专题09 一元一次方程应用的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册（原卷版）

1/10专题09一元一次方程应用的六类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、利用一元一次方程解决销售问题类型二、利用一元一次方程解决方案问题类型三、利用一元一次方程解决配套问题类型四、利用一元一次方程解决古代问题类型五、利用一元一次方程解决几何问题类型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题压轴专练类型一、利用一元一次方程解决销售问题一元一次方程解决销售问题总结一、核心知识点1.关键公式：利润=售价-成本；利润率=（利润÷成本）×100%；售价=标价×折扣（如8折即×0.8）。2.等量关系：围绕利润、售价、成本、利润率等量，根据题目条件确定相等关系（如“总利润相等”“售价相同”）。二、解题技巧1.设元：通常设成本或标价为未知数x（根据问题所求或便于列方程选择）。2.列方程：将已知量代入公式，按等量关系列出含x的一元一次方程。3.求解与检验：解出x后，代入公式验证是否符合实际销售场景（如售价、利润为正数）。例1．（24-25七年级上·山东青岛·期末）国庆节期间蔬菜加工公司共储存蔬菜吨，根据市场信息，将蔬菜直接销售，每吨可获利元；如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工吨，每吨可获利元；如果进行精加工，每天可加工吨，每吨可获利元．限于公司加工条件，在同一天中只能采用一种方式加工，计划要求必须在节日期间（7天）全部销售出去．为此公司制定了以下几种销售方案：方案一：直接销售；方案二：全部粗加工销售；方案三：7天时间都进行精加工，未来得及加工的在市场上直接销售；(1)上述三种方案那种获利最多？请通过计算说明理由．(2)问：是否存在第四种方案可获得更多利润？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．【变式1-1】（24-25七年级上·重庆永川·阶段练习）秋风起，桂花飘香，也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”，意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季，小贤去水产市场采购大闸蟹，每只极品母蟹标价比至尊公蟹标价高出20元，在不优惠时花260元可购买4只极品母蟹和2只至尊公蟹．(1)极品母蟹和至尊公蟹的单价分别为多少元？(2)商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的8折销售；方案二：买一只极品母蟹送一只至尊公蟹．现小贤要购买极品母蟹40只，至尊公蟹a（）只．①按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）；按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）．②当时，通过计算，说明此时按那种方案购买比较合算？你能给出一种更省钱的方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？【变式1-2】（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）2024年元旦期间，某商场打出促销广告，如下表所示：优惠条件一次性购物不超过200元一次性购物超过200元，但不超过500元一次性购物超过500元优惠办法没有优惠，照原价付款全部按照九折优惠其中500元按九折优惠，超过500元部分按照八折优惠(1)若甲一次性购买的商品原价为198元，则他需要付款____________元；若乙实际付款198元，则乙一次性购买的物品原价为____________元．(2)若甲购物一次性付款466元，则所购物品的原价是____________元．(3)若乙分两次购物，两次购物的原价之和是1000元，且第二次所购物品的原价高于第一次，两次实际付款共884元，则乙两次购物时，所购物品的原价分别是多少元？【变式1-3】（24-25七年级上·全国·期末）小王看到两个超市的促销信息如图所示．甲超市促销信息栏乙超市促销信息栏全场8.8折不超过200元，不给予优惠超过200元而不大于500元，打9折超过500元，500元的部分优惠，超过500元的部分打8折(1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？(2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？(3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？类型二、利用一元一次方程解决方案问题一元一次方程解决方案问题总结一、核心知识点1.问题特征：需从两种及以上方案中选择最优（如省钱、高效），或找方案效果相等的临界点。2.等量关系：关键是设未知数（如数量x），表示出不同方案的结果（如费用、工作量），再根据“结果相等”列方程。二、解题技巧1.设元：设影响方案结果的变量为x（如购买数量、使用时间）。2.列方程：分别写出各方案的表达式，令其相等列方程，求解临界点x。3.判断最优：根据x的实际取值范围，比较不同方案结果，确定最优解。例2．（24-25七年级上·重庆·期末）在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话：问题：(1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？(2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？【变式2-1】（24-25七年级上·全国·期末）某旅游景点门票价格如下表：某校七年级（1）和（2）班共105人去游玩，其中七（1）班40多人不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1401元．购票数量1~50张51~100张100张以上每张票的价格15元12元10元(1)两班各有多少人？(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？(3)如果七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者，你如何购票更省钱？请说明理由【变式2-2】（24-25七年级上·内蒙古包头·开学考试）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次性缴费240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）．(1)王叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请你帮王叔叔算一算，选一选．(2)王叔叔一年内游泳达到多少次时，两种付费方式钱数相等？【变式2-3】（25-26七年级上·全国·期末）光明学校组织七年级学生开展研学活动，已知研学基地的票价为每张20元，由各班班长负责买票，下面是一班班长与售票员咨询的对话：班长：你好!我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团体票有优惠吗？售票员：你好!购票人数超过40人的团体票有两种优惠方案，如下：方案一：若每人都购票，每张门票打八折；方案二：若打九折，有5人可免票．(1)一班学生人数为50，选择了方案一购票，那么一班购票需要多少元？(2)二班选择了方案二，购票费用为702元，那么二班有多少人？(3)三班的学生人数为，三班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问三班有多少人？类型三、利用一元一次方程解决配套问题一元一次方程解决配套问题总结一、核心知识点1.

