专题01有理数（期中复习讲义）（原卷版）七年级数学上学期华东师大版2024

专题01有理数（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律正数和负数的认识及其应用熟悉正数和负数的定义，并能够运用在实际生活中去基础必考点，经常出现在选填题中数轴的认识以及应用理解数轴的组成，并能够正确判断数轴是否正确，能在数轴上表示有理数高频易错点，在选择题、填空题以及解答题中均可以出现。绝对值、相反数和倒数理解绝对值、相反数和倒数的基本概念，能熟练的运用三者的性质进行相关求解高频考点，经常出现在选填题中，或者在解答题中作为桥梁科学记数法的应用掌握科学记数法的基本概念，能用正确的运用科学记数法进行求解高频考点，科学记数法作为考试中的常客，再多年中考中都是有所考察的有理数的混合运算熟练的掌握有理数的混合运算，准确的计算出正确结果必考题，有理数的混合运算作为计算题往往出现在解答题的第一大题中有理数的实际应用准确的将有理数运用在实际生活中，将数学与实际生活联系起来期中常考题，有理数的实际应用往往出现在解答题中知识点01正数和负数的定义像12、2.5、237、0.7这样的数是，像3、3.5、500、1.2这样的数是。正数前面有时也可以放一个“﹢”（读作“正”）号，如7可以写成+7注意：0既不是正数，也不是负数。知识点02有理数及其分类①有理数的定义：和统称为有理数②有理数的分类（2种分类方式）知识点03数轴相关概念①数轴的定义：规定了、和的直线叫做数轴②有理数比较大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。由此容易得到如下数的大小比较法则：都大于0，都小于0，都大于。知识点04相反数、绝对值的相关概念①相反数的定义：像6和6、1.5和1.5那样，只有的两个数称互为相反数，也就是说，其中一个数是另一个数的相反数，例如6和6互为相反数，即6是6的相反数，6是6的相反数。②相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点分别位于的两旁，且与的距离相等。注意：0的相反数是0.③绝对值的定义：我们把在数轴上表示数a的点与叫做数a的绝对值，记作|a|。④绝对值的意义：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）0的绝对值是0；（3）一个负数的绝对值是它相反数。知识点05有理数比较大小在数轴上，表示两个负数的两个点中，与原点距离较远的那个点在左边，也就是绝对值大的点在左边，所以，两个负数，绝对值的反而。知识点06有理数的加法法则（1）同号两个数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得0（4）一个数与0相加，仍得这个数。知识点07有理数的加法运算律①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，不变。符号表示：a+b=b+a②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相减，不变。符号表示：（a+b）+c=a+（b+c）知识点08有理数的减法法则有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的。知识点09有理数的乘法法则和运算律①有理数的乘法法则：两数相乘，同号得，异号得，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0.②有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，不变符号表示：ab=ba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，不变。符号表示：（ab）c=a（bc）（3）分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积。符号表示：a（b+c）=ab+ac一般地，几个不等于0的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定，当负乘数的个数为奇数时，积为负数；当负乘数的个数为偶数时，积为正数。知识点10有理数的除法相关概念与运算①倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，注意：0没有倒数。②有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。知识点11有理数的乘方①求几个相同乘数的积的运算，叫做，乘方的结果叫做。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方，当把an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。②科学记数法：一个绝对值大于0的数可以记成的形式，其中，n是正整数，像这样的记数法叫做。知识点12有理数混合运算顺序（1）先做乘方，再做乘除，最后做加减；（2）同级运算，按照从左到右的顺序进行；（3）如果有括号，就先算小括号里面的，再算中括号里的，然后算大括号里的。题型一有理数的定义相关求解【典例1】(2425七上·广东汕头三校联考·期中)负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把支出30元记作−30元，那么收入50元记作（

）A．−30元 B．50元 C．+50元 D．30元【变式1】(2425七上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)小明向北走100m记为+100m，那么−300m的意义是（

