（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练8.6.2 直线与平面垂直（解析版）

8.6.2直线与平面垂直重点：了解直线与平面垂直的定理和直线与平面所成角；理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直；难点：能解决简单的线面角问题。一、直线与平面垂直的定义1、文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直2、符号语言：l⊥α3、有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足4、图形语言：5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.6、空间距离①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.二、直线与平面垂直的判定定理1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α3、图形语言：4、作用：证明线面垂直三、直线和平面所成的角1、有关概念：（1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO2、直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角3、取值范围：[0°，90°]四、直线与平面垂直的性质定理1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.2、符号语言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b3、图形语言：4、作用：①线面垂直⇒线线平行②作平行线5、推论：（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.五、三心问题结论设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影（1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点．（2）若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．（3）若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．题型一线面垂直的判定定理【例1】已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】如图，正方体中.，平面，显然与平面不垂直，故“”不是“”的充分条件；若，根据线面垂直的性质定理，可知成立，所以“”是“”的必要条件.所以，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【变式1-1】如果直线l，m与平面，，满足：，，和，那么必有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，且，，A正确，D错误.直线和平面没有确定关系.故选：A．【变式1-2】（多选）下列命题中，不正确的是（）A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α【答案】ABD【解析】当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.故选：ABD【变式1-3】设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则（）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】B【解析】A选项，与相交、平行或，如图1，当时，与相交，故A错误；B选项，因为，，所以，因为，则由线面垂直的判定定理得，故B正确；C选项，因为，，所以，因为，所以，故C错误；D选项，若，，，则与相交、平行或异面，如图2，满足，，，而与异面，故D错误．故选：B．题型二线面垂直的证明【例2】如图所示，在正方体-中，为的中点，与交于点，求证：⊥平面.【解析】∵四边形为正方形，∴，∵平面，，∴，又∵，且，∴平面，而，∴，令正方体的棱长为2，连接，，如下图所示则有，∴，∴，又且，∴⊥平面.【变式2-1】如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EAFC，且EA=CF=AB=4，△EBD､△FBD都是正三角形，证明：平面.【解析】依题意，都是等边三角形，四边形为正方形，，所以，所以.∴，∴，∵BC∩CD=C，BC､CD⊂平面ABCD，∴平面.【变式2-2】如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面．【解析】证明：由已知可知，是圆柱的母线，所以平面，平面，∴．∵点是上异于、的点，是的直径，所以．又，平面∴平面．得知.【变式2-3】如图，已知四棱柱中，各棱长都为，底面是正方形，顶点在平面上的射影是正方形的中心，求证：平面．【解析】证明：在正方形中，，则为、的中点，且，平面，平面，，则，，，，在四棱柱中，，，平面，平面，，，，、平面，平面，平面，，，、平面，因此，平面.题型三求直线与平面所成角【例3】在正方体中，若点是面的中心，则与平面所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取中点，连接为侧面的中心，平面，与平面所成角即为，设正方体棱长为，则，，，，即与平面所成角的余弦值为.故选：C.【变式3-1】如图，在平面上，OA是的斜线，若，，，求OA与平面所成的角．【答案】45°【解析】∵，，∴，为正三角形，∴．又，∴为等腰直角三角形．∵，，∴为等腰直角三角形．如图所示，取BC的中点H，连接AH，OH，则，，易得，即有，∴，，∴平面，为OA与平面所成的角．在中，，∴，故．∴OA与平面所成的角为45°．【变式3-2】正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，在正四棱锥中，为的中心，则底面，为边上的中线，，所以即为侧棱与底面所成角的平面角，设正四面体的棱长为，则，在中，，即正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是.故选：C.【变式3-3】在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为_______.【答案】【解析】因为平面ABCD，平面ABCD，故可得，又，，平面，故可得平面PAD.连接ED.故即为所求直线CE与平面PAD所成角.不妨设，故在直角三角形CDE中，，，故可得.则.