（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练8.5.3 平面与平面平行（解析版）

8.5.3平面与平面平行重点：对空间中平面与平面的判定定理和性质定理的理解；难点：判定定理和性质定理的应用.一、平面与平面平行的判定定理1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α.3、图形：4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．二、平面与平面平行的性质定理1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.3、图形：4、平面与平面平行其他常用性质推论（1）平行于同一个平面的两个平面平行.（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.（3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.三、利用判定定理证明两平面平行的步骤1、在一个平面内找出两条相交直线；2、证明着两条相交直线分别平行于另一个平面；3、利用平面与平面平行的判定定理得出结论。题型一判定定理与性质定理辨析【例1】下列条件中能推出平面平面的是（）A．存在一条直线，，B．存在一条直线，，C．存在两条平行直线，，，，，D．存在两条异面直线，，，，，【答案】D【解析】A.如图所示：存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；B.如图所示：存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；C.如图所示：，存在两条平行直线，，，，，，但平面与平面相交，故错误；D.如图所示：，在平面内过b上一点作，则，又，且，所以，故正确；故选：D【变式1-1】在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直线l，那么④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误；由平面平行的传递性可知②正确；由线面垂直的性质可知③正确；过直线l做平面与分别交于，过直线m做平面与分别交于，因为，，所以，所以，因为，，所以同理，，又l、m是两条异面直线，所以相交，且，所以，故④正确.故选：D【变式1-2】设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A．内有无数条直线与平行B．，平行于同一个平面C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一个平面【答案】B【解析】A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误；B选项，平行于同一个平面，则，B选项正确；C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误；D选项，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，D选项错误.故选：B.【变式1-3】下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A选项，若平面平面，平面，则平面，由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件；对于B选项，如下图所示，连接，因为、分别为、的中点，则，在正方体中，且，故四边形为平行四边形，所以，，，平面，平面，平面，同理可证平面，，因此，平面平面，B满足条件；对于C选项，如下图所示：在正方体中，若平面平面，且平面平面，则平面平面，但这与平面与平面相交矛盾，因此，平面与平面不平行，C不满足条件；对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示：因为且，则四边形为平行四边形，则，平面，平面，所以，平面，同理可证平面，，所以，平面平面，若平面平面，则平面平面，这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件.故选：B.题型二面面平行的证明【例2】在正方体中．为底面中心，为中点，为中点．证明：平面平面PAO．【答案】证明见解析【解析】由题意可得：分别为的中点，则，平面，平面，∴平面，连接，由题意可得：分别为的中点，则，且，∵，且，则，且，故为平行四边形，则，平面，平面，∴平面，，平面，故平面平面PAO.【变式2-1】如图，正方体中，、、、分别是相应棱的中点，证明：平面平面．【解析】证明：连接，由题得，又所以四边形是平行四边形，所以，所以，平面，平面，平面，在正方形中，，分别是棱，的中点，且，又且，且，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，平面，平面，且，平面平面．【变式2-2】如图，分别为线段中点，且三点不共线.求证：平面MNP//平面α【答案】证明见解析.【解析】∵分别为中点,∴，又∵，，设平面平面，，∵分别为中点，∴，∴，，，∵平面，，，，∴平面MNP//平面.【变式2-3】如图，在四棱锥中，，，，，，分别为线段，，的中点，证明：平面平面.【解析】证明：连接，交于，连接，因为为的中点，，，所以，∥，所以四边形为平行四边形，所以，因为为的中点，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为，分别为线段，的中点，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为，平面所以平面平面.题型三由面面平行证明线线平行【例3】如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；【解析】如图，延长交的延长线于，连接交于，则所在的直线即为平面与平面的交线.证明：∵平面平面，平面平面，平面平面，∴.又∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴.【变式3-1】如图，在三棱锥中，，，分别是，，的中点．是上一点，连接，是与的交点，连接，求证：．【解析】因，分别是，的中点，则，又平面，平面，于是得平面，同理平面，且，平面，则有平面平面，又平面平面，平面平面，所以．【变式3-2】如图，平面平面平面，异面直线分别与平面相交于点和点．已知，，，求、、的长．【答案】，，【解析】连接交平面于点，连接，，因为平面平面，平面平面于，平面平面于，所以，所以，，又因为，所以，所以，因为，，所以，，所以，因为平面平面，平面平面于，平面平面于，所以，所以，，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，，.【变式3-3】如图所示，已知三棱柱中，是的中点，是的中点，设平面平面，平面平面，求证：.【解析】证明：连接．在四边形中，，，所以四边形为平行四边形，所以①，且②；由①、②得：四边形为平行四边形，所以；∵平面平面，平面，平面平面，∴同理可证又∴题型四由面面平行证明线面平行【例4】平行四边形和平行四边形不在同一平面内，、分别为对角线，上的点，且．求证：平面．【解析】在上取点，使得，则，∵平面，平面，∴平面，连接，∵，即，则，∴，又∵，则，且平面，平面，∴平面，，平面，故平面平面，由平面，可得平面.【变式4-1】如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面【解析】取的中点，连接，，则，，又平面，平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面【变式4-2】如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，，证明：平面【解析】如图所示，过点作，交于点，连接，因为，，可得，所以，，而平面，平面，所以平面，同理得平面，又因为，所以平面平面，又由平面，所以平面.