（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练6.4.3 课时2 正弦定理（原卷版）

6.4.3课时2正弦定理重点：1、用向量的方法推导正弦定理；2、用正弦定理解三角形。难点：正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用一、正弦定理1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA【注意】正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2、正弦定理推论：在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为R=1\*GB3①asinA=bsinB=2\*GB3②sinA:sinB:sinC=a:b:c，=3\*GB3③asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA，=4\*GB3④a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=5\*GB3⑤a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（实现边和角的互相转化）3、正弦定理的推导示例：当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义，CD＝asinB，CD＝bsinA，所以asinB＝bsinA，得到eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).同理，在△ABC中eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).从以上的讨论和探究可得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).二、三角形面积公式在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC，CA，AB边上的高分别记作ha，hb，hc，r为内切圆半径，R（1）S=1（2）S=证明：当∆ABC为锐角三角形时，作AD⊥BC于点D，设∆ABC的面积为S，则S=1当∆ABC为钝角三角形时，作BC边长的高AD，则AD=ABsin180°−∴S=1当∆ABC为直角三角形时，上述结论依然成立。（3）S=证明：S（4）S=证明：S=四、正弦定理解决的两类问题1、类型1：已知两角及一边解三角形方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论2、类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：当A为锐角时：当A为钝角时五、利用正弦定理判断三角形的形状法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC题型一正弦定理解三角形【例1】已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则a等于（）A．B．C．D．1【变式1-1】在中，如果，那么的长为（）A．72B．C．D．30【变式1-2】记的内角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．【变式1-3】已知中，，则B等于（）A．或B．或C．D．题型二正弦定理判断三角形解的个数【例2】在中，已知，则满足条件的三角形（）A．有2个B．有1个C．不存在D．无法确定【变式2-1】在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形的解的情况是（）A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定【变式2-2】在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（）A．，，，有两解B．，，，有一解C．，，，有一解D．，，，无解【变式2-3】在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，题型三三角形的面积公式及应用【例3】已知在中，，，，且，则的面积为（）A．B．3C．D．【变式3-1】在中，分别是角所对的边，，则的面积为（）A．B．C．D．【变式3-2】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，c＝2，△ABC的面积记为S，且，则S的值为（）A．B．1C．2D．4【变式3-3】已知的内角的对边分别为.若的面积为，则角（）A．B．C．D．题型四正弦定理求三角形外接圆半径【例4】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则外接圆半径等于（）A．2B．C．D．1【变式4-1】在中，，，则外接圆的半径为（）A．1B．C．2D．3【变式4-2】在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2C．D．-2【变式4-3】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若为钝角三角形，，则外接圆的半径R的取值范围是__________．题型五正弦定理边角互化的应用正弦定理【例5】在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的值为（）A．B．C．D．【变式5-1】在中，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式5-2】已知分别为三个内角的对边，且，则（）A．3B．C．6D．【变式5-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：（1）；（2）．题型六判断三角形的形状【例6】已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形【变式6-1】在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【变式6-2】在中，若，则是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【变式6-3】在中，若，则这个三角形是（）A．底角不等于的等腰三角形B．锐角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6.4.3课时2正弦定理【题型1正弦定理解三角形】1、在中，，，，则等于（）A．B．C．D．2、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）．A．B．C．D．3、（多选）设的内角A，，的对边分别为，，若，，则角A可能为（）A．B．C．D．4、中，，，，则（）A．B．2C．D．15、在中，角的对边分别是，若，则等于（）A．B．C．D．【题型2正弦定理判断三角形解的个数】1、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则此三角形（）A．无解B．一解C．两解D．解的个数不确定2、在中，若，，，则此三角形解的情况为（）A．无解B．两解C．一解D．解的个数不能确定3、在△ABC中，，，，则满足条件的△ABC（）A．无解B．有一解C．有两解D．不能确定4、在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（）A．B．C．D．5、在中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且b＝2，B＝45°．若利用正弦定理解仅有唯一解，则（）A．0＜a≤2B．2＜a≤2C．0＜a≤2或a≥2D．0＜a≤2或a＝2【题型3三角形面积公式及应用】1、在中，，，，则的面积等于（）A．B．C．D．2、在中，的面积等于，则等于（）A．B．1C．D．23、已知点，，，则的面积为______．4、在锐角中，若a＝3，b＝4，三角形的面积为，则c＝______．5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（）A．B．C．D．1【题型4正弦定理求三角形外接圆半径】1、若的面积，则外接圆的半径为（）A．B．C．D．2、已知在中，，则外接圆的半径是_________.3、在中，内角所对的边分别为，，，，则的外接圆直径等于（）A．B．C．D．4、已知中，角，，所对的边分别为，，．已知，，的面积，则的外接圆的直径为（）A．B．5C．D．5、的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的外接圆半径为___________.【题型5正弦定理边角互化的应用】1、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（）A．B．C．D．或2、在中，内角的对边分别为，若，则角的大小为___________.3、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（）A．2B．4C．6D．84、（多选）在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（）A．B．C．D．5、已知中，.（1）求的大小；（2）若，求.【题型6正弦定理判断三角形的形状】1、在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（）A．等边三角形B．钝角三角形C．有一个角是的直角三角形D．等腰直角三角形2、若，且，那么是（