专题26有理数的乘方有理数的混合运算（举一反三讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题2.6有理数的乘方、有理数的混合运算（举一反三讲义） 【苏科版2024】TOC\o"13"\h\u【题型1有理数幂的概念】 2【题型2有理数的乘方运算】 3【题型3有理数乘方的逆运算】 5【题型4乘方运算的符号规律】 7【题型5乘方的应用】 8【题型6用科学记数法表示数】 11【题型7将用科学记数法表示的数变回原数】 12【题型8与科学记数法有关的计算】 13【题型9科学记数法的应用】 15【题型10有理数的混合运算】 17【题型11有理数混合运算的实际应用】 20【题型12程序流程图与有理数的计算】 24【题型13计算“24”点】 27【题型14乘方中的规律探究】 29知识点1有理数的乘方1.一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即a⋅a·⋯·an个，记作an．求n个相同乘数an幂底数指数2.an中，a叫作底数，n叫作指数，an读作a的n次方（或a幂底数指数乘方运算的结果及符号的规律正数：正数的任何次幂都是正数知识点2科学记数法把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于−10的数也可以类似表示．知识点3有理数的混合运算顺序1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．【题型1有理数幂的概念】【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）若23+23+23++23k个23=A．3 B．4 C．6 D．9【答案】B【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是是理解题意，明确幂的形式．根据所给的式子的特点，结合幂的运算的相应的法则进行分析即可．【详解】解：23+23+23+则k是可以转为以2为底数的幂的形式的数，∴k的最小值为：2=2∴2∴m=4，∴m的最小值为：4故选：B【变式11】（2223七年级上·江西宜春·阶段练习）-23的底数是指数是表示【答案】232的3次方的相反数/23【分析】根据乘方的定义，an中，a是底数，n是指数，a【详解】解：根据乘方的概念，则-23的底数是2，指数是故答案为2；3；2的3次方的相反数．【点睛】此题考查了有理数的乘方的概念，注意−23和−23的区别，前者底数是2【变式12】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（）①没有平方得−9的数；②−a2是负数；③A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查有理数的乘方，以及正负数的概念，对于①，根据一个数的平方是非负数进行判断；对于②、③，根据零的平方是零，零既不是正数也不是负数，据此分析；对于④，根据负数的平方是正数，负数小于正数，即可举例作出判断.【详解】解：没有平方得−9的数，①正确；a=0时，−am+d=0时，m+d2−12=1，综上所述，正确的有1个，故选：A．【变式13】（2425七年级上·河北唐山·期末）3+3+3+⋅⋅⋅+3m个+A．3m+2n B．m3+2n C．3m【答案】D【分析】本题主要考查了用代数式表示数，有理数幂等知识，先得出m个3相加表示为3m，n个2相乘表示为2n【详解】解：m个3相加表示为：3m，n个2相乘表示为2n故3+3+3+⋅⋅⋅+3m个+故选：D．【题型2有理数的乘方运算】【例2】（2425七年级上·山东济宁·期中）比较大小：−233−32【答案】<【分析】本题考查了有理数的大小比较，1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．先计算各数，再利用有理数大小的比较方法比较即可．【详解】解：−233∵−8∴−8∴−2故答案为：<．【变式21】（2025·福建泉州·二模）已知x−20252+y+1=0，则【答案】−1【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负性的性质得到x−2025=0，y+1=0，据此求出x、【详解】解：∵x−20252+y+1∴x−20252∴x−2025=0，∴x=2025，∴yx故答案为：−1．【变式22】（2425七年级上·上海闵行·期中）计算：−14【答案】−4【分析】本题考查有理数的乘方运算，先将16化为42，根据幂的乘方将原式化为−1411×【详解】解：−=======−4．故答案为：−4．【变式23】（2425七年级上·广东广州·期末）利用二进制数加法运算法则计算110102+111【答案】33【分析】本题考查了二进制数的加法运算，二进制数转化为十进制数，先根据二进制数加法运算法则求出结果，再根据二进制数转化为十进制数的运算法则计算即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键．