则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为.题型四线面垂直证明线线平行【例4】在正方体中，直线l（与直线不重合）平面，则有（）A．B．C．与l异面D．与l相交【答案】B【解析】因为平面，且平面，直线l与直线不重合，所以．故选：B.【变式4-1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.【解析】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.【变式4-2】如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：【解析】证明：在中，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，在中，，且，在中，，所以，因为，，平面，所以平面，在中，，在中，，则，因为，平面，所以平面，所以.【变式4-3】三棱锥的侧棱上分别有E，F，G，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设的面积为，设的面积为，则，，又，，∴

，过点作平面，过点作平面，则，∴与相似，又，∴，∵，，∴，∴三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是.故选：A.题型五线面垂直证明线线垂直【例5】如图，直三棱柱，.证明：【解析】因为直三棱柱，所以平面，并且平面所以，又因为，且，平面，所以平面，又因为平面，所以.【变式5-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点.证明:PC⊥BE.【解析】如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA=AB=CD，AE=DE，所以PE=CE，即△PEC是等腰三角形.又F是PC的中点，所以EF⊥PC.又BP==2=BC，F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF=F，所以PC⊥平面BEF.因为BE⊂平面BEF，所以PC⊥BE.【变式5-2】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.【解析】因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD平面ABC，所以AD⊥BB1.②BC，BB1为平面BB1C1C内两条相交直线，由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以，AD⊥C1E.【变式5-3】如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，，，．设分别为的中点．证明：.【解析】四边形和四边形都是直角梯形，，，，，，平面，平面，又平面，，，，，，，，是等边三角形，又为中点，，又，平面，平面，平面，.题型六求空间中的三种距离【例6】如图，棱长为2的正方体中，点是的中点，是侧面的中心，则到平面的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】连接，因为是侧面的中心，所以，因为，由正方体的性质知，所以，是平行四边形，所以，因为平面，平面所以平面，所以，到平面的距离与到平面的距离相等，设到平面的距离为，中，，，因为，所以，，解得所以，到平面的距离为故选：A【变式6-1】若四棱柱的所有棱长均为2，且，则到平面的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，设与交于点，连接，，，，，又为的中点，，四边形为菱形，，又，平面，在平面中，过作，垂足为，则，又，平面，即到平面的距离为，由已知：，为等边三角形，，.和均为等边三角形，，，在中，由余弦定理，，，，在中，.故选：C.【变式6-2】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，则直线AA1到平面BB1D1D的距离为______.【答案】【解析】如图，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴BD⊥AC，又∵B1B⊥面ABCD，∴B1B⊥AO，又，面BB1D1D，面BB1D1D，∴AO⊥面BB1D1D，∵AA1∥平面BB1∴点A到面BB1D1D距离＝AA1和面BB1D1D的距离即为AO，则AO＝BA×cos45°＝.【变式6-3】如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面，又，平面平面，平面，平面，又平面，，，在和中，，，即，又，平面平面．（2）由题意知，在中，，又，，平面，平面，平面，、分别为、的中点，，又，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面平面．平面，平面平面，平面，为平行平面与之间的距离，，即平面与之间的距离为．题型七线面垂直中的动点探究【例7】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.【答案】点F是CD的中点【解析】如图，连接A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，又A1D1∩A1B＝A1，平面A1BCD1.∴AB1⊥平面A1BCD1.又D1E⊂平面A1BCD1，∴AB1⊥D1E.于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.∵ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.【变式7-1】如图，在直三棱柱中，，，，为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点.（1）证明：平面；（2）在棱上是否存在点D，使得面?若存在，求出的大小并证明；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】（1）取棱上靠近的三等分点，连接，又为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点.，，，且所以四边形是平行四边形，又平面，平面，平面；（2）由直三棱柱的性质及，可知侧面，又侧面，由已知，又，又，所以【变式7-2】如图，在四棱锥中，，．（1）证明：；（2）在棱VC上是否存在一点P，使得平面PAD？若存在，指出点P的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）证明：取AD中点E，连接EV，EB．因为，所以．因为，所以．又，所以平面VEB．因为平面VEB，所以．