【变式4-3】如图①，在直角梯形中，，，，为的中点，、、分别为、、的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证：在四棱锥中，平面.【解析】证明：在四棱锥中，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，在图①中，，且，为的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，所以，，因为、分别为、的中点，所以，，则，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，因此，平面.题型五面面平行中的动点问题【例5】如图，在正方体中，为的中点．（1）求证：平面；（2）上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．【解析】（1）证明：如图，连接交于，连接.因为为正方体，底面为正方形，对角线，交于点，所以为的中点，又因为为的中点，所以在中，是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）当上的点为中点时，即满足平面平面，理由如下：连接，，因为为的中点，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.由（１）知平面，又因为，，平面，所以平面平面.【变式5-1】如图，四棱锥中，，，为的中点．（1）求证：平面.（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，证明见解析【解析】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，．因为为的中点，所以，．又，，所以，．因此四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，因此平面．（2）如图所示，取的中点，连接，，所以又，所以．又，所以四边形为平行四边形，因此．又平面，所以平面．由（1）可知平面．因为，故平面平面．【变式5-2】如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．（1）求证：平面．（2）在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析【解析】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B又因为平面，平面，所以平面．（2）取的中点，连接，因为为的中点所以．因为平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面故在线段上存在一点，使平面平面．【变式5-3】如图，在正方体中，点E，F，M分别是棱的中点.（1）求证：E、M、B、D四点共面；（2）是否存在过点E，M且与平面平行的平面?若存在，请作出这个平面并证明，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，图形见解析，证明见解析【解析】（1）证明：连接、，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以，又是的中点，是的中点，所以，所以，所以、、、四点共面；（2）取靠近的四等分点，连接、，则平面平面，平面即为所求，图形如下所示，证明：取的中点，连接、，连接交于点，连接，依题意可得且，所以为平行四边形，所以又为的中点，为的中点，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，显然为靠近点的四等分点，又，所以，因为平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面8.5.3平面与平面平行【题型1判定定理与性质定理的辨析】1、已知m，n，，表示直线，，表示平面．若，，，，，则的一个充分条件是（）A．且B．且C．且D．且【答案】D【解析】对A，若且，则可能相交，故A错误；对B，若且，要得出，必须满足相交，故B错误；对C，若且，要得出，必须满足相交，故C错误；对D，由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，由选项D可以推知，故D正确．故选：D．2、下列命题中正确的是（）A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行【答案】B【解析】一个平面内三条直线都平行于另一平面，当这三条直线平行时，那么这两个平面不一定平行，A错；如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，这两个平面无公共点，由面面平行的定义知这两个平面平行，B正确；平行于同一直线的两个平面可能相交，也可能平行，C错；如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，当这几条直线相互平行时，这两个平面不一定平行，D错．故选：B．3、已知是不同的直线，是不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若是异面直线，，，，，则B．若，，，，则C．若，，，则D．若，，则【答案】A【解析】选项A，过作平面与平面交于直线，如图，因为是异面直线，所以相交，又，所以，由，得，又，是内两相交直线，所以，A正确；选项B中，若，则与可能相交，B错；选项C中，中只有一条直线与平行，这两个平面可能平行也可能相交；C错；选项D中，，，则或，D错．故选：A．4、（多选）下列命题正确的是（）A．垂直于同一个平面的两平面平行B．两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等C．一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行D．一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行【答案】BC【解析】对A，垂直于同一个平面的两平面可能平行，也可能相交，A错；对B，两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等（性质推论），B对；对C，一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行（判定定理），C对；对D，一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行或在另一平面内，D错.故选：BC.5、，是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】C【解析】A项：若，，则或，故选项A不正确；B项：若，，则或m与n异面，故选项B不正确；C项：若，则与没有公共点，又因为，所以m与没有公共点，所以，故选项C正确；D项：若，，，则或与相交，故选项D不正确.故选：C.【题型2面面平行的证明】1、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1平面BCHG.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点∴GH是的中位线，∴GHB1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四点共面．