（人教A版）必修二高一数学下学期期末复习训练复数专题：复数几何意义求模的最值范围问题（解析版）

复数专题：复数几何意义求模的最值范围问题一、复数的几何意义每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应.复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应的关系，复数z=a+二、复数模的几何意义1、向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作z或a+bi，即z=a+bi=az表示复平面内的点Za,b2、z1−z2的几何意义：复平面中点Z示例：z+(1+2i)表示：点Z到点−1,−2的距离小结：复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z=x+yi，则z−(a+bi)表示复平面内点(x,y)与点(a,b)则z−(a+bi)=r表示以(a,b)为圆心，以r三、圆外一点到圆上一点的距离最值问题如图所示，点P在圆O上运动，在圆上找一点P使得PA最小（大）如图，当P为OA连线与圆O交点时，PA最小，最小为OA−r当P在AO延长线与圆O交点P'时，PA最大，最大为OA+r题型一与复数模有关的轨迹(图形)判断【例1】复平面上复数满足，则复数对应的点的轨迹是（）．A．抛物线B．直线C．线段D．圆【答案】C【解析】设，因为，所以，该式表示动点到定点的距离之和为（与两定点间的距离相等），所以复数对应的点的轨迹为以为端点的线段.故选：C.【变式1-1】已知复数z满足，则复数z对应的点的轨迹是___________．【答案】圆【解析】由题意，复数z满足，可得，解得或，因为，所以，所以复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆．【变式1-2】设，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）；（2）．【答案】（1）以原点为圆心，为半径的圆；（2）以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的外边界但不包括圆环的内边界【解析】（1）因为，即，所以满足的点Z的集合是以原点为圆心，为半径的圆，如图①．（2）不等式可化为不等式组不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆内部及圆上所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的外边界但不包括圆环的内边界，如图②．【变式1-3】已知复数z1＝＋i，z2＝（1）求|z1|及|z2|并比较大小；（2）设，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？【答案】（1）；（2）以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周）【解析】（1），，，，∴；（2）由，得，根据复数几何意义可知复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，以1和2为半径的圆之间的部分（包括两边界）．【变式1-4】设复数满足，则在复平面上对应的图形是（）A．两条直线B．椭圆C．圆D．双曲线【答案】A【解析】设，则，可得：，化简得：，即或，则在复平面上对应的图形是两条直线.故选：A题型二单模长的最值范围问题【例2】如果复数z满足，那么的最大值是（）A．0B．1C．2D．2i【答案】C【解析】在复平面上，设复数对应的点为，复数对应的点为，为原点，表示点在以为圆心，1为半径的圆上，，而，所以的最大值为1＋1＝2．故选：C．【变式2-1】已知，则的最大值是__________．【答案】【解析】设，则有，即，则在复平面中的点在以为圆心，为半径的圆周上，，，表示与点的距离，如图所示：由图可知，，即的最大值为7.【变式2-2】已知复数z的共轭复数，满足，则的最小值为（）A．4B．8C．D．【答案】A【解析】设（是虚数单位）.则.因为，所以表示点(x,y)在以（-4，-2）为圆心，1为半径的圆上.而表示圆上任意一点到（0，1）的距离.由几何法可知：的最小值为（0，1）到圆心（-4，-2）减去圆的半径，即为.故选：A【变式2-3】是虚数单位，设复数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，又，的几何意义是单位圆上的点与点的距离，，即的最大值为.故选：C.【变式2-4】如果复数z满足，那么的最大值是______．【答案】【解析】，则复数对应的点在和1两个数对应点的连线段上，即设，则，，，时，得最大值为．【变式2-5】若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.【答案】【解析】复数满足，即即复数对应的点到点的距离满足，设，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可知的最大值故答案为：题型三多模长和差的最值范围问题【例3】已知复数满足，求的最小值______．【答案】10【解析】复数，由，即，于是得，整理得，，即，表示点与点、距离的和，显然点P在x轴上，而线段AB与x轴相交，因此，，当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时取“=”，所以的最小值是10.【变式3-1】若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设z＝x+yi(x，y∈R)，由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，而|CO|＝，|CA|＝，易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，故选：D．【变式3-2】若，则取值范围是___．【答案】【解析】由题意设(),则其几何意义为平面内一动点到两定点，距离之差，由图可知，当，，三点共线时，距离之差最大，当时，最小，则．的取值范围是．【变式3-3】已知复数满足，求的最小值______．【答案】13【解析】因为复数满足，所以，所以，所以，解得，所以，所以，则上式表示复平面上的点到点的距离和，因为关于实轴的对称点为，所以因为