【详解】解：∵110102∴计算结果转化为十进制数是1×2故答案为：33．【题型3有理数乘方的逆运算】【例3】（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘a⋅a⋅a⋅a⋯⋅a记作an，如2×2×2=23=8．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为L28，则L28=3．一般地，若an=b（a>0且a≠1），则n叫做以a为底的b【答案】L【分析】本题考查了有理数乘方，计算出L39=2，L【详解】解：∵3∴L39=2，∴L故答案为：L3【变式31】（2223七年级上·广东东莞·期中）62=36,2×32=A．6 B．8 C．18 【答案】B【分析】先把原式变形为233×1【详解】解：2====＝1×8＝8故选：B．【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键．【变式32】（2223七年级上·山东青岛·阶段练习）已知|a|=2,b2=25,A．10 B．6 C．3 D．6或者0【答案】D【分析】先求出a，b，c的值，然后分2种情况代入计算即可．【详解】解：∵a=2∴a=2或a∵b2∴b=5或b∵ab>0∴当a=2时，b=5或当a=−2∵3c∴c=3当a=2，b=5，原式=2−5+3=0．当a=−2，b=−5，原式=−2+5+3=6．故选D．【点睛】本题考查了乘方的意义，绝对值的意义，求代数式的值，分类讨论是解答本题的关键．【变式33】（2223七年级上·福建厦门·期中）若126×38=p，则126×A．16p B．p−9 C．p−6 【答案】D【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键．【详解】∵126×∴126×∴126×∴126×3故选：D．【题型4乘方运算的符号规律】【例4】（2324七年级上·广东揭阳·期末）计算：−11【答案】0【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可．【详解】解：原式==0，故答案为：0．【变式41】（2324七年级上·河南信阳·期中）在−12021，−23A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解．【详解】解：∵−12021=−1<0，−2∴−12021，−23故选：A．【变式42】（2425七年级上·四川南充·期中）已知y=−(x−6)4+2024【答案】2024【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键．根据乘方的非负性，确定最大值即可．【详解】解：∵(x−6)4∴−∴−(x−6)∴y=−(x−6)4+2024故答案为：2024．【变式43】（2324七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数n为时，(−1)n=−1；若n是正整数，则(−1)【答案】奇数0【分析】−1的奇次方为−1，−1的偶次方为1；再分类讨论即可得到答案．【详解】解：当整数n为奇数时，(−1)n当整数n为奇数时，则n+1为偶数，∴(−1)n当整数n为偶数时，则n+1为奇数，(−1)n故答案为：奇数，0【点睛】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键．【题型5乘方的应用】【例5】（2425七年级上·江苏宿迁·期中）根据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果的个数．已知她一共采集到的野果数不少于75个，则她在第2根绳子上打结的可能情况有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】C【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计数，根据图中的数学列式计算即可．【详解】解：根据题意得，75−1×因此有4，5，6三种可能的情况，故选：C．【变式51】（2425七年级上·江苏宿迁·期中）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为（）A．123米 B．125米 C．12【答案】C【分析】此题主要考查了乘方的意义．根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为122米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为【详解】解：∵1−1∴第2次后剩下的绳子的长度为12依此类推第六次后剩下的绳子的长度为12故选：C．【变式52】（2425七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，(1011)2就是二进制数1011以98为例：方法一：因为98=64+32+2=1×所以98=(1100010)方法二：用如图的短除法算式表示：请你根据以上材料，把123转换为五进制数是（

