（人教A版）必修二高一数学下学期期末复习训练解三角形专题：三角形的中线、角平分线与高线问题（解析版）

解三角形专题：三角形的中线、角平分线与高线问题一、中线1、中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB推导过程：在∆ABD中，cosB=在∆ABC中，cos联立两个方程可得：AB【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中2、向量法：AD推导过程：由AD=则AD所以AD【点睛】适用于已知中线求面积（已知BDCD二、角平分线如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，1、利用角度的倍数关系：∠2、内角平分线定理：AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，则AB推导过程：在中，，在中，，，该结论也可以由两三角形面积之比得证，即说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。3、等面积法：因为S∆ABD所以12所以b+c整理的：AD=2bccos三、垂线1、分别为边上的高，则2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。题型一与中线有关的三角形问题【例1】已知的内角、、的对边分别为、、，满足．（1）求角的大小；（2）若边上的中线，且，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由及正弦定理可得，因为、，则，可得，则，因此，.（2），所以，，所以，，即，即，解得（负值舍去）.【变式1-1】在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.（1）求A；（2）若，，AD是的中线，求AD的长.【答案】（1）；（2）【解析】（1），所以，由正弦定理得：，，，，，得，即，.（2）,,得，由余弦定理得：，，所以，即AD的长为.【变式1-2】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，，AD＝1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为AD是BC边上的高，∠C＝45°，AD＝1，所以为等腰直角三角形，，在中，，AD＝1，所以，所以，所以，（2）因为AE是BC边上的中线，所以，所以，所以【变式1-3】已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，边上的中线长为，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，，且，所以，由正弦定理可得，由，所以，又为锐角，所以.（2）在中，，所以，即，整理得，解得（舍去）或.此时，，，为等边三角形，符合题意，故.【变式1-4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）若，求；（2）若，求边中线的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，即，又，所以，，所以.（2）在中由余弦定理，即，又，所以，当且仅当时等号成立，又，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以边的中线的最大值为；题型二与角平分线有关的解三角形问题【例2】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足．角A的内角平分线交于点M，若，则（）A．B．C．D．2【答案】A【解析】由条件有：，又，则，即，又，则由为的角平分线，则,即则在中，即①在在中，在中，由，则化简得到：②将②代入①可得：③将③代入②可得：,所以所以，故选：A【变式2-1】在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，（1）求角B的大小；（2）若AD是BAC的内角平分线，当ABC面积最大时，求AD的长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，由正弦定理可得，由余弦定理得，又，所以．（2）在中，由余弦定理得，则，即.∵，，∴，当且仅当时，，所以.此时，.在中，，由正弦定理得.【变式2-2】在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足．（1）求A的大小；（2）若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，∴，因为，所以，所以，又，∴，所以，即.（2）由，得，∴，又，∴，可得，∵，∴，所以.【变式2-3】在中，角A，，所对的边分别为，，，且．（1）若，，求角（2）设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，依据正弦定理，所以，即，由余弦定理变形知，因为，所以．因为，，则在中，由正弦定理得：又，因为，所以．（2）法一：因为，是的角平分线，而，所以，即，所以，因为，，，且，故AD当且仅当取等，所以最大值为．答：当时，最大值为．法二：因为,设，，在，中由正弦定理知：①，②，因为，所以①②得，，令，，由于，所以，易得此函数在为单调递增函数，所以当时，最大值为．【变式2-4】的角，，所对的边分别为，，，点在上，（1）若，，求；（2）若是的角平分线，，求周长的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，∴，∵，∴在中，由正弦定理得即∴.（2）解法一：∵，是的角平分线，∴由得又，∴，在中，由余弦定理得，则设的周长为，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，得当且仅当时等号成立，所以的周长最小值为解法二：∵，是的角平分线，∴由得又，∴在中，由余弦定理得设的周长为，设，则由基本不等式得，，当且仅当时等号成立得，即，根据一次函数和二次函数的性质可得，当时，单调递增.∴所以的周长最小值为.题型三与高线有关的解三角形问题【例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求A的大小；（2）请根据（1）中的结论，从条件①、条件②、条件③中再选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上高线的长．条件①：，b＝1；条件②：a＝3，；条件③：b＝3，．（注：若重复选择，按第一个解答给分）【答案】（1）；（2）条件①：；条件③：【解析】（1）∵，则即，整理得∵，则（2）设BC边上高线的长为条件①：，则，根据三角形全等（角角边）可知△ABC存在且唯一确定∴，则，解得即BC边上高线的长为条件②：，即，，则或此时满足条件△ABC的三角形有两个，条件②不合题意条件③：根据三角形全等（边角边）可知△ABC存在且唯一确定，即，解得：则，解得，即BC边上高线的长为【变式3-1】在中，角，，的对边分别是，，，且满足．（1）求；（2）若，是边上的高，求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，由正弦定理可得，即，因为，所以，所以，则.（2）因为，，由余弦定理，即，所以当且仅当时取等号，所以，则，当且仅当时取等号，所以，又，所以，故的最大值为.【变式3-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求C；（2）若边AB上的高为3，求c的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，由及正弦定理，得，又，所以，又，所以，又因为，所以．（2）由（1）知，中，，又边AB上的高为3，所以的面积，即．又中，由余弦定理得，所以，当且仅当时，等号成立，所以c的最小值为．【变式3-3】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求A；（2）若A为锐角，，且BC边上的高为2，求△ABC的面积．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理得：，所以可化为：.由正弦定理得：.因为，所以.因为，所以或.（2）在中，，，由