（2）假设在棱上存在一点P，使得平面PAD．因为平面PAD，所以．又，，所以平面VBC．因为平面VBC，所以．在平面ABCD中，因为，，所以，与矛盾．所以在棱VC上不存在点P，使得平面PAD．【变式7-3】若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】（1）证明：取中点，连接、.因为、分别是、的中点，所以且.在平行四边形中，且，因为是的中点，所以且.所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）当点为线段的中点时，平面，理由如下：取的中点，连接、.因为，，，所以，平面，因为、分别为、的中点，则，平面，平面，则平面，又因为平面，，所以，平面平面，所以，平面.故当点是线段的中点时，平面，此时，.8.6.2直线与平面垂直【题型1直线与平面垂直的判定定理】1、已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（）.A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】C【解析】若垂直于内任意直线，显然有，故充分性成立；若，则垂直于平面内任意直线，故必要性成立，故“垂直于内任意直线”是“”的充要条件.故选：.2、已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（）A．，，，B．，C．，D．，【答案】D【解析】对于A，若，，，，当平行时，与平面可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故A错误；对于B，若，设过的平面与交于，则根据线面平行的性质定理可得，在平面内，作直线,则，而此时在平面内，故B错误；对于C，若，设，在平面内作直线，则，由线面平行的判定定理可得，而此时在平面内，故C错误；对于D，若，则直线与平面内的所有直线都垂直，又，∴与平面内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得，故D正确；故选：D3、若一条直线与平面垂直，下列平面中的两条直线与垂直，可以保证直线与平面垂直的是（）①四边形的两边②正六边形的两边

③圆的两条直径④三角形的两边A．①②B．①③C．②③D．③④【答案】D【解析】对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直.所以可以保证直线与平面垂直的是③④.故选：D.4、下列命题中正确的有（）A．过直线l外一点，有且只有一个平面与l垂直B．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面C．垂直于角的两边的直线必垂直于该角所在的平面D．过点A且垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内【答案】ABD【解析】过直线l外一点，有且只有一个平面与l垂直，故A正确；若三条共点直线两两垂直，则其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面，B正确；垂直于角的两边（角两边不共线）的直线必垂直于该角所在的平面，故C错误；过点A且垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内，故D正确．故选:ABD.5、已知、是两条不同的直线，是一个平面，则（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】D【解析】对A：若，，则或，故A错误；对B：若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误；对C：若，，则或或或与相交（不垂直），故C错误；对D：若，，由线面垂直的性质可得，故D正确；故选：D【题型2线面垂直的证明】1、如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，．求证：AC垂直于平面BDM．【解析】设AC交BD于点O，连接MO,因为ABCD是菱形，所以,因为，且，所以，因为MO、BD是平面BDM上的两条相交直线，所以AC垂直于平面BDM．2、在三棱锥中，，，点D为AC的中点，求证：平面．【解析】如图所示，连接，因为，，点D为AC的中点，所以，又是平面内的两条相交直线，所以平面3、如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点．（1）求证：平面;（2）求证：平面．【解析】（1）证明：由题知D,E分别是的中点,,平面平面,平面,得证;（2）证明：由题知,D是的中点,,平面,平面且,故平面得证.4、如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．【解析】∵在中，D是AB的中点，，∴,∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴，∴，又，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，平面，∴平面．5、如图，已知垂直于圆O所在的平面，是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的任意一点，过点A作，垂足为E．（1）求证：平面；（2）求证：平面．【解析】（1）因为平面，且平面，所以．因为是圆的直径，所以．且平面，所以平面．（2）因为在平面内，由（1）知平面，所以．因为，且，平面，所以平面.【题型3求直线与平面所成角】1、已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据长方体性质知：面，故为与面所成的角，，所以.故选：A2、已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，如图，设正三棱锥底面边长为，则侧棱长为∶，设顶点A在底面的射影为O点，连接并延长交于E，则E为的中点，则为侧棱与底面所成角，由于为正三角形，则O为其中心，，，在中，，即侧棱与底面所成角的余弦值等于，故选：A.3、如图，在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接BD交于，四边形ABCD为正方形，则为中点，∵G为△ABC的重心，则G在BD上，且，∴，∵PD⊥底面ABCD，∴为PG与底面ABCD所成的角，面ABCD，则，∴，∴.故选：C4、在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图：过作的平行线，过作该平行线的垂线，垂足为，则，所以，设正方体的棱长为，则，，所以,当且仅当与重合时，取得等号，所以的最小值是.故选：.5、如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________．