（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EFBC，∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF平面BCHG，∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，∴A1GEB，，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB，∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E平面BCHG，∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1平面BCHG.2、如图，在棱长为的正方体中，点在上，点在上，点在上，且，是的中点．求证：平面平面．【解析】因为是的中点，所以．因为，所以，又因为，且，所以，从而，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，平面，，平面，所以平面平面．3、如图所示，在三棱柱中，、分别为，的中点，求证：平面平面.【解析】证明：在三棱柱中，四边形、为平行四边形，又、分别为，的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，连接、，，再连接，由四边形为平行四边形，所以为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.4、在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB．已知G，H，I分别是EC，FB和FC的中点，求证：平面GHI平面ABC．【解析】∵G，H，I分别是EC，FB和FC的中点，∴HIBC，GIEF，∵EFDB，∴GIDB，

HIBC，平面ABC，平面ABC，∴平面ABC.∵GIDB，平面ABC，平面ABC，∴平面ABC.又平面GHI，HI∩GI＝I，∴平面GHI平面ABC．5、已知，点P是△ABC所在平面外一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心．求证：平面A′B′C′∥平面ABC.【解析】如图，连接PA′，并延长交BC于点M，连接PB′，并延长交AC于点N，连接PC′，并延长交AB于点Q，连接MN，NQ.∵A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，∴M，N，Q分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，且＝＝2，∴A′B′MN.同理可得B′C′NQ.∵A′B′MN，MN⊂平面ABC，A′B′⊄平面ABC，∴A′B′平面ABC.同理可证B′C′平面ABC.又∵A′B′∩B′C′＝B′，A′B′⊂平面A′B′C′，B′C′⊂平面A′B′C′，∴平面A′B′C′平面ABC.【题型3由面面平行证明线线平行】1、如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，点F为棱CC1的中点，过直线AF作一平面，与棱BB1，DD1分别交于E，G两点．求证：四边形AEFG为平行四边形；【解析】证明：∵平面平面，平面平面且平面平面由面面平行的性质定理可知：，同理可证：，故四边形AEFG为平行四边形.2、如图，正三棱柱中，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上．证明：；【解析】证明：因为正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因为正三棱柱中，侧面为平行四边形，故有，所以.3、如图，矩形平面，平面与棱交于点G．求证：；【解析】证明：矩形，，又平面，平面，平面，，又平面，平面，平面，又，所以平面平面，平面与棱交于点G，且平面，平面平面，平面平面，平面平面，故，得证;4、如图，四棱锥，，，，平面平面，平面平面.若点为线段中点，求证：；【解析】证明：取中点，连接，也，，，可得且，所以，，所以，因为为中点，所以为正三角形，即，所以，又因为平面，平面，所以平面，在中，因为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又由，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，又由平面平面，且平面，所以.5、如图，平面，平面，，，，.求证：.【解析】，平面，平面，平面，平面，，平面，平面平面，又平面平面，平面平面，.【题型4由面面平行证明线面平行】1、如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，证明：直线平面【解析】证明：取的中点，连接、、，在正方体中，且，、分别为、的中点，则且，故四边形为平行四边形，则且，又因为且，则且，故四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，因为且，故四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，则，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，平面.2、如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，分别是线段，的中点，求证：平面【解析】取中点，连，，如图，因是的中点，则，又平面，平面，因此平面，在梯形中，，是线段的中点，则，又平面，平面，因此平面，而平面，，则平面平面，又平面，所以平面．3、如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，平面且E，F分别为，的中点．证明：面ABCD；【答案】证明见解析【解析】证明：取的中点G，连接EG，FG，AC，因为，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.因为，，所以四边形AGFC是平行四边形，，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.因为，平面，所以平面平面ABCD.因为平面ABCD，所以平面ABCD．4、在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.已知G，H分别为EC，FB的中点.求证：GH∥平面ABC.【解析】证明：取中点，连结、，、为、的中点，且，且，由线面平行的判定定理得平面，又，，由线面平行的判定定理得平面，，，平面，平面平面平面，面，平面．5、如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且分别为的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接证明：平面；【解析】如图，在四棱锥中，取的中点，连接．因为分别为的中点，，所以又平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又平面，所以平面平面，因为平面，所以平面．【题型5面面平行中的动点问题】1、如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面．（1）求证：；（2）直线上是否存在点，使得平面平面，并加以证明.【答案】（1）证明见解析；（2）当为中点时，平面平面，证明见解析.【解析】（1）因为四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面平面，平面，所以．（2）当为中点时，平面平面．证明如下：取的中点，连接，，，因为分别为的中点，所以，，又平面，平面，所以平面，同理可证平面．又因为