问题特征：多个部件按固定比例搭配（如1个桌面配4条桌腿），需使各部件数量符合配套比例，避免浪费。2.

等量关系：根据配套比例，将某一部件数量乘以比例系数，与另一部件数量相等（如桌腿数量=4×桌面数量）。二、解题技巧1.

设元：设生产其中一种部件的数量或人数为x（优先设与比例相关的量）。2.

列方程：根据配套比例，用含x的式子表示另一部件数量，再按等量关系列方程。3.

验证：求解后需检查结果是否为整数（部件数量为整数），确保符合实际生产情况。例3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）某车间有工人人，每人每天可生产个螺母或个螺杆，已知一个螺杆和两个螺母配套为了使生产出来的螺母、螺杆刚好配套，应安排多少人生产螺母？【变式3-1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）“爱心暖人间，关爱老人我先行”志愿活动启动，学校假期组织52名同学做礼品盒送给敬老院的老人们．平均每人每天加工大礼品盒14个或小礼品盒10个．已知每个大礼品盒可以装3个小礼品盒，问需要分别安排多少名同学加工大、小礼品盒，才能使每天加工的大、小礼品盒刚好配套？【变式3-2】（25-26七年级上·山东东营·开学考试）某车间有20个工人生产甲、乙两种零件，每2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件8个或乙种零件6个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？【变式3-3】（24-25七年级上·全国·期末）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人．(1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数；(2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？类型四、利用一元一次方程解决古代问题一元一次方程解决古代问题总结一、核心知识点1.问题特征：源于古代典籍（如《九章算术》），多为鸡兔同笼、盈不足、工程、分配类，表述含古汉语，需转化为现代数学语言。2.等量关系：抓住题目中不变的量（如总头数、总工程量、总钱数），以此建立相等关系。二、解题技巧1.译题：先将古汉语表述转化为现代汉语，明确已知量和未知量（如“上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗”译为具体数量关系）。2.设元：设题目中关键未知量为x（如鸡的数量、每亩产量）。3.列方程求解：根据等量关系列方程，求解后结合古代问题实际（如数量为正整数）验证合理性。例4．（23-24七年级上·江苏苏州·开学考试）我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？（列方程求解）【变式4-1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的是幸福的童年，是无忧无虑的青年．又过了一生的，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？【变式4-2】（24-25七年级上·全国·期末）古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天跑里，慢马先走天，那么快马几天可以追上慢马？【变式4-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）跨学科