）A．(1111011)5 B．(123)5 C．（443【答案】C【分析】本题考查了乘方的应用；仿照二进制与十进制之间的转换的方法进行计算即可求解．【详解】解：方法一：∵123=100+20+3=4×所以123=(443)方法二5所以123=(443)故选：C．【变式53】（2024七年级上·全国·专题练习）某软件用户等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，1个星星为1级，4个星星等于1个月亮，4个月亮等于1个太阳，4个太阳等于1个皇冠．某用户的等级标识图为两个皇冠，则该用户的等级为（

）A．64 B．128 C．256 D．512【答案】B【分析】本题考查了有理数乘方的应用，根据题意列出算式2×4×4×4=2【详解】解：由题意得，两个皇冠的等级是2×4×4×4=2故选：B．【题型6用科学记数法表示数】【例6】（2425九年级下·江西抚州·阶段练习）江西省发布2024年10件民生实事，在支持重点群体就业创业方面，调整完善创业担保贷款政策，全年增加安排担保基金6000万元．将6000万用科学记数法表示为（

）A．0.6×108 B．6×107 C．【答案】B【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及【详解】解：6000万=60000000=6×10故选B．【变式61】（2425六年级下·黑龙江大庆·期中）我国国土面积平方千米，这个数字用科学记数法表示应记作．【答案】9.6×【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成【详解】解：9600000=9.6×10故答案为：9.6×10【变式62】（2425九年级下·宁夏吴忠·期中）在2025年初的科技界，一款名为DeepSeek的人工智能应用程序异军突起，引发了全球用户的热烈关注．这款应用于1月11日正式上线，仅仅数周时间就迎来了破亿的量，显示了其强大的市场吸引力．根据数据分析，自发布至2月9日，DeepSeek的累计量已突破1.1亿．将数据1.1亿用科学记数法表示为（

）A．0.11×109 B．1.1×108 C．【答案】B【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，【详解】解：1.1亿=110000000=1.1×10故选：B．【变式63】（2425七年级上·上海闵行·期中）当我们购买硬盘时，制造商通常采用十进制单位标注产品容量．数据的存储单位一般用KB、MB、GB、TB⋯⋯来表示，其中1MB【答案】9.216【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，1GB=2【详解】解：∵1GB∴900GB故答案为：9.216×【题型7将用科学记数法表示的数变回原数】【例7】（2425七年级上·贵州·期末）下列四个数中，值最大的是（

）A．8.2×103 B．2.8×103 C．【答案】A【分析】本题考查了科学记数法和有理数大小比较，首先将用科学记数法表示的四个数还原成原数，再比较大小．【详解】解：∵8.2×103=8200，2.8×103=2800，∴值最大的是8.2×10故选：A．【变式71】（2024七年级上·全国·专题练习）今年“五一”假期，湖南省文旅市场持续升温，文旅经济强劲复苏．根据全省十四个市州综合测算情况汇总，今年“五一”假期全省共接待游客1.7871×107人次，同口径比去年“五一”假期增长了114.61%，数据1.7871×A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法把数据【详解】解：∵1.7871×10∴数据1.7871×10故选：C．【变式72】（2025·江苏扬州·中考真题）2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为．【答案】3×【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成【详解】解：30000=3×10故答案为：3×10【变式73】（2425七年级上·河南开封·阶段练习）小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（