）A．小明向东走300m B．小明向西走300mC．小明向南走300m D．小明向北走300m【变式2】(2425七上·湖南永州冷水滩区李达中学·期中)乙醇，俗称酒精，化学式为CH3CH2OH（或C2H5OH）或EtOH，是一种带有一个羟基的有机化合物，在标准大气压下，它的沸点是零上78.5℃，熔点是零下117℃．若零上A．117℃ B．78.5℃ C．−78.5℃ D．−117℃【变式3】(2425七上·甘肃兰州榆中县连搭镇连搭中学·期中)皋兰软儿梨也叫冻梨、香水梨，每年深秋采摘后，经西北寒冽的冬天糖化、变黑后是皋兰软儿梨特有的吃法，成为当地群众严冬的一道特色美食，某生态园区生产的软儿梨包装纸箱上标明软儿梨的质量为10±0.05千克，如果一箱软儿梨的质量为10.48千克，那么这箱软儿梨（选填“合格”或“不合格”）题型二有理数的定义相关求解解｜题｜技｜巧正确对有理数定义进行理解：整数和负数统称为有理数；需要注意的是有限小数和无限循环小数能化为分数，所以也是有理数。【典例2】在−14、0.628、−3.1415、160、−28、95、−0.017001700017…、0、0.5、A．8个 B．9个 C．10个 D．7个【变式1】(2425七上·内蒙古呼伦贝尔第七中学等·期中)下列说法中，错误的有（

）①−247是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】(2425七上·上海杨思中学·期中)在数4.19，0，29，π3，−318，−0.010010001⋯⋯，−0.232323⋯⋯A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式3】(2425七上·广东清远连州·期中)下列7个数74、1.010010001、34、0、−2π、−3.141441444…(每两个1之间依次一个4)、3.3，其中有理数有(A．3 B．4 C．5 D．6题型三有理数的分类解｜题｜技｜巧有理数的分类有理数分为整数和分数，整数又分为正整数、零和负整数；分数分为正分数、负分数。【典例3】(2425七上·福建泉州第七中学·期中)下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号里：−65，0.13，20%，+7，0，π，4.7正有理数集：{…}；整数集：{…}；负分数集：{…}；非负数集：{…}．【变式1】(2425七上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中)把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可）①1，②−0.20，③315，④325，⑤−789，⑥0，⑦−23.13正有理数集合：{

…}；负有理数集合：{

…}；整数集合：{

…}；负整数集合：{

…}；有理数集合：{

…}．【变式2】(2425七上·陕西西安长安区·期中)把下列各数填在相应的集合中：15，−12，0.81，−3，227，−3.1，正数集合｛

……｝；非负整数集合｛

……｝；分数集合｛

……｝．题型四判断数轴是否正确解｜题｜技｜巧数轴三要素：原点、正方向（通常用向右的箭头标出，代表正数方向）和单位长度（必须均匀分布，确保数值对应位置准确）。【典例4】(2425七上·云南昭通威信县·期中)下列数轴正确的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式1】(2425七上·广西来宾象州县·期中)下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】(2425七上·贵州贵阳第十九中学·期中)下列各图是四位同学所画数轴，其中正确的是（

）A．

B．

C．

D．

题型五数轴上表示有理数【典例5】(2425七上·河南南阳邓州·期中)小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式1】(2425七上·河南信阳罗山县·期中)在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是−9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB=1，则C点表示的数是（

