（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练6.4.2 向量在物理中的应用举例（解析版）

6.4.2向量在物理中的应用举例重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题；难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题一、向量在物理中的应用主要解题思路分四步（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。二、力学问题的向量处理方法1、解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；2、向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。三、速度、位移问题的向量处理方法速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成1、向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论；2、用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。四、功、动量问题的向量处理方法物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。题型一力的合成【例1】若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（）．A．7B．C．D．1【答案】D【解析】根据三力平衡得，即，两边同平方得，即即,解得故选：D.【变式1-1】加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（）A．B．61C．75D．60【答案】D【解析】如图，，，作平行四边形，则是菱形，，，所以，因此该学生体重为（kg）.故选：D．【变式1-2】已知质点O受到三个力，，的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都是，求合力的大小和方向.【答案】,合力方向与方向的夹角为，同时与方向的夹角为.【解析】以为原点，为轴正方向建立直角坐标系，如图由题意得,，,，,，所以，所以三个力的合力坐标为，所以三个力的合力大小为：，设合力方向与轴正方向夹角为，所以，因为合力坐标在第二象限，所以，即合力方向与方向的夹角为，同时与方向的夹角为.【变式1-3】（多选）一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为4N，水平拉力的大小为3N，另一力未知，则（）A．当该物体处于平衡状态时，B．当与方向相反，且时，物体所受合力大小为C．当物体所受合力为时，D．当时，【答案】ACD【解析】A选项：由题知，的大小等于重力与水平拉力的合力大小，由图知，故A正确；B选项：如图，物体所受合力应等于向量与的和向量的大小，显然B错误；C选项；当物体所受合力为时，说明与的合力为，所以，C正确；D选项：由上知，重力与水平拉力的合力为，N，易知当与同向时合力最大，最大值为7N，反向时合力最小，最小值为3N，即，故D正确.故选：ACD题型二速度与位移的合成【例2】人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题得v1和v2都是向量，根据向量的加法运算得逆风行驶的速度为.故选：C.【变式2-1】在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过小时，该船的实际航程是多少?【答案】【解析】如图：设水流的速度为，船航行的速度为，则这个速度的和速度为，则由题意可得，．直角三角形中，由，，可得，所以船的合速度的大小为，故船行驶的方向与水流的方向成（即．所以经过小时，该船的实际航程是千米．【变式2-2】长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，则，因为，，即，所以.故A，C，D错误.故选：B.【变式2-3】一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：，，在中，有，所以，，，所以，所以，所以小货船航行速度的大小为，故选：C.题型三功与动量的计算【例3】一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（）A．6B．-6C．3D．-3【答案】D【解析】，，又，.故选：D.【变式3-1】已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：（1），分别对质点所做的功；（2），的合力对质点所做的功．【答案】（1）120；-9；（2）111【解析】（1）依题意有，，，则做的功为，做的功为．（2）由，所以做的功为．【变式3-2】已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为（）（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】由题可知，以木块运动的方向为正方向，则力在水平方向的分量为：，在竖直方向的分量为：，则摩擦力为：，则力做功为,摩擦力做功.故选：A.【变式3-3】如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40m的位移，，且与小车的位移方向的夹角为60°，则在小车位移方向上的射影的数量为______N．力做的功为______．【答案】251000【解析】如图，，且与小车的位移方向的夹角为，在小车位移方向上的射影的数量为：（．力作用于小车，使小车发生了40米的位移，力做的功（）．6.4.2向量在物理中的应用举例【题型1力的合成】1、如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】如图所示：设两根绳子的拉力分别为，.作，使，.在中，，所以，所以，，所以，故两根绳子拉力的大小分别为，.故选：C.2、已知力，且和三个力的合力为，则__________．【答案】【解析】设，则，即，解得，所以.故答案为：.3、已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，所以的大小为，故选：B4、如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______.【答案】1【解析】，，三个力处于平衡状态，即则故答案为：15、（多选）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（）A．船受到的拉力不断增大B．船受到的拉力不断变小C．船受到的浮力不断变小D．船受到的浮力保持不变【答案】AC【解析】设水的阻力为，船受到的拉力为，与水平方向的夹角为，则，故，因为不断增大，所以不断减小，故不断增大.因为不断增大，所以船受到的浮力不断减小；故选：AC.【题型2速度与位移的合成】1、一艘船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，则船的实际航行的速度可能为（）A．1km/hB．5km/hC．8km/hD．10km/h【答案】BC【解析】设该船实际航行的速度为，因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，所以，因为船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，所以，则，所以船实际航行的速度的取值范围是[2，8]．故选：BC．2、河水的流速为2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（）A．10B．C．D．12【答案】B【解析】设河水的流速为，小船在静水中的速度为，船的实际速度为，则，，所以，所以（），即小船在静水中的速度大小为.故选：B.3、长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，则游船正好到达处时，等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设船的实际速度为，因为点在A的正北方向，所以，所以.故选：D.4、飞机从甲地按南偏东的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按北偏西70°的方向飞行2000km到达丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地离甲地多远？【答案】丙在甲的南偏西方向，距离为2000km【解析】由题意分析，可得如下示意图，由题意可得，甲乙丙三地构成等边三角形的三个顶点，∴丙在甲的南偏西方向，距离为2000km5、如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．（1）当多大时，船能垂直到达对岸？（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？【答案】（1）；（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短，理由见解析.【解析】（1）船垂直到达对岸，即且与垂直，即，所以，即，所以，解得；（2）设船航行到对岸所需的时间为，则，所以当时，船的航行时间最短为，而当船垂直到达对岸时，由（1）知，所需时间，，故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短．【题型3功与动量的计算】1、一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，所以对物体做的功．故选：D2、两个力作用于同一个质点，使该点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】两个力作用于同一个质点，其合力大小为，从点移到点，其位移,则这两个力的合力对质点所做的功为.故选：C.3、如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（）A．1000JB．C．2000JD．500J【答案】A【解析】因为且与小车的位移方向的夹角为，又力作用于小车，使小车发生了40米的位移，则力做的功为．故选：A．4、一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60米，若牵绳与行进方向夹角为，人的拉力为200N，则纤