专题223相似三角形的判定（举一反三讲义）数学沪科版九年级上册（原卷版）

专题22.3相似三角形的判定（举一反三讲义） 【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1利用平行判定相似】 2【题型2利用两角相等判定相似】 3【题型3利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 4【题型4利用三边对应成比例判定相似】 5【题型5选择或补充条件使两三角形相似】 6【题型6裁剪使两三角形相似】 7【题型7尺规作图使两个三角形相似】 8【题型8数相似三角形的对数】 10【题型9存在相似三角形】 11知识点1相似三角形1.定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．△ABC和△A12.全等三角形与相似三角形的比较全等三角形相似三角形定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形特征形状相同且大小相等形状相同但大小不一定相等图形表示对应边相等成比例对应角相等相等相似比1可以是1，也可以是其他正实数知识点2三角形相似的判定如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似．1.定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C′2.定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C′，若3.定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4.有关三角形相似的常见图形图形特征所需条件证明方法平行线型已知DE//BC，所以同位角、内错角相等两角分别相等的两个三角形相似．△斜交型有公共角或对顶角，∠两角分别相等的两个三角形似．△公共角的两边对应成比例，AB两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．△母子型∠两角分别相等的两个三角形相似．△旋转型有一组角对应相等，公共角（对应角）的两边对应成比例，∠1=∠两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．△【题型1利用平行判定相似】【例1】如图，AB //CD //EF，则图中相似三角形的对数为(

)A.4对 B.3对 C.2对 D.1对【变式11】如图，AB，CD相交于点O，AC//BD.【变式12】如图，在△ABC中，点D、M在AB上，点E、N分别在BC、AC上，且DE/​/AC，MN/​/BC，DE交MN【变式13】如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连结BF交DC于点E，则图中的相似三角形共有

对.【题型2利用两角相等判定相似】【例2】（2425九年级上·浙江杭州·期末）如图，D是△ABC边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点FA．△BFA B．△BAE C．△BEC【变式21】（2425九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（

）A．△BCD∽△ACDC．△ACD∽△【变式22】（2425九年级上·陕西榆林·期中）如图，AB⊥BC，BD⊥CD，【变式23】（2425九年级下·上海·假期作业）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△【题型3利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】【例3】（2425九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，连接AC、DG，求证：△AFC【变式31】（2425九年级上·江苏扬州·期中）如图，点E,F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，连接BE和EF，AB=9，AE=3，【变式32】（2425九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB【变式33】（2425九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G．(1)若AC=8，求AG(2)如果AB=AC，求证：【题型4利用三边对应成比例判定相似】【例4】2425九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，∠ABE=90°，且【变式41】（2425九年级上·湖南湘潭·期中）已知△ABC和△DEF的三边长，下列条件能判断它们相似的是（A．AB=4，BC=8，AC=10；

DE=20B．AB=3，BC=4，AC=6；

DE=6C．AB=12，BC=15，AC=24；

DE=16D．AB=3k，BC=4k，AC=5k；【变式42】（2425九年级下·广东汕头·阶段练习）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从格点D、E、F、G中选取一个格点与点B、C连接成格点三角形，能使该格点△ABC三角形与相似的格点是（A．点D B．点E C．点F D．点G【变式43】（2324九年级下·全国·期中）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【题型5选择或补充条件使两三角形相似】【例5】（2223八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2=∠A；②∠1=∠CBA；③BCAC=CDBC；④BC【变式51】（2425九年级上·甘肃白银·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB=9，AC=6，则要使△ABC【变式52】（2425九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，要使△BAD与△【变式53】（2025·河北·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAEA．∠B+∠4=180°B．CD∥AB C．【题型6裁剪使两三角形相似】【例6】（2324九年级上·浙江温州·期末）如图，在△ABC纸片中，∠A=72°,∠B=38°，将△A．①② B．②④ C．③④ D．①③【变式61】（2425九年级上·陕西榆林·期中）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9A． B．C． D．【变式62】（2324九年级上·山西吕梁·期末）数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（

）A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似【变式63】如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，AC=4，BC=8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△A． B．C． D．【题型7尺规作图使两个三角形相似】【例7】（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（

）A． B．C． D．【变式71】（2425九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰△ABC中，BA=BC，∠B=108°，请用尺规在AC上求作一点D【变式72】（2425九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，ABCD，连接BD，请用尺规作图法在BD上找一点P，使得△ABD【变式73】在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△A．B．C． D．【题型8数相似三角形的对数】【例8】（2425九年级上·安徽滁州·期中）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，A．5对 B．6对 C．10对 D．20对【变式81】如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（）A．1 B．2 C．3 D．)4【变式82】（2425九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知△ABC、△DEF都是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上，图中的相似三角形共有（A．3对 B．4对 C．6对 D．7对【变式83】（2425九年级上·河北保定·期中）如图，E是矩形ABCD的边CD的中点，连接BE,AF⊥BE于点F,AF的延长线交BC于点A．4对 B．6对 C．8对 D．5对【题型9存在相似三角形】【例9】（2324九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB=4，CD=6，BC=14，P为直线BC上一点，若以A、B、P为顶点的三角形与以P、C【变式91】在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直