（人教A版）必修二高一数学下学期期末复习训练平面向量专题：平面向量中的最值范围问题（解析版）

平面向量专题：平面向量中的最值范围问题平面向量最值范围问题的常用方法1、定义法第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；第2步：运用基本不等式求其最值问题；第3步：得出结论。2、坐标法第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；第2步：将平面向量的运算坐标化；第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。3、基底法第1步：利用基底转化向量；第2步：根据向量运算化简目标；第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论；4、几何意义法第1步：结合条件进行向量关系推导；第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。题型一平面向量数量积的最值范围【例1】在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．【答案】【解析】因为是的中线，所以，故，因为，设，则，所以，故当时，取得最小值，最小值为，当或3时，.故答案为：.【变式1-1】等边的外接圆的半径为1，M是的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则的最大值为（）A．1B．2C．D．0【答案】A【解析】如图，设等边的外心为，又半径为1，且是的边的中点，、、三点共线，且，，又，当时，的最大值为．故选：A．【变式1-2】如图所示，正六边形的边长为2，若P为该正六边形边上的动点，则的取值范围为（）A．[2，6]B．[-2，6]C．[4，12]D．[-4，12]【答案】B【解析】建立如图所示的坐标系：因为正六边形的边长为2，所以，，，设，则，所以，由题意可知，所以，所以，即.故选：B【变式1-3】如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴，因为且，则，所以，设，则，所以，所以的最小值为，故选：B.【变式1-4】如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点分别是上的两动点，且，点在圆弧上，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】以为原点建立如图所示的直角坐标系，设，设，又，所以，可得，，所以，其中，又，所以，所以，，所以，的最小值为．故选：B.题型二平面向量模长的最值范围【例2】已知，，，则的最大值为（）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】由，，解得：.因为，所以.建立平面直角坐标系，不妨设，设.则即为，所以，所以因为所以.故选：A【变式2-1】已知向量，，共面，且均为单位向量，，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量，，共面，且均为单位向量，，可设，则，，即，，它表示单位圆上的点到定点的距离，所以最大值为.故选：C.【变式2-2】如图所示，在中，，，P为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，，设，（），则，则，，所以，当且仅当时，取等号.故选：B【变式2-3】已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，如图所示：则，因为与的夹角为120°，所以，因为，且的起点相同，所以其终点共线，即在直线AB上，所以当时，最小，最小值为，无最大值，所以的取值范围为，故选；A题型三平面向量夹角的最值范围【例3】已知向量，满足：，，设与的夹角为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，则，，由得，由得，所以，，所以，令，显然，，所以，，时，，所以的最小值．故选：B.【变式3-1】已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意可得，，则，，，则，所以，，令，则，令，由得，则，所以，故所以，当时，有最小值.故选：A.【变式3-2】已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，是单位向量，由得：，依题意，不等式对任意实数恒成立，则，解得，而，则，又，函数在上单调递减，因此，所以向量，的夹角的取值范围为.故选：B【变式3-3】平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点，点，则向量与的夹角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，设向量与的夹角为，点，点，则，，则，，，则，又由，则，当且仅当时等号成立，则，又由，故，即向量与的夹角的取值范围是，，故选：．【变式3-4】已为向量､的夹角为，，向量且x，.则向量､夹角的余弦值的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，而，则，由，由，则，所以，要使余弦值最大且x，，只需最大，且为，此时最大.故选：C题型四平面向量系数的最值范围【例4】在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，设，，当时，，所以，所以，从而有；当时，因为（，），所以，即，因为、、三点共线，所以，即.综上，的取值范围是.故选：C.【变式4-1】如图，已知点在由射线、线段，线段的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且与平行，若，当时，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，∴的取值范围为.故选：D.【变式4-2】如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件可得，∵，∴，因为三点共线，∴，∴，∵，∴，则；当且仅当，即时取等号，故的最小值是；