（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练7.3 复数的三角表示（原卷版）

7.3*复数的三角表示重点：1、用三角形式进行复数乘、除运算；2、除运算的几何意义的运用。难点：复数三角形式的乘、除运算的几何意义的理解一、复数的辅角1、辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作arg【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。二、复数的三角形式定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。二、复数的代数式与三角式互化1、将复数z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中当a=0，b>0时，argz=2、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。三、复数乘法运算的三角表示及其几何意义1、复数乘法运算的三角表示：已知z1=r则z这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。2、复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，分别画出与z1，z2对应的向量然后把向量OZ1绕O点按逆时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角θ2），再把它的模变成原来的3、复数乘法运算三角表示推广：z1=r特别的，当z1=四、复数除法运算的三角表示及其几何意义1、复数除法运算的三角表示：已知z1=则z这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.2、两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕O点按顺时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把O题型一复数的代数式与三角式互化【例1】复数的三角形式是（）A．B．C．D．【变式1-1】复数10表示成代数形式为________．【变式1-2】以下不满足复数的三角形式的是（）．A．；B．；C．；D．．【变式1-3】下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．（1）；（2）；（3）z3＝－2(cosθ＋isinθ)．题型二求复数的辅角主值【例2】的辐角主值为（）．A．B．C．D．【变式2-1】复数的辐角主值是（）A．B．C．D．【变式2-2】设，，则（）A．B．C．D．【变式2-3】设，则复数的辐角主值为（）A．B．C．D．题型三三角形式下复数的乘、除运算【例3】复数的三角形式是（）A．B．C．D．【变式3-1】计算的值是（）A．B．C．D．【变式3-2】计算：（）．A．B．C．D．．【变式3-3】计算________．题型四复数乘、除运算的几何意义【例4】把复数3－i对应向量按顺时针方向旋转π，所得向量对应复数为（）A．2B．－2iC．－3－iD．3－i【变式4-1】如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．【变式4-2】对应复数－1＋i，将按逆时针方向旋转120°后得到，求对应复数z．【变式4-3】把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（）A．，B．C．D．7.3*复数的三角表示【题型1复数的代数式与三角式互化】1、复数的三角形式为（）A．B．C．D．2、下列各式中已表示成三角形式的复数是（）.A．B．C．D．3、若，则的三角形式为（）A．B．C．D．4、改写成三角形式为______．5、将复数z＝化为代数形式为________．【题型2求复数的辅角主值】1、复数的三角形式的辐角主值为___________.2、复数的辐角主值是（）A．B．C．D．3、已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是______．4、已知复数则（）A．B．C．D．5、已知实数，写出下列复数的辐角主值．（1）a；（2）；（3）；（4）．【题型3三角形式下复数的乘、除运算】1、设，则______．2、若，则（）A．1B．C．D．3、计算，并用复数的代数形式表示计算结果：______．4、计算：（1）；（2）．5、若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____．【题型4复数乘、除运算的几何意义】1、将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（）A．＋iB．－＋IC．－－iD．－i2、在复平面内，把与复数a+bi(a，b∈R)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为（）A．a-biB．-a+biC．b-aiD．-b+ai3、在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，