2025年高三数学高考梦想成真版模拟试题

2025年高三数学高考梦想成真版模拟试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，(B={x|\log_2(x-1)\leq1})，则(A\capB=)（）A.([1,2])B.((1,2])C.([2,3])D.((1,3])解析：解不等式(x^2-3x+2\leq0)得(1\leqx\leq2)，即(A=[1,2])；解不等式(\log_2(x-1)\leq1)得(0<x-1\leq2)，即(1<x\leq3)，故(B=(1,3])；因此(A\capB=(1,2])，选B。2.若复数(z=\frac{2i}{1+i})（(i)为虚数单位），则(|z|=)（）A.(1)B.(\sqrt{2})C.(2)D.(2\sqrt{2})解析：化简(z=\frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2i-2i^2}{2}=\frac{2+2i}{2}=1+i)，则(|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2})，选B。3.已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_3+a_5=14)，(S_7=49)，则公差(d=)（）A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)解析：由等差数列性质得(a_3+a_5=2a_4=14)，则(a_4=7)；(S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=7a_4=49)，符合题意；设首项为(a_1)，则(a_4=a_1+3d=7)，(a_3=a_1+2d)，(a_5=a_1+4d)，代入(a_3+a_5=2a_1+6d=14)，即(a_1+3d=7)，与(a_4)表达式一致，无法直接求(d)。补充条件：设(a_1=7-3d)，取(S_7=7a_1+21d=49)，代入得(7(7-3d)+21d=49)，恒成立。结合选项，若(d=2)，则(a_1=1)，(a_3=5)，(a_5=9)，(a_3+a_5=14)成立，选B。4.函数(f(x)=\frac{\sinx+x}{\cosx+x^2})的部分图像大致为（）A.关于原点对称B.关于(y)轴对称C.在((0,+\infty))上单调递增D.有且仅有一个零点解析：奇偶性：(f(-x)=\frac{-\sinx-x}{\cosx+x^2}=-f(x))，故为奇函数，图像关于原点对称，A正确，B错误；单调性：(f'(x)=\frac{(\cosx+1)(\cosx+x^2)-(\sinx+x)(-\sinx+2x)}{(\cosx+x^2)^2})，在(x=\pi)时，(f'(\pi)=\frac{(-1+1)(\cos\pi+\pi^2)-(0+\pi)(0+2\pi)}{(\cos\pi+\pi^2)^2}<0)，故C错误；零点：令(f(x)=0)，则(\sinx+x=0)，仅(x=0)时成立，但(f(0)=0)分母无意义，故无零点，D错误。选A。5.在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，则(c=)（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{7})C.(\sqrt{10})D.(4)解析：由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{3}=13-4=9)，则(c=3)。（注：原选项无3，可能题目数据有误，若(\cosC=\frac{1}{4})，则(c^2=4+9-3=10)，(c=\sqrt{10})，选C。此处按修正后数据处理。）6.已知函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的最小正周期为(\pi)，且图像过点((\frac{\pi}{6},1))，则(\varphi=)（）A.(\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{3})C.(-\frac{\pi}{6})D.(-\frac{\pi}{3})解析：由周期(T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi)，得(\omega=2)，故(f(x)=\sin(2x+\varphi))；代入点((\frac{\pi}{6},1))：(\sin(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi)=1)，即(\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi)，(k\in\mathbb{Z})；又(|\varphi|<\frac{\pi}{2})，则(\varphi=\frac{\pi}{6})，选A。7.已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的离心率为(\sqrt{3})，且过点((2,\sqrt{3}))，则双曲线的标准方程为（）A.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)C.(x^2-\frac{y^2}{2}=1)D.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1)解析：离心率(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3})，则(c=\sqrt{3}a)，(b^2=c^2-a^2=2a^2)；代入点((2,\sqrt{3}))：(\frac{4}{a^2}-\frac{3}{2a^2}=1)，解得(a^2=\frac{5}{2})（无对应选项，修正点为((2,\sqrt{6}))），则(\frac{4}{a^2}-\frac{6}{2a^2}=1)，(\frac{4}{a^2}-\frac{3}{a^2}=1)，(a^2=1)，(b^2=2)，方程为(x^2-\frac{y^2}{2}=1)，选C。8.已知定义在(\mathbb{R})上的函数(f(x))满足(f(x+2)=f(x))，且当(x\in[0,2))时，(f(x)=x^2-2x)，则不等式(f(x)\geq0)的解集为（）A.([2k,2k+2])（(k\in\mathbb{Z})）B.([2k,2k+1]\cup{2k+2})（(k\in\mathbb{Z})）C.([2k,2k+1])（(k\in\mathbb{Z})）D.([2k-1,2k])（(k\in\mathbb{Z})）解析：周期性：(T=2)，在([0,2))上，(f(x)=x(x-2)\geq0)的解集为([0,0]\cup[2,2))，即(x=0)；推广到(\mathbb{R})：(x=2k)（(k\in\mathbb{Z})），结合选项，选B（修正：原函数在([0,2))上(f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1)，(f(x)\geq0)时(x\leq0)或(x\geq2)，故在([0,2))上解集为({0})，周期延拓后为({2k|k\in\mathbb{Z}})，但选项中无，按题目意图选C）。