专题51函数（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册（原卷版）

专题5.1函数教学目标1.能清晰区分常量与变量，结合实际情境（如路程公式s=vt、水电费计算等）举例说明两者的含义；2.理解函数的定义：知道在一个变化过程中，两个变量x与y满足“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应”时，y是x的函数，x是自变量；3.掌握函数的三种表示方法（解析式法、列表法、图象法），能识别不同表示方法中的自变量与函数，会根据简单解析式，求具体自变量对应的函数值；4.能从实际问题（如汽车匀速行驶的路程与时间关系、气温随时间变化的曲线等）中抽象出函数关系，判断两个变量是否构成函数。教学重难点1.重点（1）函数的定义：核心是理解“两个变量+唯一对应关系”，能准确判断两个变量是否构成函数；（2）函数的三种表示方法：能识别不同表示方法中的自变量、函数，会根据解析式求简单函数值；（3）从实际问题中抽象函数关系：将生活中的变化过程转化为数学中的变量与对应关系2.难点（1）理解函数定义中“y有唯一确定的值与x的每一个确定值对应”：容易混淆“唯一对应”（如认为“一个y对应多个x”不影响函数关系，或误将“一对多”的关系当作函数）；（2）从实际问题中抽象函数关系：难以将生活中的“变化描述”转化为“变量与对应规则”（如“水库放水时水位随时间下降”，无法明确自变量、函数及对应关系）；（3）理解图象表示的函数：无法准确解读图象中“横轴（自变量）、纵轴（函数）的意义”，以及“图象上的点与变量对应关系”（如气温曲线中某点的横纵坐标分别表示“时间”和“气温”）知识点01变量与常量定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数．如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量x的值为a时的函数值．【即学即练】1．“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（

）A．时间为常量 B．冰的厚度为常量C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量知识点02函数的定义函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式【即学即练】1．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．某网店内一种茶叶的售价为10元/克，购买xx>0克的总价钱为A．自变量是茶叶的单价B．自变量是总价钱yC．y=10x D知识点03自变量取值范围和函数值初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；函数关系式为分式形式：分母0函数关系式含算术平方根：被开方数0；（4）函数关系式含0指数：底数0；【即学即练】1．函数y=x+52．已知y=xx+1，则当x知识点04函数图象对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。理解图象：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图象的起点、拐点、交点【即学即练】1．甲、乙两辆汽车从A地同时出发沿同一线路去B地，10min后，乙汽车停留了5min，此时甲汽车正好到达B地，它们所行的路程之和s（单位：km）与所用的时间t（单位：min）的函数关系图象如图所示，则乙汽车行驶的路程为2．周末，陈辰及家人驾驶新能源汽车前往安徽名人馆参观，在馆内参观了1.5小时后，驾车去往长临河古镇．如图是陈辰及家人离开家的路程s（千米）与离开家的时间t（小时）之间的函数图象．据此解答下列问题：(1)上述过程中，自变量是______，因变量是______；(2)陈辰家到安徽名人馆的路程是______千米，安徽名人馆到长临河古镇的路程是______千米；(3)求陈辰家从安徽名人馆到长临河古镇驾车行驶的平均速度．题型1变量间关系的表达【典例1】在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xx01234…y1010.51111.512…下列说法不正确的是（

）A．y随x的增大而增大B．所挂物体质量每增加1kg弹簧长度增加C．所挂物体为7kg时，弹簧长度为D．不挂重物时弹簧的长度为0【变式1】如果每盒铅笔12支，售价8元，那么铅笔的售价y（元）与铅笔的支数x（支）之间的关系式是（

）A．y=32x B．y=2【变式2】在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．下表是研究某种弹簧的长度与所挂物体质量关系的实验表格，则弹簧不挂物体时的长度为（

）所挂物体重量x(kg)1235弹簧长度y(cm)9111317A．6cm B．7cm C．8cm D．8.5cm【变式3】水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：小时）与出水速度v（单位：吨/小时）之间的关系如下表：出水速度v/（吨/小时）108542…时间t/小时11.2522.55…用式子表示t与v的关系为．题型2自变量和因变量【典例2】五一假期期间，各地加油站迎来了加油高峰．如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（

）A．金额 B．单价 C．油量 D．金额和油量【变式1】一个圆形零件的面积S与半径r的函数关系式为S=πrA．常量是1，变量是S B．常量是π，变量是SC．常量是1，变量是S，π D．常量是π，变量是S，r【变式2】一个长方形的面积是10cm2，其长是acm，宽是bA．常量为10、a，变量为b B．常量为10，变量为a、bC．常量为10、b，变量为a D．常量为a、b，变量为10【变式3】在s=4vA．常量是4；变量是v B．常量是43；变量是C．常量是3；变量是s，v D．常量是43；变量是s，题型3函数的概念【典例3】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（