A．−2 B．−2.5 C．0 D．−1题型六在数轴上比较数的大小（字母类）（选答题）解｜题｜技｜巧核心规则（1）右大左小原则数轴上右侧的数永远大于左侧的数，无论正负。示例：比较3和2→2在3右侧→2>3。（2）正负分界正数>0>负数负数中，绝对值小的更大【典例6】(2526七上·天津河东区多校·期中)如图，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（）A．b>c>0>a B．a>0>c【变式1】(2425七上·河南周口淮阳区·期中)a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．把a，−a，b，−A．−b<−aC．−b<a【变式2】(2425七上·山西运城平陆县多校联考·期中)有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A．a>−2 B．a>b C．ab题型七在数轴上比较数的大小（解答题）【典例7】(2324七下·贵州安顺慧海实验学校·期中)把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“<”连接起来．−1,1.5,−【变式1】(2425七上·广东吴川第二中学·期中)把下列各数：−2.5，−(−3)，−−2，0【变式2】(2425七上·北京第五十中学·期中)把下列各数先在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序用“<”号连接起来：−4，0，3，−1.5，−−32题型八数轴上的规律探索解｜题｜技｜巧做此类规律题的方法都是先计算出前面几个的数值，再从中找到规律，从而得到一般规律，最后带入需要求的值即可。【典例8】(2425七上·贵州贵阳第二十八中学·期中)如图，正六边形ABCDEF（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为−3，−1．现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（

）A．点C B．点D C．点E D．点F【变式1】(2425七上·广西柳州·期中)如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，A．B B．C C．D D．E【变式2】(2425七上·福建泉州实验中学·期中)如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动4个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动6个单位长度至点A3，…按照这种移动方式进行下去，如果点A题型九相反数、绝对值和倒数的判断解｜题｜技｜巧绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0相反数的定义：只有符号不同，数值相同的两个数互为相反数倒数：两个乘积为1的数互为倒数，0没有倒数。【典例9】(2425七上·福建泉州实验中学·期中)−1A．−14 B．4 C．−4 【变式1】下列各数中，互为相反数的是（