【答案】【解析】长方体中，因为，，所以，，，因为底面，平面，所以，所以与平面所成的角为，，由条件可得，解得，因此，因为，所以，与平面所成的角为.【题型4线面垂直证明线线平行】1、已知直线l垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线l，m的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．异面【答案】A【解析】根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的直线平行．故选：A．2、如图，平面，平面，分别为上的点，且.求证：【解析】平面，平面，；平面，平面，，；，平面，平面，又，，平面，平面，，.3、在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为l⊥平面PCD，所以l∥AE．4、如图，已知，于点A，于点B，，，求证：．【解析】证明：因为，，所以，又因为，，所以，又，平面，所以平面，因为，，所以，又，，所以平面，所以.5、如图，正方体中，与异面直线、都垂直相交．求证：.【解析】连接，，，，因为在正方体中，平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，因此；同理可证：，又，平面，平面，所以平面；因为与异面直线、都垂直相交，即，，又在正方体中，与平行且相等，所以四边形为平行四边形，因此，所以，因为，平面，平面，所以平面；因此.【题型5线面垂直证明线线垂直】1、如图，平面ABCD，，，，．求证：．【解析】因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以.2、如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，.（1）求圆柱的体积；（2）求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）设圆柱的底面半径为，因是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，且，，则，由勾股定理可得，所以，，因此，该圆柱的体积为.（2）证明：因为平面，平面，所以，，又因为，，、平面，所以平面.因为平面，所以，.3、如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：．【解析】∵，M是BC的中点，∴．又平面PBC，平面PBC，则，∵，面，∴面，而面，∴．4、在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．【解析】证明：连接．在三角形中，G是的中点，所以．因为平面，平面，所以，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，又因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，所以所以直线直线GB．5、在四棱锥中，底面，，,，．证明：.【解析】证明：在四边形中，作，，垂足分别为、，因为，，，所以四边形为等腰梯形，在等腰梯形中，，，则，又因为，则四边形为矩形，则，因为，，，所以，，则，故，，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，、平面，所以平面，又因为平面，所以.【题型6求空间中的三种距离】1、在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到平面的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在正方体中，平面，而平面，则平面平面，在平面内过点B作于E，连接BM，如图，因平面平面，于是得平面，则BE长即为点B到平面的距离，点M为棱的中点，在中，，，即，解得，所以点B到平面的距离为.故选：D2、已知正方体的棱长为1，O是的中点，则点O到平面的距离为______．【答案】【解析】如图示，连接交于，连接，取的中点，连接.在正方体中，为正方形，所以，且.因为面，面,所以.因为面，面，，所以面.因为为的中点，为的中点，所以，且.所以面.所以即为点O到平面的距离，即点O到平面的距离为.3、如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.求点到平面的距离等于_______【答案】【解析】因为是直三棱柱，所以平面，而平面，所以，因为是棱的中点，所以，由勾股定理可得：，，因为是等边三角形，是棱的中点.，所以，所以，因为，所以，因此，因为平面，平面，所以平面平面，因为平面平面，，平面，所以平面，设点到平面的距离为，由.4、如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．【答案】【解析】连接，因为∥，平面，平面，所以∥平面EAC，所以到平面EAC的距离等于到平面EAC的距离，设到平面EAC的距离为，因为正四棱柱的底面边长为2，，所以，因为E为的中点，所以，所以，所以，,因为，所以,所以，解得.5、如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：（1）平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.（2）点D1到直线AC的距离.（3）直线AB与面A1DCB1的距离.【答案】（1）2；（2）；（3）【解析】（1）因为平面ADD1A1与平面BCC1B1平行，故平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离即（2）连接，由题意，，，.因为为等腰三角形，故，设点D1到直线AC的距离为，则，解得，即点D1到直线AC的距离为（3）连接，交于，因为长方体中，故正方形，故，且平面，又平面，故，又，故平面，故直线AB与面A1DCB1的距离为.【题型7线面垂直中的动点探究】1、如图，三棱锥P-ABC中，平面ABC，，，，．（1）求三棱锥A-PBC的体积；（2）在线段PC上是否存在一点M，使得?若存在，求的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）因为AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，所以．由平面ABC知：PA是三棱锥P-ABC的高，又PA＝1，所以三棱锥A-PBC的体积．（2）在线段PC上存在一点M，使得，此时．如图，在平面PAC内，过M作交AC于N，连接BN，BM．由平面ABC，平面ABC，故，所以．由知：，则，在中，，所以，即．由于且面MBN，故平面MBN．又平面MBN，所以．2、如图，直三棱柱ABC－A1B1C1