成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限制猴子的粮食，分早晚两次投喂，早上投喂的粮食是晚上的，猴子对于这个安排很不满意，于是老翁将晚上粮食中的2千克放在早上投喂，这样早上投喂的粮食是晚上的，猴子很满意这样的安排．则调整前早上和晚上分别投喂多少粮食？类型五、利用一元一次方程解决几何问题一元一次方程解决几何问题总结一、核心知识点1.问题特征：围绕几何图形的边长、周长、面积、体积等计算，或图形间数量关系（如线段和差、角的倍分）出题。2.等量关系：依据几何公式（如矩形周长=2×(长+宽)）或题目给出的关系（如“角A比角B大30°”）建立等式。二、解题技巧1.设元：设未知的边长、角度等为x（优先设与所求直接相关的量）。2.列方程：用含x的式子表示其他相关量，代入几何公式或题目关系列方程。3.验证：求解后检查结果是否符合几何实际（如边长、角度为正数，三角形三边满足三边关系）。例5．（25-26七年级上·重庆·开学考试）长方形被分成六个正方形，现在只知道中间一个最小的正方形的面积为4，求长方形的面积．【变式5-1】（2025七年级上·四川成都·专题练习）一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为为多少？【变式5-2】（2025七年级上·四川成都·专题练习）如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的两部分．现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升．注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平．又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平．(1)水槽的容积是多少？(2)注满水槽共需几分钟？【变式5-3】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）为践行劳动教育，学校特意划出一块长方形土地供学生劳作．如图，长方形土地一面靠墙，现将不靠墙的三面向内推进x米修建小路，在小路内侧用篱笆围出一块长方形菜地．(1)当时，篱笆的长度为米．(2)用x的代数式表示篱笆的长度．（列式并化简）(3)若篱笆长度为36米，求小路的宽度．类型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题一元一次方程解决水电费用问题总结一、核心知识点1.

问题特征：多为阶梯收费（如用电量分档计价：0-200度0.5元/度，超200度0.6元/度），需根据用量判断所属档位，计算总费用。2.

等量关系：总费用=各档位用量×对应单价之和，根据“总费用已知”或“两方案费用相等”建立等式。二、解题技巧1.

设元：设总用量为x（如用电量x度、用水量x吨），先判断x可能所属档位。2.

列方程：若x在某档位内，直接用该档位单价列方程；若跨档位，分段表示费用后求和列方程。3.

验证：求解后确认x是否符合所设档位，避免档位判断错误。例6．（24-25七年级上·全国·期末）节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价：每户每月用水量水费价格（单位：元/立方米）不超过22立方米2.3超过22立方米且不超过30立方米的部分a超过30立方米的部分4.6(1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？(2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？【变式6-1】（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）阶梯收水费可以促进节约用水、提高水资源利用效率、增强全民节水意识，并推动节能减排．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费．月用水量不超过40时，按2.4元/计费；月用水量超过40时，其中的40仍按2.4元/计费，超过部分按3元/计费．(1)王林家九月份用水53，他家应交多少元水费？(2)王林家十月份交水费186元，他家这个月的用水量为多少立方米？【变式6-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）某市农电公司收电费标准是阶梯型收费，不超过度电，每度电收费元；超过度电，但不超过度电的部分收费是每度电收费元；超过度电的部分收费是每度电元，小明家本月用电度．(1)当时，求出小明家交电费多少元？当时，求出小明家交电费多少元？（用含的代数式表示）(2)若小明家本月平均每度电收费元，求的值．【变式6-3】（24-25七年级上·四川资阳·期中）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市每户居民用水收费价格表为：价目表每月用水量单价不超出的部分2元/超出不超出的部分4元/超出的部分8元/注：水费按月结算(1)若该户居民2月份用水，则应交水费_____元；(2)若该户居民3月份用水，则应交水费_____元；(3)若该户居民4月缴了32元水费，则该户居民4月用水_____；(4)若该户居民5月份用水，则5月份应交多少水费（用含x的式子表示）．一、单选题1．（25-26七年级上·河南·开学考试）商家获得的利润按照如下公式计算：利润售价进价售价税率，若税率由调整为，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍2．（24-25七年级上·全国·期末）《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题：今有一群人共买物，人出九，盈六；人出六，不足三，问人数几何？设共有人，所列方程正确的是（

）A． B．C． D．3．（24-25七年级下·福建福州·期末）把1－9这9个数填入的正方形方格中，不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，3个数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数的“九宫格”，其中x的值为（

）A．1 B．3 C．4 D．7二、填空题4．（25-26七年级上·四川乐山·开学考试）六年级举行速算比赛，答对一道题得10分，答错一道题扣2分，小明同学抢答了10道题，最后得分76分．他答对了道．5．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这批服装按标价的8折销售．若打折后每件服装仍能获利40元，设这批服装每件的标价为x元，则由题意可列方程为．6．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）如图所示，已知长方形的长，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形，设小正方形边长为a，则的长为（用a的代数式表示），若长方形的宽，长方形的周长为8，则图中阴影部分周长和为．

三、解答题7．（24-25七年级下·山东聊城·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元．8．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材．(1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？(2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？9．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元．(1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？(2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”和“妮妮”均按八折出售，若