）长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（

）A．63×105

B．6.3×106

C．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】本题主要考查了科学记数法表示原数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，【详解】解：6.3×10则原数中数字“3”后“0”的个数为5，故选：C【题型8与科学记数法有关的计算】【例8】（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105kmA．1.8×105km B．1.8×106km【答案】C【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为4×10【详解】解：月球远地点距离为4×1045×4×10故选：C【变式81】（2425七年级上·上海普陀·期中）已知太阳到地球的距离约为1.5×108千米，光速约为3×10【答案】5×【分析】本题考查了有理数的除法，科学计数法，根据题意得到1.5×10【详解】解：由题意得：1.5×10故答案为：5×10【变式82】（2025·湖南长沙·模拟预测）在一次“节约用水，保护水资源”的活动中，学校提倡每人每天节约0.1升水，如果该市约有5万学生，估计该市全体学生一年的节水量为升．【答案】1.825×【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法的定义，将一个数表示为a×10n，其中1≤a<10，【详解】解：5万=50000，0.1×50000×365=1825000=1.825×10故答案为：1.825×10【变式83】（2425七年级下·山东聊城·期中）水由水分子组成，1g水中约有3.34×1022个水分子，则2A．0.668×1026 B．6.68×1025 C．【答案】B【分析】本题考查有理数乘方的应用，根据“1g水中约有3.34×1022个水分子，2kg=2000【详解】解：∵1g水中约有3.34×1022∴3.34×10∴2kg水中有6.68×故选：B．【题型9科学记数法的应用】【例9】（2425七年级上·江苏常州·期中）作为城市高质量发展“大动脉”的常州地铁，近年来为城市发展和居民生活提供了高效便捷的公共交通服务．其中1号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2019年9月21日开通运营，这条线路呈南北走向，北起新北区森林公园站，途经天宁区，南至武进区南夏墅站．如图为1号线串联的部分站点．据统计，2024年10月1日至7日，常州地铁1号线客流量达135.13万人次．(1)若135.13万人次用科学记数法表示为1.3513×10n人次，则(2)某天，小红同学从环球港站开始乘坐地铁1号线，在地铁各站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，约定向南夏墅站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：+5,−2,−6,+8,+3,−4,−9,+8．①请通过计算说明A站是哪一站？②若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次小红志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？【答案】(1)6(2)①A站是奥体中心站；②54千米【分析】本题考查了科学记数法、正负数的应用、有理数加减法与乘法的应用等知识，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．（1）本题考查了科学记数法：将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法．确定n的值时，要看把原数变成（2）①将记录的数字相加，由此即可得；②将记录的数字的绝对值相加，再乘以相邻两站之间的平均距离即可得．【详解】（1）解：135.13万=1.3513×10∵135.13万人次用科学记数法表示为1.3513×10∴n=6，故答案为：6．（2）解：①+5=5−2−6+8+3−4−9+8=3（站），所以由题意可知，A站是奥体中心站．②+5==45×1.2=54（千米），答：这次小红志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是54千米．【变式91】（2024七年级上·全国·专题练习）已知1cm3的氢气质量约为0.00009(1)求一个容积为8000000cm(2)一块橡皮重18g，这块橡皮的质量是1【答案】(1)7.2×(2)2×10【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用；（1）先用乘法求出氢气球所充氢气的质量,再用科学记数法表示最终结果；（2）先用除法计算出这块橡皮的质量是1cm【详解】（1）解：0.00009×8000000=720=7.2×10（2）18÷0.00009=200000=2×10故这块橡皮的质量是1cm2的氢气质量的【变式92】（2024七年级上·云南·专题练习）“一粥一饭当思来处不易”，勤俭节约是中华民族的传统美德，一粒大米虽然微不足道，但聚少成多，数量大了也是非常可观的．为了让同学们体会到节约爱护每一粒粮食的重要性，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米重约10克．(1)一粒大米重约多少克？(2)按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，则一年大约能节约大米多少千克（用科学记数法表示）？(3)若把（2）中节约的大米卖成钱，按5元/千克计算，则大约可卖得多少元（用科学记数法表示）？【答案】(1)0.02克(2)3.066×10(3)1.533×10【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意列出算式进行计算．（1）根据题意列出算式进行计算即可；（2）根据题意列式计算即可；（3）用大米的质量乘以单价求出结果即可．【详解】（1）解：10÷500=0.02（克）．答：一粒大米重约0.02克；（2）解：0.02×1×3×365×1400000000÷1000=3.066×10答：一年大约能节约大米3.066×10（3）解：5×3.066×10答：大约可卖得1.533×10【变式93】（2425七年级上·黑龙江·课后作业）有关资料表明，一个人在一次刷牙过程中如果一直打开水龙头，将浪费大约8杯水（每杯水约0.25升）．某地区总人口约人，如果该地区所有的人在刷牙过程中都不关水龙头，那么一次刷牙过程共浪费多少杯水？约多少升？（用科学记数法表示）【答案】一次刷牙过程共浪费1.6×107杯水，约【分析】本题主要考查科学记数法及有理数的乘法运算，熟练掌握科学记数法及有理数的乘法运算是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解【详解】解：由题意得：8×2000000=1.6×107（杯），答：一次刷牙过程共浪费1.6×107杯水，约【题型10有理数的混合运算】【例10】（2324七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入12345…输出12345…那么，当输入数据是8时，输出的数据是（