）A．3与13 B．−3与13 C．3与−3 【变式2】(2425七上·甘肃天水麦积区·期中)−|−3|的相反数是（

）A．3 B．−3 C．±3 D．1【变式3】(2324七上·青海西宁二中教育集团·期中)下列各组数中，互为相反数的一组是（）A．−13和0.333 B．−+−7和7 C．−14题型十绝对值的非负性解｜题｜技｜巧此题型经常考查的类型为：（）2+||=0，||+||=0这两类题型，我们归纳为0+0=0型，即遇到此类题型只需要将平方内和绝对值内的数或式子等于0即可。【典例10】(2425七上·山东临沂蒙阴县第五中学·期中)若m−2+nA．2 B．7 C．8 D．5【变式1】(2425七上·河南南阳桐柏县·期中)若|a−1|与|b+2|互为相反数，则A．1 B．−1 C．0 D．−2【变式2】(2425七上·广东河源紫金县·期中)若3−x与y+12的值互为相反数，则xyA．7 B．−7 C．1 D．−1题型十一有理数的混合运算（计算题）解｜题｜技｜巧有理数的混合运算顺序（1）先做乘方，再做乘除，最后做加减；（2）同级运算，按照从左到右的顺序进行；（3）如果有括号，就先算小括号里面的，再算中括号里的，然后算大括号里的。易错点：区分12和（1）2【典例11】计算．(1)(−2)3(2)−1(3)12(4)−2【变式1】计算：(1)8+−(2)−24×7(3)−12(4)−1【变式2】计算：(1)−2(2)−题型十二有理数加减法中添括号解｜题｜技｜巧添括号或去括号法则：如果括号前面是负号，在添（去）括号时，括号里面的数符号要发生变化；如果括号前是正号，在添（去）括号时，括号里面的数符号不发生变化。【典例12】(2425七上·甘肃兰州第十六中·期中)把−2−+3−−5A．−2−3−5−4+3 B．−2+3+5−4+3C．−2−3+5−4+3 D．−2−3+5−4−3【变式1】(2425七上·海南海口第十四中学联考·期中)把4−−2+−6A．4+2−6−5 B．4−2−6−5 C．4+2+6−5 D．4+2−6+5【变式2】(2324七上·山东潍坊昌乐县·期中)将−−5A．5+6−3−2 B．−5+6−3−2 C．5+6+3−2 D．−5+6−3+2题型十三判断计算过程是否错误解｜题｜技｜巧容易出现的错误：①运算顺序错误：当题目中只有乘除运算时，应该从左到右依次计算；②开括号错误：开括号时需要判定括号前面是正号还是负号，从而考虑开括号是否变号得问题；③22和（2）2计算错误；④使用乘法分配律时漏分配；⑤在同级计算中，需要优先计算后面项时需要添括号提升优先级。【典例13】(2324七上·浙江杭州保俶塔教育集团·期中)小红与小亮两位同学计算−4小红：−=−16÷−8=−16÷−8=−16÷1③=−16．④小亮：−=−8=−48×−=−6．③(1)请指出小红与小亮开始出错的步骤；(2)写出你的解答过程．【变式1】(2425七上·广东河源连平县隆街中学·期中)下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：−12×=−12=−8−2−9…第二步=−10−9…第三步=−19．…第四步任务：(1)填空：①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是；②第步开始出现错误，错误的原因是．(2)请直接写出正确的计算结果．【变式2】(2425七上·吉林长春第八十七中学·期中)小明在计算题目：24×1解：原式=6+2÷1=6+6−4…………第二步=8…………第三步根据小明的计算过程解答下列过程：(1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第__________步；(2)写出该题正确的解题过程．题型十四数轴与绝对值综合化简解｜题｜技｜巧①去绝对值：先判断绝对值里面的数与0的大小关系，如果绝对值里面的数大于0，则直接去掉绝对值，如果绝对值里面的数小于0，则需要先把绝对值里面的数变为相反数后再去掉绝对值。②进行合并化简即可【典例14】(2425七上·贵州毕节七星关区第三实验学校·期中)已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．(1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“>”“<”“=”填）；(2)根据数轴化简：a=______；b=______；(3)若a=5.5，c=4，求a，【变式1】(2324七上·江苏盐城射阳县实验初级中学·期中)有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示．(1)判断：a____0，a+b____0，b(2)化简：2a【变式2】(2425七上·河南安阳滑县·期中)已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：(1)比较大小：a______0；b+c______0（填“>”“<”或“(2)化简：c−题型十五科学记数法的应用解｜题｜技｜巧一个绝对值大于0的数可以记成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，【典例15】(2324七上·甘肃武威古浪县第四中学·期中)某电视台报道，截止到2010年5月5日，慈善总会已接受支援玉树地震灾区的捐款15510000元．将15510000用科学记数法表示为（

）A．1.551×106 B．1.551×107 C．【变式1】(2324八上·贵州遵义南白初级中学·期中)病毒H7N9的直径为米A．28×107 B．2.8×108 C．【变式2】今年的国庆假期外出旅游火爆，据文化和旅游部数据中心统计，国庆假期国内旅游总收入为7008.17亿元．将7008.17亿用科学记数法表示为（

）A．7008.17×108 B．70.0817×1010 C．题型十六流程图与有理数的运算【典例16】(2425七上·浙江杭州下城区启正中学·期中)我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为−24，我们发现第1次输出的结果为−12，第2次输出的结果为−6，……，第2021次输出的结果为（）A．−6 B．−3 C．−24 D．−12【变式1】(2425七上·甘肃兰州树人中学·期中)如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是−4，…，则第2024次输出的结果是（

）A．−6 B．−4 C．−1 D．−2【变式2】(2425七上·贵州遵义校联考·期中)乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（

）A．1 B．−5 C．−13 D．13题型十七算“24”点游戏【典例17】(2425七上·浙江温州龙湾区多校联考·期中)有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，−6，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（

）A．4×3−(−6)+10 B．4−(−6÷3×10)C．10−(−6×3)−4 D．(4−6+10)×3【变式1】(2324七上·广东佛山南海区·开学考)“算24点”的游戏规则是：用“+，−，×，÷”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数，可以列式2÷2+2×8=24．以下的4个数用“+，−，×，÷”四种运算符号不能算出结果为24的是（