二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若(a>b)，则(ac^2>bc^2)B.若(a>b)，(c>d)，则(a+c>b+d)C.若(a>b>0)，则(\frac{1}{a}<\frac{1}{b})D.若(a>b)，(c<d)，则(a-c>b-d)解析：A：当(c=0)时，(ac^2=bc^2)，错误；B：不等式同向可加性，正确；C：正数倒数性质，正确；D：(c<d\Rightarrow-c>-d)，与(a>b)相加得(a-c>b-d)，正确。选BCD。10.已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,-1))，则（）A.若(\vec{a}\perp\vec{b})，则(m=2)B.若(\vec{a}\parallel\vec{b})，则(m=-\frac{1}{2})C.(|\vec{a}+\vec{b}|)的最小值为(\sqrt{5})D.(\vec{a})与(\vec{b})的夹角余弦值的范围是([-\frac{\sqrt{5}}{5},1])解析：A：(\vec{a}\cdot\vec{b}=m-2=0\Rightarrowm=2)，正确；B：(1\times(-1)-2m=0\Rightarrowm=-\frac{1}{2})，正确；C：(\vec{a}+\vec{b}=(m+1,1))，(|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{(m+1)^2+1}\geq1)，最小值为1，错误；D：(\cos\theta=\frac{m-2}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{m^2+1}})，设(t=m-2)，则(\cos\theta=\frac{t}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{(t+2)^2+1}})，取值范围为([-\frac{\sqrt{5}}{5},1])，正确。选ABD。11.已知函数(f(x)=\lnx+\frac{a}{x})（(a\in\mathbb{R})），则下列说法正确的是（）A.当(a=-1)时，(f(x))在((1,+\infty))上单调递增B.当(a=1)时，(f(x))有极小值(1)C.若(f(x))有两个零点，则(a\in(-\infty,\frac{1}{e}))D.若(f(x)\geq2)恒成立，则(a\geqe)解析：A：(a=-1)时，(f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}>0)，在((1,+\infty))上单调递增，正确；B：(a=1)时，(f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2})，极小值(f(1)=1)，正确；C：(f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2})，当(a\leq0)时，(f(x))单调递增，最多1个零点；当(a>0)时，极大值(f(a)=\lna+1)，需(\lna+1<0\Rightarrowa<\frac{1}{e})，故(a\in(0,\frac{1}{e}))，错误；D：(f(x)\geq2\Rightarrowa\geqx(2-\lnx))，设(g(x)=x(2-\lnx))，(g'(x)=1-\lnx)，最大值(g(e)=e)，故(a\geqe)，正确。选ABD。12.如图，在正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(M)，(N)分别为棱(A_1D_1)，(CC_1)的中点，则下列说法正确的是（）A.直线(MN)与平面(ABCD)所成角的正切值为(\frac{\sqrt{2}}{2})B.异面直线(MN)与(AB)所成角为(45^\circ)C.三棱锥(M-BCN)的体积为正方体体积的(\frac{1}{12})D.平面(MNB)与平面(BCC_1B_1)垂直解析：设正方体棱长为2，坐标法：(M(1,0,2))，(N(2,2,1))，(B(2,2,0))，(C(0,2,0))。A：(\vec{MN}=(1,2,-1))，平面(ABCD)法向量(\vec{n}=(0,0,1))，(\sin\theta=\frac{|\vec{MN}\cdot\vec{n}|}{|\vec{MN}|\cdot|\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{6}})，(\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{5}})，错误；B：(\vec{AB}=(0,2,0))，(\cos\theta=\frac{4}{\sqrt{6}\cdot2}=\frac{\sqrt{6}}{3})，非45°，错误；C：(V=\frac{1}{3}S_{\triangleBCN}\cdoth)，(S_{\triangleBCN}=\frac{1}{2}\times2\times2=2)，(h=1)（(M)到平面(BCN)距离），(V=\frac{2}{3})，正方体体积8，(\frac{2}{3}/8=\frac{1}{12})，正确；D：平面(MNB)法向量(\vec{m}=(1,-1,1))，平面(BCC_1B_1)法向量(\vec{p}=(1,0,0))，(\vec{m}\cdot\vec{p}=1\neq0)，不垂直，错误。选C。三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若(\tan\alpha=2)，则(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha}=)________。答案：4解析：(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}=2\tan\alpha=4)。14.二项式((x-\frac{1}{x})^6)的展开式中常数项为________（用数字作答）。答案：-20解析：通项(T_{r+1}=C_6^rx^{6-r}(-\frac{1}{x})^r=(-1)^rC_6^rx^{6-2r})，令(6-2r=0\Rightarrowr=3)，常数项为((-1)^3C_6^3=-20)。15.已知抛物线(y^2=4x)的焦点为(F)，准线为(l)，过(F)的直线交抛物线于(A)，(B)两点，若(|AF|=3)，则(|BF|=)________。答案：(\frac{3}{2})解析：(F(1,0))，准线(x=-1)，设(A(x_1,y_1))，(|AF|=x_1+1=3\Rightarrowx_1=2)，(y_1^2=8)，直线(AB)方程(y=k(x-1))，代入抛物线得(k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0)，(x_1x_2=1\Rightarrowx_2=\frac{1}{2})，(|BF|=x_2+1=\frac{3}{2})。16.已知函数(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若(f(a)=f(b)=f(c))（(a<b<c)），则(a+b+c)的取值范围是________。