）A．861 B．863 C．865【答案】C【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据图表找出输出数字的规律：输出的数字中，分子就是输入的数，分母是输入的数字的平方加1，直接将输入数据代入即可求解，解题的关键是找到规律列出相应代数式．【详解】解：根据图表找出输出数字的规律：输出的数字中，分子就是输入的数，分母是输入的数字的平方加1，则当输入数据是8时，输出的数据是88故选：C．【变式101】（2425六年级上·山东烟台·期末）下列运算错误的是（

）A．−14B．−3C．−7÷2×D．7【答案】D【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据各个选项中的式子，可以计算出正确的式子或者结果，本题得以解决．【详解】解：A．−14+7−B．−32C．−7÷2×−D．713故选：D．【变式102】（2425七年级上·安徽合肥·期末）用一排6个黑白圆圈来表示数，如图分别表示数1−5，则●○○●●○表示的数是．【答案】25【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，黑圆圈表示0，从右到左，第一列的白圆圈表示1，第二列的白圆圈表示2，第三列的白圆圈表示22，依次类推，进而列式求出●○○●●○【详解】解：由图可知：3=2+1,4=2即：黑圆圈表示0，从右到左，第一列的白圆圈表示1，第二列的白圆圈表示2，第三列的白圆圈表示22∴●○○●●○表示的数为：24故答案为：25．【变式103】（2425七年级上·浙江台州·期末）对正整数n反复进行下列两种运算：①若n是偶数，就除以2；②若n是奇数，就乘以3加1．例如：正整数6经过一次操作后的结果是3，经过两次操作后的结果是10．若某正整数m经过4次操作后的结果是2，则正整数m的值是．【答案】32或5/5或32【分析】本题考查了有理数的混合运算，从最后一步向前进行计算：因为计算的结果应是奇数或偶数，所以分数不符合题意；根据题中的运算，计算的结果是奇数，应是乘以3加上1得到的，结果是偶数，则是除以2得到的，根据上述的要求来进行解答即可，解题的关键是根据题中的运算要求来进行解答．【详解】解：第4步运算前的数：2×2=4；(2−1)÷3=1第3步运算前的数：4×2=8；(4−1)÷3=1（不符合题意）．第2步运算前的数：8×2=16；(8−1)÷3=7第1步运算前的数：16×2=32；(16−1)÷3=5．故正整数m的值是32或5．故答案为：32或5．【题型11有理数混合运算的实际应用】【例11】（2425七年级下·重庆·阶段练习）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：1×24+1×2A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108【答案】D【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，理解题意，掌握有理数的混合法则是解题的关键．根据题意，分别表示每行的二进制编码，再转换成10进制进行判定即可．【详解】解：黑色代表1，白色代表0，∴图2中，第一行11000，转换成10进制数为：1×2第二行01010，转换成10进制数为：0×2第三行11011，转换成10进制数为：1×2第四行10101，转换成10进制数为：1×2第五行01000，转换成10进制数为：0×2∴小张的准考证号为2410272108，故选：D．【变式111】（2425七年级上·四川成都·期末）某校一幢教学楼共有5层，相邻两层之间楼梯的台阶均为18级，从1层到5层参加舞蹈社团的学生人数分别为9，7，5，5，6．若在某层楼确定活动地点，能使所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和最小，则台阶数之和最小为级．【答案】756【分析】本题考查了有理数加法的应用，理解题意是解题的关键．先分别求出每一层楼层的台阶的级数的和，然后比较即可．【详解】解：如果舞蹈社团在1层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为7×18+5×18×2+5×18×3+6×18×4=1008（级）；如果舞蹈社团在2层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为9×18+5×18+5×18×2+6×18×3=756（级）；如果舞蹈社团在3层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为9×18×2+7×18+5×18+6×18×2=756（级）；如果舞蹈社团在4层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为9×18×3+7×18×2+5×18+6×18=936（级）；如果舞蹈社团在5层活动，则所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和为9×18×4+7×18×3+5×18×2+5×18=1296（级）；∵1296>1008>936>756，∴所有参加舞蹈社团的同学到活动地点所经过的台阶数之和最小为756级，故答案为：756．【变式112】（2425七年级下·重庆沙坪坝·期末）2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松现场氛围热烈．某学校9人组成的啦啦队在站点表演三个助威节目，候场时间为从首个节目开始至参演节目开始前的时间间隔（不考虑换场等因素），各节目参与人数及表演时长（单位：min）如下表所示：节目甲乙丙人数342时长642若节目按丙→乙→甲的顺序表演，则9位学生的候场时间之和是（）A．6 B．20 C．26 D．44【答案】C【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据节目表演顺序，计算每个节目的候场时间，再乘以对应人数求和．【详解】解：确定各节目候场时间：丙作为第一个节目，候场时间为0分钟（无需等待）；乙作为第二个节目，需等待丙表演结束，候场时间为丙的时长2分钟；甲作为第三个节目，需等待丙和乙表演结束，候场时间为丙时长+乙时长=2+4=6分钟；计算各节目候场时间之和：丙：2人×0分钟=0；乙：4人×2分钟=8；甲：3人×6分钟=18；总和=0+8+18=26；因此，9位学生的候场时间之和为26，故选：C．【变式113】（2425七年级上·重庆渝北·期末）正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语（灯光通信）是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“○”表示亮红灯．”“●”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定：根据约定的规则，下列说法正确的有（

