（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练6.3.1 平面向量基本定理（解析版）

6.3.1平面向量基本定理重点：理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量难点：利用向量法解决平面几何中的其他问题一、平面向量基本定理1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．3、对平面向量基本定理的理解（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．（3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，．（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．二、平面向量基本定理的应用1、平面向量基本定理唯一性的应用：设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则（2）重要结论设是平面内一个基底，若，=1\*GB3①当时，与共线；=2\*GB3②当时，与共线；=3\*GB3③当时，；题型一对基底的理解与辨析【例1】（多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．若，存在单位向量和正实数，使，则.【答案】ABD【解析】对A，给定向量，总存在向量，使，即，显然存在，所以A正确.对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：总存在实数和，使，故B正确．对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使，当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确.对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得，所以D成立.故选：ABD【变式1-1】设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（）A．和B．和C．和D．和【答案】A【解析】对于A，因为，所以和共线，则这组向量不能作为平面内的一组基底，故A正确；对于B，假设和共线，则，故，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，则和能作为平面内的一组基底，故B错误；对于C，假设和共线，则，即，由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，则和能作为平面内的一组基底，故C错误；对于D，假设和共线，则，即，由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，则和能作为平面内的一组基底，故D错误.故选：A.【变式1-2】已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是平面内两个不共线的向量，对于A，，即向量共线，A不是；对于B，，即向量共线，B不是；对于D，，即向量共线，D不是；对于C，因为，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是.故选：C【变式1-3】如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（）A．，是该平面所有向量的一组基底，B．，是该平面所有向量的一组基底，C．，不是该平面所有向量的一组基底，D．，不是该平面所有向量的一组基底，【答案】A【解析】由图可知，平面向量，不共线，是该平面所有向量的一组基底，且，故选：A.题型二用基底表示向量【例2】如图，在中，为的中点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为为的中点，则．因为为的中点，则．所以，即.故选：A．【变式2-1】在中，，，若点满足，以为基底，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，，所以，所以，故选：D【变式2-2】正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且满足．下列关系式正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，，，，，，.故选：B.【变式2-3】如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，.（1）若，以，为基底表示向量与；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；；（2）【解析】（1），所以；因为，所以，所以；（2），所以，又，，，所以，所以因为，所以，所以，所以的取值范围为.题型三利用平面向量基本定理求参数【例3】已知G是的重心，点D满足，若，则为（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】因为，所以为中点，又因为G是的重心，所以，又因为为中点，所以，所以，所以，所以.故选：A【变式3-1】在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，而，所以，即，由已知，，则.故选：D【变式3-2】如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，且由3，得：D是BC的四等分点，则，所以，所以.故选A．【变式3-3】已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为与的面积之比为，易得.故，即，整理得.因为，且均不共线，故，解得，故选：D题型四平面向量基本定理的应用【例4】如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（）A．-3B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，因为三点共线，所以，即，所以，又,所以.故选：C.【变式4-1】点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（）A．B．3C．D．【答案】D【解析】如图，延长交于点，设，则，因为共线，所以，解得，所以，，则，由，得，即，所以，所以，所以.故选：D.【变式4-2】设为锐角的外心（三角形外接圆圆心），．若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】取中点，连接，为的外心，，，，三点共线，，，，，，，，即，，，则，解得：，故选：A.【变式4-3】在中，是边的中点，角的对边分别是，若，则为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰三角形【答案】C【解析】∵是边的中点，∴.∵，∴，即.∵与不共线，∴且，∴，∴是等边三角形.故选：C6.3.1平面向量基本定理【题型1对基底的理解与辨析】1、（多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（）A．若实数m，n使，则B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C．对于m，，不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使【答案】AB【解析】根据基底的定义知AB正确；对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.2、若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】C【解析】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选；对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选；对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C；对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选；故选：C3、设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】D【解析】∵，是平面内的一组基底，∴，不共线，而，则根据向量共线定理可得，与共线，根据基底的定义可知，选项D不符合题意.其他三组中的向量均为不共线向量，故可作为基底向量.故选:D.4、已知向量是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于选项A，，所以共线，所以不能作为基底；对于选项B,,所以不共线，所以可以作为基底；对于选项C,共线，所以不能作为基底；对于选项D,，所以共线，所以不能作为基底.故选：B5、若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】不共线的向量能作为基底，因为，所以向量，共线，故排除A；假设，解得，无解，所以向量，不共线，故B正确；因为，所以，共线，故排除C；因为，所以，共线，故排除D，故选：B【题型2用基底表示向量】1、如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，所以，所以.故选：B2、在梯形中，且为上靠近点处的三等分点，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，故选：A3、如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则向量=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由向量加法的平行四边形法则可得，由已知，同理可得，所以，，因此，.故选：B.4、在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.设，则,又，且三点共线，则共线，即，使得，即，又不共线，则有，解得，所以，.故选：D.5、如图，已知分别是矩形的边，的中点，与交于点G，若，，用基底，表示.【答案】【解析】因为分别是矩形的边，的中点，所以，，，设，所以，由向量加法的平行四边形法则可得.因为三点共线，所以，，即，所以，，所以.【题型3利用平面向量基本定理求参数】1、如图，分别是边上的中线，与交于点F，设，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，是的重心，=，，故.故选：D2、如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ＋μ等于（）A．1B．－1C．D．【答案】D【解析】因为E为AO的中点，所以，所以，即，所以，，所以D正确.故选：D.3、如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，则_________【答案】【解析】在长方形ABCD中，向量不共线，M，N分别为线段BC，CD的中点，则有，，，因，则有，于是得，解得，所以.4、如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则___________.【答案】【解析】因为F为线段AB的中点，所以,因为，所以，所以,因为，所以,由直线与相交于点，设，则,所以，所以，解得5、如图，在中，是的中点，.（1）求；（2）若，，求和的值.【答案】（1）；（2），【解析】（1）因为，所以因为，所以，故.（2）因为又所以，解得.【题型4平面向量基本定理的应用】1、梯形ABCD中，，，，，，点E在线段BD上，点F在线段AC上，且，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，，，．故选：D2、在中，为线段的中点，为线段上的一点且，若，，则的值为（）A．12B．6C．D．【答案】B【解析】因为，，,所以，故选：B3、已知D为△ABC所在平面内一点，AD交BC于点E，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，AD交BC于点E，，设.由B，E，C三点共线可得，解之得∴，则∴.设，则，又，则∴，∴.故选：C4、已知是不