2025年高三数学高考基本不等式及其应用模拟试题

2025年高三数学高考基本不等式及其应用模拟试题一、选择题（每题5分，共40分）设(a,b\in\mathbb{R})，则(a^2+b^2)与(2|ab|)的大小关系是（）A.(a^2+b^2\geq2|ab|)B.(a^2+b^2=2|ab|)C.(a^2+b^2\leq2|ab|)D.(a^2+b^2>2|ab|)若实数(a,b\in(0,1))，且满足((1-a)b>\frac{1}{4})，则(a,b)的大小关系是（）A.(a>b)B.(a\geqb)C.(a\leqb)D.(a<b)下列结论不成立的是（）A.若(a,b\in\mathbb{R})，则(a^{10}+b^{10}\geq2a^5b^5)B.若(x\neq0)，则(x^2+\frac{1}{x^2}\geq2)C.若(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2)，则必有(a>0,b>0)D.若(a\in\mathbb{R})，则有(a^2+9\geq6a)某工厂生产某种产品，第一年产量为(A)，第二年的增长率为(a)，第三年的增长率为(b)，这两年的平均增长率为(x)，则（）A.(x=\frac{a+b}{2})B.(x\leq\frac{a+b}{2})C.(x>\frac{a+b}{2})D.(x\geq\frac{a+b}{2})设(a,b)为正数，且(a+b\leq4)，则下列各式中正确的一个是（）A.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<1)B.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq1)C.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<2)D.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq2)如果正数(a,b,c,d)满足(a+b=cd=4)，那么（）A.(ab\leqc+d)，且等号成立时(a,b,c,d)的取值唯一B.(ab\geqc+d)，且等号成立时(a,b,c,d)的取值唯一C.(ab\leqc+d)，且等号成立时(a,b,c,d)的取值不唯一D.(ab\geqc+d)，且等号成立时(a,b,c,d)的取值不唯一已知(a,b\in\mathbb{R})，且(ab\neq0)，则在①(\frac{a^2+b^2}{2}\geqab)；②(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2)；③(ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2)；④(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq\frac{a^2+b^2}{2})这四个不等式中，恒成立的个数为（）A.1B.2C.3D.4已知(m=a+\frac{1}{a-2}(a>2))，(n=2^{2-b^2}(b\neq0))，则(m,n)之间的大小关系是（）A.(m>n)B.(m<n)C.(m=n)D.不确定二、填空题（每题5分，共30分）若(a<1)，则(a-1)与(\frac{1}{a-1})的大小关系是__________．给出下面三个推导过程：①∵(a,b)为正实数，∴(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=2)；②∵(a<0)，∴(a+\frac{4}{a}\geq2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}=4)；③∵(x,y\in\mathbb{R})，(xy<0)，∴(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-(\left|\frac{x}{y}\right|+\left|\frac{y}{x}\right|)\leq-2)．其中正确的推导过程为__________．若正数(a,b)满足(ab=a+b+3)，则(ab)的取值范围是__________；(a+b)的取值范围是__________．《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点(P)在半圆(O)上，点(Q)在直径(AB)上，且(PQ\perpAB)．设(AC=a)，(BC=b)，则该图形可以完成的无字证明为__________（填序号）．A.(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}(a>0,b>0))B.(a^2+b^2\geq2ab(a>0,b>0))C.(\frac{2ab}{a+b}\leq\sqrt{ab}(a>0,b>0))D.(\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a>0,b>0))设(a>0,b>0)，则(m=\frac{a+b}{2})，(n=\sqrt{ab})，(p=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}})的大小关系是__________（用“(\leq)”连接）．已知(x>0,y>0)，且(x+2y=1)，则(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值为__________．三、解答题（共80分）（12分）设(a,b,c)都是正数，试证明不等式：(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{a+b+c}{2})．（12分）设(a,b,c\in\mathbb{R}^+)，求证：（1）(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\geq6abc)；（2）((a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq9)．（14分）已知数列({a_n})的前(n)项和(S_n)，且满足(a_n+2S_nS_{n-1}=0(n\geq2))，(a_1=\frac{1}{2})．（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）数列({b_n})满足(b_n=\frac{1}{2^n}\cdota_n)，其前(n)项和为(T_n)，比较(T_n)和(\frac{1}{2})的大小．（14分）（多选题）设(a>0,b>0)，下列不等式恒成立的是（）A.(a^2+1>a)B.(\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\geq4)C.((a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq4)D.(a^3+b^3\geq2ab^2)并对所选选项给出证明．（14分）某企业拟设计一个平面运输装置，运输路线为由点(A)到点(B)再到点(C)，其中(AB)段为直线，(BC)段为抛物线，已知(AB=2)千米，(BC)段抛物线的顶点为(D)，且(AD\perpAB)，(AD=1)千米．（1）建立适当的平面直角坐标系，求(BC)段抛物线的方程；（2）若运输成本与路程成正比，比例系数为(k)，为缩短运输时间，该企业考虑在(AB)上选一点(E)，直接修建一条直线运输通道到点(C)，问点(E)在何处时，总运输路程(AE+EC)最小？最小路程是多少？（14分）已知函数(f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}(x>0))，若对任意(x\in[1,+\infty))，(f(x)\geq0)恒成立，求实数(a)的取值范围；并在此条件下，求(f(x))的最小值．四、附加题（共20分，不计入总分）已知正项数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})．（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）设(b_n=a_n\cdota_{n+1})，数列({b_n})的前(n)项和为(S_n)，求证：(S_n<\frac{1}{2})；（3）设(c_n=\frac{a_n}{n+1})，求证：(c_1+c_2+\cdots+c_n<1)．已知(a,b,c)均为正实数，且(a+b+c=1)，求证：（1）(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq9)；（2）(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq1)；（3）(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq\sqrt{3})．（注：附加题供学有余力的同学选做，重点考查不等式与数列、函数的综合应用能力）参考答案及解析（因篇幅限制，仅提供部分典型题解析思路）A（提示：作差法(a^2+b^2-2|ab|=(\verta\vert-\vertb\vert)^2\geq0)）B（提示：(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\geq\frac{a+b}{(\frac{a+b}{2})^2}=\frac{4}{a+b}\geq1)）([9,+\infty))，([6,+\infty))（提示：令(t=\sqrt{ab})，则(t^2-t-3\geq0)）（2）(