）①“●○○○”表示字母H：②若要表示26个英文字母，需要6盏灯；③某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据提供提供的信息，先得出●表示二进制中的1，○表示二进制中的0，然后根据二进制转化为十进制的方法，十进制转化为二进制的方法，逐项进行判断即可．【详解】解：∵●表示字母A，●○表示字母B，∴●表示二进制中的1，○表示二进制中的0，∴“●○○○”表示二进制的数为“1000”，∴“●○○○”表示十进制中的数为：1×2∵字母表中第8个字母为H，∴“●○○○”表示字母H，故①正确；∵26÷2=13⋅⋅⋅0，13÷2=6⋅⋅⋅1，6÷2=3⋅⋅⋅0，3÷2=1⋅⋅⋅1，1÷2=0⋅⋅⋅1，∴26用二进制表示为11010，∴要表示26个英文字母，需要5盏灯，故②错误；“●○○●●”表示二进制数为10011，二进制数10011表示为十进制数为：1×2第19个字母为S，∴“●○○●●”表示字母S，“●●●●”表示二进制数为1111，二进制数1111表示为十进制数为：1×2第15个字母为O，∴“●●●●”表示字母O；∴某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示“SOS”，∵“SOS”表示求救信号，∴某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救，故③正确；综上分析可知：正确的有2个，故选：C．【题型12程序流程图与有理数的计算】【例12】（2425八年级上·贵州遵义·期末）定义一种对正整数n的“F”运算，①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为k2n（其中k是使k2n为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n=26，如图所示；若n=449，则第“A．1 B．3 C．7 D．8【答案】A【分析】据提供的“F”运算，对正整数n分情况(奇数、偶数)循环计算，由于n=449为奇数应先进行F①运算，再按照新定义进行计算即可求解．本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算．熟练掌握“F”运算法则，找到结果存在的规律，根据有理数的混合运算求出答案，是解题的关键．【详解】解：F①：3×449+5=1352F②：13522k，1352÷8=169F③：3×169+5=512F④：512=29故选：A．【变式121】（2425七年级上·辽宁丹东·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图，当x=−1，y=−2时，输出的结果是．【答案】−【分析】本题考查了代数式求值的问题，按照数值转换机的计算顺序列出代数式，再把x=−1，y=−2代入计算即可求解．【详解】解：由示意图可得输出的代数式为：x2当x=−1，y=−2时，x2故答案为：−7【变式122】（2425七年级上·陕西西安·期末）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图．若输入的数a为1，则输出的结果是（

