（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练6.4.1 平面几何中的向量方法（解析版）

6.4.1平面几何中的向量方法重点：用向量知识解决一些简单的平面几何问题的方法和步骤；难点：选择恰当的方法，将几何问题转化为向量问题。一、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。二、利用向量证明平面几何的两种经典方法及步骤：1、线性运算法（1）选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）；（2）利用基底表示相关向量；（3）利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；（4）把计算结果“翻译”为几何问题。2、坐标运算法（1）建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）；（2）把相关向量坐标化；（3）用向量的坐标运算找到相应关系；（4）利用向量关系回答几何问题。二、平面几何中证明问题的具体转化方法1、证明线段，可转化为证明；2、证明线段，只需证明存在一个实数，使成立；3、证明两线段，只需证明数量积；4、证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。题型一利用向量证明线段垂直【例1】如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.（1）用表示；（2）如果，用向量的方法证明：.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）因为点是的中点，所以.因为，,所以.所以，.（2）由（1）可得：，.因为，所以，所以.【变式1-1】用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．【解析】证明：设，．因为四边形为菱形，所以，又则，故．所以.【变式1-2】如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.【答案】证明见解析【解析】∵·＝·＝2－2，而，∴·＝0，∴⊥，即DE⊥AF.【变式1-3】如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.【解析】因为，所以，即，故.题型二利用向量证明线段平行【例2】在中，点，分别在线段，上，，.求证：.【解析】证明：设，，则.又，.所以，.在中，，所以，即与共线，故.【变式2-1】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．【解析】证明：由题意，，，∴．设，则．同理．于是．∴，∴．【变式2-2】如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形．【答案】见解析【解析】如图，因为四边形为平行四边形，所以.又在直线上，所以,从而,所以,即与平行且相等，所以四边形是平行四边形.题型三利用向量求线段长度【例3】已知，，，，点D在边上且，则长度为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】中，点D在边上且，则又，，，则，即长度为故选：D【变式3-1】中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（）A．B．3C．D．【答案】C【解析】如图，过作交于，作交于，则，又，所以，，所以，即，又是的平分线，所以，而，所以，，，所以，故选：C．【变式3-2】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设设，，，，则，，所以，所以.所以，.因为E，D，F共线，所以，所以化简得.因为，所以.所以.【变式3-3】在平面上，，.若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图.设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，.由得，则又由，得，则，即①.又，得，则；同理由，得，即有②.由①②知，所以.而，所以.故选：D题型四利用向量求几何夹角【例4】已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系如图所示，则点，，，∴，，则，故选：D.【变式4-1】在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】建立如图直角坐标系，则,得,所以，故选：D.【变式4-2】已知H为的垂心，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，，同理．由H为△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．故选：C．【变式4-3】直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，设与的夹角为，，所以，因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以，，又因为，所以，因为，所以，所以当时最大，此时，最大的值为.故选：A.题型五利用向量判断多边形形状【例5】已知非零向量，满足，且，则为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】D【解析】，，，，为等腰三角形，又，，，又，所以，为等边三角形，故选：D.【变式5-1】满足的△ABC（）A．一定为锐角三角形B．一定为直角三角形C．一定为钝角三角形D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【答案】C【解析】由，而，所以且，故.所以△ABC一定为钝角三角形.故选：C【变式5-2】在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】若，取AB的中点D，连接CD，则，即AB与CD垂直且D为AB的中点，所以可得CB=CA，即三角形为等腰三角形.故选：C【变式5-3】在四边形中，若，则四边形为（）A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形【答案】D【解析】由，可得，即，则四边形为平行四边形；又由，可得，则平行四边形四边形为菱形故选：D6.4.1平面几何中的向量方法【题型1利用向量证明线段垂直】1、如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.【解析】设=，=，=，=，=，则=+，=+，所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2，由条件知：2=2﹣2+2，所以·=·，即·(-)=0，即，所以AD⊥BC.2、如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.【解析】因为是的中点，所以.又因为，所以，所以，即.3、已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且四边形PFCE为矩形．求证：且【解析】证明：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线轴，建立平面直角坐标系，如下图所示：设正方形边长为，则，，，，，，即又，即4、在中，，对任意，有.（1）求角；（2）若，，且、相交于点.求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）等价于，等价于，等价于.所以，因为，所以，又因为，所以；（2）先证明结论：已知为直线外一点，、、为直线上三个不同的点，若，则.因为、、为直线上三个不同的点，则，可设，即，所以，，所以，，结论成立.本题中，由（1）知，是边长为的等边三角形，.因为在上，设，又因为在上，所以，所以，，解得.因为，，所以.故，得证.【题型2利用向量证明线段平行】1、设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点（1）试用向量证明：PQAB；（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）∵Q为BD中点，∴，又P为AC中点，∴；∴2()，又向量与共线，设向量，则2(1+λ)，∴①，又梯形ABCD中||≠||，∴λ≠﹣1，∴，即PQAB；（2）∵向量与反向，且||=3||；所以，即λ代入①式，得，∴PQ：AB.2、若分别是平面四边形的边的中点.（1）求的值；（2）证明：四边形为平行四边形.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为是边的中点，所以，，又因为，，所以，所以（2）连接，因为分别是平面四边形的边的中点，所以在和中，由中位线定理得：，，所以，因为不共线，所以，所以四边形为平行四边形3、已知为两个不共线的向量，若四边形满足，，.（1）将用表示；（2）证明：四边形为梯形．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）；（2）由（1）知：，又，，且，即在四边形中，且，四边形为梯形.【题型3利用向量求线段的长度】1、在中，，点满足，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取中点O，连接，，即，M为BC边上靠近C的三等分点，，，，，又，，.故选：C.2、如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】因为，，，所以.因为，所以故选：B3、设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是_____.【答案】3【解析】设，则因为为边中点，所以，即.于是.当，即点是中线的中点时，取得最小值即因此4、已知四边形是矩形，，，，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解法一如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，，，.∴，，，.∴，.∴，.∵，∴，即.又，所以，.∴.∴.∵，∴.故选：C.解法二：∵，，.∵，∴，得.∴，.∴.故选：C.【题型4利用向量求几何夹角】1、如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为___________.【答案】【解析】由已知，，，，得，又由得，因为，所以所以2、如图，在中，已知，，，且.求.【答案】【解析】由题意得，的夹角为，，则，又，所以，故，同理∴，，，.3、中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，因为，，所以，，，设，因为、、三点共线，所以，，，因为，、、三点共线，所以，联立，解得，，，因为，，所以，，因为，所以，故选：A.4、如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.（1）求线段，的长；（2）求的余弦值.【答案】（1），；（2）【解析】（1）由题意，，，又，∴，，即，=，，即；（2），==，

与的夹角即为，.【题型5利用向量判断多边形形状】1、已知非零向量和满足，且，则为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形【答案】A【解析】即方向上的单位向量，即方向上的单位向量，∴向量与的平分线共线，又由可知的平分线与对边垂直，则△ABC是等腰三角形，即，，∴，∵，∴，∴△ABC为等边三角形．故选：A．2、在中，若，则的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法判断【答案】B【解析】因为，所以，即，所以，因为，所以，即为钝角，故三角形为钝角三角形；故选：B3、在平行四边形ABCD中，M、N分别在B