A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8【变式2】(2425六上·山东烟台牟平区（五四制）·期中)24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是．题型十八有理数的实际应用【典例18】(2425七上·云南大理白族剑川县马登镇初级中学·期中)小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：cm）：+5，−3，+10，−8，−6，+12，−10．(1)小虫最后是否回到出发点O？(2)小虫离开出发点O最远是多少cm？(3)在爬行过程中，如果每爬行1cm奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？【变式1】(2425七上·贵州遵义十一中·期中)无人驾驶技术逐步走向成熟，在今年7月无人驾驶网约车在我国各个城市开始试运营．无人驾驶网约车在东西走向的道路上运行，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：km）：6，−5.6，−2.3，7，5.4，−6，9，−5.4，−7，8．(1)当无人驾驶网约车将最后一位乘客送到目的地时，距出发地点的距离为多少千米？(2)若无人驾驶网约车每公里耗电0.12度，电费单价0.5元/度，问该网约车当天消耗电费多少元？【变式2】(2425七上·辽宁沈阳辽中区·期中)2024年7月下旬辽中区连降暴雨，28日（周日）冷子堡镇团结水库水位已达到警戒水位，区教育局紧急抽调90名教师到冷子堡镇支援，协助当地到团结水库巡堤，下表记录了水库接下来一周水库水位的变化情况：星期一二三四五六日水位变化（单位：m）+0.15+0.58−0.43+0.22−0.38+0.24−0.52注：正数表示水位比前一天上升，负数表示水位比前一天下降(1)这一周哪一天的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？(2)与上周周末相比，这一周周末的水位是上升了还是下降了？题型十九有理数中新定义类题型【典例19】(2425七上·广西柳州铁五中学·期中)小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：a⊕b(1)求2⊕4的值；(2)求−3⊕【变式1】(2425七上·贵州毕节七星关区第三实验学校·期中)现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有a∗b=(1)求1∗−14(2)求−3☆【变式2】(2425七上·河南南阳镇平县·期中)阅读下列内容，完成相关问题．明明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：+4∗+2=+6+4∗−2=−6+8∗0=8，0∗兰兰看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？(1)归纳*（加乘）运算的运算法则：同号得______，异号得______，并把______．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的______．(2)计算：−5题型二十有理数中找规律类题型【典例20】(2425七上·甘肃天水麦积区·期中)观察下列各式：313233……探索以上式子的规律：(1)写出第5个等式：；(2)试写出第n个等式：；(3)计算30【变式1】(2425七上·甘肃兰州榆中县连搭镇连搭中学·期中)观察下列各式∶121212×(1)猜想12×(2)根据上面的规律，解答下列问题：1−1【变式2】(2425七上·安徽宿州宿城第一初级中学·期中)观察下列等式：第1个等式：−1+1第2个等式：−1第3个等式：−13+(1)请写出第5个等式：________________________；(2)写出第n个等式：________________________；（用含n的式子表示，n为正整数）(3)根据你发现的规律计算：−1×1题型二十一绝对值的几何意义（压轴题）【典例21】(2425七上·河南南阳社旗县·期中)阅读：我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式x−2的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为x+1=x−−1，所以（1）发现问题：代数式x+1（2）探究问题：如图，点A,B,因为x+1+x−2的几何意义是线段PA所以当点P在线段AB上时，PA+PB=3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA(1)借助数轴，说明x−3(2)当代数式x+a+【变式1】(2425七上·广东广州海珠区景中实验中学·期中)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离表示为AB=a−b．例如数轴上表示4和(1)已知数轴上点A表示的数为−3，点B表示数为2，则线段AB的长度是______．(2)x表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题：①若x+3+x−2=7，求x的值；②【变式2】(2425七上·福建漳州平和县广兆中学·期中)观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题：（1）探究：你能发现：3与5在数轴上的对应点