）A．−32 B．32 C．−【答案】C【分析】本题考查了程序框图与代数式求值、有理数的乘方，理解程序框图的计算过程是解题的关键．由程序框图得，输入数a后的计算过程为a2×−3【详解】解：由程序框图得，输入数a后的计算过程为a2×−3若输入的数a为1，则计算结果为−3∵−3∴需要再重复一次计算过程，若输入的数a为−32，则计算结果为∵−27∴输出的结果为−27故选：C．【变式123】（2425九年级上·重庆江北·期末）对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长m=5．下列说法：①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长m≥4时，总能得到连续四次变换的结果依次是24，23，22②若输入正整数n，变换次数m，当m=8时，n的所有可能值只有4个；③若输入正整数n，变换次数m，当m=9时，n的所有可能值中最大是512，最小是13．其中正确的个数是（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】B【分析】本题主要考查有理数的运算，归纳推理的应用，利用变换规则，逆向推理计算求出所有可能的取值，再判断结果即可．【详解】解：∵对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，∴由新自然数求原来的数计算方法为：新自然数乘以2，或新自然数减去1的差再除以3（取整数），若输入正整数n，则最后一次计算过程为：2÷2=1，上一步结果为2=2倒数第二次计算过程为：4÷2=2，上一步结果为4=2倒数第三次计算过程为：8÷2=4，上一步结果为8=2倒数第四次计算过程为：16÷2=8，上一步结果为16=2倒数第五次计算过程为：32÷2=16，或3×5+1=16，上一步结果为32或5；倒数第六计算过程为：64÷2=32，或10÷2=5，上一步结果为64或10；倒数第七次计算过程为：128÷2=64，或3×21+1=64，或20÷2=10，或3×3+1=10，上一步结果为128或21或20或3；倒数第八次计算过程为：256÷2=128，或42÷2=21，或40÷2=20，或6÷2=3，上一步结果为256或42或40或6；倒数第九次计算过程为：512÷2=256，或3×85+1=256，或84÷2=42，或80÷2=40，或3×13+1=40，或12÷2=6，上一步结果为512或85或84或80或13或12；∴①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长m≥4时，总能得到连续四次变换的结果依次是24，23，22②若输入正整数n，变换次数m，当m=8时，n的所有可能值为256或42或40或6，只有4个，说法正确；③若输入正整数n，变换次数m，当m=9时，n的所有可能值为512或85或84或80或13或12，其中最大是512，最小是12，说法错误；∴正确的个数是2个，故选：B．【题型13计算“24”点】【例13】（2425七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是±24的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式．【答案】2+3【分析】本题主要考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．根据有理数的混合运算可进行求解．【详解】解：2+32故答案为：2+32【变式131】（2425七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的4张牌，写出一个符合规则的算式：．【答案】7+−9×−3×4或【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键．【详解】解：符合规则的算式为7+−9×−3×4或故答案为：7+−9×−3×4或【变式132】（2324六年级上·山东威海·期末）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自