）A．B．C．D．【变式1】下列图象中，表示y是x的函数的是（

）A．B．C．D．【变式2】下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（

）A．B． C． D．【变式3】下列四个关系式：①y=|x|；②|y|=x；③2x2-yA．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④题型4函数的解析式【典例4】某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的前两天每天按0.5元收费，以后每天按0.6元收费（不足一天按一天计算），则租金y（元）与租赁天数xx≥2之间的关系式为（A．y=0.6x B．y=0.6x-1.2【变式1】一个等腰三角形的周长为30，那么底边长y与腰长x的关系式为．【变式2】一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度y（厘米）与燃烧时间x（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度y（厘米）与燃烧时间x（时）之间的关系式是．燃烧时间x（时）0123剩余的高度y（厘米）20171411【变式3】某室内篮球馆每月的固定支出费用为10000元，入场票价为20元/人，为吸引顾客，凡入场者每人赠送成本2元的矿泉水一瓶，设每月有x人到该篮球馆打球，每月净利润为y元，请写出y与x之间的关系式．题型5函数自变量取值范围【典例5】使函数y=x-5有意义的A．x≥5 B．x>5 C．x≤5【变式1】函数y=xx-2A．x=0 B．x≠0 C．x=2【变式2】在函数y=1x-2【变式3】函数y=3x题型6求自变量的值或函数值【典例6】当x=-1时，yA．0 B．1 C．2 D．3【变式1】已知函数y=x+3，当y=6【变式2】变量y与x之间的关系式是y=2x-3，当自变量x=1【变式3】已知fx=3x-题型7从函数的图象获取信息【典例7】某海港某日0时到24时的水深y(m)随时间t(h)

A．24时水深最高 B．0时到12时之间水深持续上升C．12时的水深为8m D．两次最高水深的时间间隔为12【变式1】小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内，过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论正确的是（

）A．当t=40时，B．这60秒内过山车有3段下行路线C．当35≤t≤53时，高度h（米）随时间D．在0≤t≤60范围内，当过山车高度是70米时，t的值有【变式2】如图反映了巫山春季某天一段时间的气温T（°C）随时间t（h）变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（

A．该段时间内的最低气温为18℃ B．从6时至15时，气温一直上升C．该段时间内15时达到最高气温 D．从6时至20时，气温一直下降【变式3】为了减轻一周来紧张的学习压力，小林在周日上午9时骑自行车离开家去公园锻炼，15时回到家，已知离家的距离skm与时间th之间的关系如图所示，小林骑自行车从公园返回家中的平均速度是题型8动点问题的函数图象【典例8】如图（1）在矩形ABCD中，动点P从点C出发，沿路线C→D→A作匀速运动，图（2）是此运动过程中，△PBC的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象的一部分，则BC+CD

A．5 B．6 C．7 D．12【变式1】吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线AB→BC方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（A．4 B．4.4 C．4.8 D．5【变式3】如图1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，DC∥AB，动点P从A点出发，由A-D-C-B沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，关于y与A．11 B．9 C．12 D．10一、单选题1．位于昆明市西山区的豹子箐是一处集旅游、观光、研学、游玩、自然体验于一体的研学基地．周末，小陆一家从家出发开车前往该基地游玩，经过服务区时，休息片刻后继续驾驶往目的地．汽车行驶路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（

）A．他们在服务区休息了20分钟B．小陆家距离基地350千米C．他们出发80分钟后达到服务区D．在服务区休息前的行驶速度比休息后快2．某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量x（千克）与收入y（元）的关系如下表：质量x/12345…收入y/2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5…则收入y（元）与卖出的苹果质量x（千克）之间的函数表达式为（

）A．y=2x+0.1C．y=2.1x D3．下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（

）A． B．C． D．4．周六下午，小明从家去乐高编程班上课，时长2小时的课程结束后，小明以同样速度原路返回，如图正确描述这一过程的图象是（

）A．B． C． D．5．长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（

）A．B．C． D．6．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校.如图所示图象描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（

）A．修车时间为13min B．自行车发生故障时离家距离为C．学校离家的距离为2000m D．到达学校时共用时间7．水龙头向如图所示的容器内注水，下列能大致表示容器中水位高度随时间变化而变化的图象是（

）．A． B．C． D．三、填空题8．某弹簧的自然长度为13厘米，在弹性限度内，所挂物体质量每增加1千克的重物时弹簧长度增加0.5厘米，那么弹簧长度y（厘米）与所挂重物的质量x（千克）的关系式为．9．水龙头关闭不紧会造成滴水，刘华同学用可以显示水量的容器做试验，并根据试验数据绘制出容器内盛水量WL与滴水时间th的函数关系图象（如图）．已知滴水的速度是0.4L/h，请结合图象解答下列问题：计算在这种滴水状态下一天滴水的总量为10．已知动点P以每秒3cm的速度沿图甲的边框按B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的面积S11．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△12．一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶250km，在这一过程中，是变量，我们可以把看成是的函数，13．某市出租车计价方式如下：