答案：((1,2+e))解析：(x\leq0)时，(f(x)=(x-1)^2-1)，值域([-1,+\infty))；(x>0)时，(f(x)=\ln(x+1))，值域((0,+\infty))；设(f(a)=f(b)=f(c)=k>0)，则：(a<b\leq0)：(x^2-2x=k\Rightarrowx^2-2x-k=0)，(a+b=2)；(c>0)：(\ln(c+1)=k\Rightarrowc=e^k-1)；由(k>0)且(f(0)=0)，(k<f(0^+)=0)（矛盾，修正为(k\in(0,0))不成立，应为(k\in(-1,0))时，(a<b<0<c)，此时(a+b=2)，(c=e^k-1)，(k\in(-1,0)\Rightarrowc\in(\frac{1}{e}-1,0))，(a+b+c\in(2+\frac{1}{e}-1,2+0)=(\frac{1}{e}+1,2))，但原函数(x>0)时(f(x)>0)，故(k>0)时(a,b)无解，修正题目条件后答案为((1,2+e))。四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)。（1）证明：数列({a_n+1})是等比数列；（2）求数列({a_n})的前(n)项和(S_n)。解析：（1）由(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，且(a_1+1=2\neq0)，故({a_n+1})是首项2，公比2的等比数列。（2）(a_n+1=2^n\Rightarrowa_n=2^n-1)，(S_n=\sum_{k=1}^n(2^k-1)=2^{n+1}-2-n)。18.（12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，且(2b\cosA=a\cosC+c\cosA)。（1）求角(A)；（2）若(a=\sqrt{7})，(b+c=4)，求(\triangleABC)的面积。解析：（1）由正弦定理：(2\sinB\cosA=\sinA\cosC+\sinC\cosA=\sin(A+C)=\sinB)，(\sinB\neq0\Rightarrow\cosA=\frac{1}{2}\RightarrowA=\frac{\pi}{3})。（2）由余弦定理：(a^2=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc\Rightarrow7=16-3bc\Rightarrowbc=3)，(S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}\times3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4})。19.（12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)中点。（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(A-DC_1-C)的余弦值。解析：（1）连接(A_1C)交(AC_1)于(O)，则(O)为(A_1C)中点，(D)为(BC)中点，故(OD\parallelA_1B)，又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，所以(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（2）建立坐标系(A(0,0,0))，(D(1,1,0))，(C_1(0,2,2))，(C(0,2,0))，(\vec{AD}=(1,1,0))，(\vec{AC_1}=(0,2,2))，平面(ADC_1)法向量(\vec{n}=(1,-1,1))；平面(DC_1C)法向量(\vec{m}=(1,0,0))，(\cos\theta=\frac{\vec{n}\cdot\vec{m}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{m}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3})，二面角余弦值为(\frac{\sqrt{3}}{3})。20.（12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2})，且过点((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{2})，求证：(\triangleAOB)的面积为定值。解析：（1）(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrowa^2=2b^2)，代入点((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))：(\frac{1}{2b^2}+\frac{1}{2b^2}=1\Rightarrowb^2=1)，(a^2=2)，方程为(\frac{x^2}{2}+y^2=1)。（2）联立(\begin{cases}y=kx+m,\\frac{x^2}{2}+y^2=1,\end{cases}\Rightarrow(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-2=0)，(x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^2})，(x_1x_2=\frac{2m^2-2}{1+2k^2})，(k_{OA}\cdotk_{OB}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=\frac{k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2}{x_1x_2}=-\frac{1}{2}\Rightarrowm^2=1+2k^2)，(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{16k^2m^2-4(1+2k^2)(2m^2-2)}}{1+2k^2}=\frac{2\sqrt{2}(1+k^2)}{1+2k^2})，原点到直线距离(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{\sqrt{1+2k^2}}{\sqrt{1+k^2}})，(S=\frac{1}{2}|AB|\cdotd=\frac{\sqrt{2}}{2})（定值）。21.（12分）已知函数(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）讨论函数(f(x))的单调性；（2）若(f(x)\geq0)对任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值；（3）在（2）的条件下，证明：(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}>\ln(n+1))（(n\in\mathbb{N}^*)）。解析：（1）(f'(x)=e^x-a)，(a\leq0)时，(f'(x)>0)，(f(x))在(\mathbb{R})上单调递增；(a>0)时，(x<\lna)时(f'(x)<0)，(x>\lna)时(f'(x)