∴抛物线y=x2+4x+3的对称轴是直线x=−3+(−1)2=−2；

∵y=x2+4x+3，

∴党x=0时，y=3，

即点C的坐标是(0,3)，

把A(−3,0)和点C(0,3)代入y=kx+b得：−3k+b=0b=3，

解得：k=1，b=3，

即一次函数的解析式是y=x+3；

(2)∵抛物线【解析】先根据二次函数的解析式求出A、B、C的坐标，再根据A、B的坐标求出抛物线的对称轴即可；再把A、C的坐标代入y=kx+b，求出k、b的值即可；

(2)根据A、C的坐标，结合两函数的图象即可得出不等式的解集．

本题考查了二次函数与不等式(组)，用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与x轴的交点问题等知识点，能求出A、B、C的坐标是解此题的关键．19.【答案】(1)证明：连结OA、OD，如图，

∵D为BE的下半圆弧的中点，

∴OD⊥BE，

∴∠D+∠DFO=90∘，

∵AC=FC，

∴∠CAF=∠CFA，

∵∠CFA=∠DFO，

∴∠CAF=∠DFO，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODF，

∴∠OAD+∠CAF=90∘，即∠OAC=90∘，

∴OA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

(2)解：∵圆的半径R=5，EF=3，

∴OF=2，

在Rt△ODF中，∵OD=5，【解析】本题考查切线的判定，以及勾股定理．

(1)连结OA、OD，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠DFO=90∘，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根据对顶角相等得∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，由∠OAD=∠ODF，则∠OAD+∠CAF=90∘，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；

(2)由于圆的半径R=5，EF=3，则OF=2，然后在20.【答案】解：(1)如图，⊙O为所作；

(2)∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=1，

∴AB=2AC=2，

∵线段AB的垂直平分线交AB于O点，

∴∠BOC=90∘，OB=OA=【解析】(1)先作线段AB的垂直平分线交AB于O点，然后以O为圆心，OA为半径画圆即可；

(2)先利用等腰直角三角形的性质求出AB的长，那么OB=OA=12AB，又∠BOC=90∘21.【答案】解：设每件服装的销售价涨x元，获得利润为w元，由题意得：

w=(80+x−60)(200−5x)

=−5x2+100x+4000

=−5(x−10)2+3500，

∵−5<0，抛物线开口向下，

∴当x=10时，w有最大值，最大值为3500，

∴每件服装的销售价涨10元，该月获得的总利润W(【解析】每件服装的销售价涨x元，获得利润为w元，根据总利润等于单件利润与销售量的乘积列出函数解析式，根据函数的性质求最值．

本题考查二次函数的应用，关键是利用等量关系写出函数解析式．22.【答案】解：∵AB是直径

∴∠ACB=∠ADB=90∘

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm

∴BC2=AB2−AC2=102−62=64

【解析】根据直径所对的角是90∘，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．

此题考查圆周角问题，解答此题要抓住两个关键，

(1)判断出△ABC和△ABD是直角三角形，以便利用勾股定理；

(2)判断出