（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练8.6.2 直线与平面垂直（原卷版）

8.6.2直线与平面垂直重点：了解直线与平面垂直的定理和直线与平面所成角；理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直；难点：能解决简单的线面角问题。一、直线与平面垂直的定义1、文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直2、符号语言：l⊥α3、有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足4、图形语言：5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.6、空间距离①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.二、直线与平面垂直的判定定理1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α3、图形语言：4、作用：证明线面垂直三、直线和平面所成的角1、有关概念：（1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO2、直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角3、取值范围：[0°，90°]四、直线与平面垂直的性质定理1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.2、符号语言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b3、图形语言：4、作用：①线面垂直⇒线线平行②作平行线5、推论：（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.五、三心问题结论设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影（1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点．（2）若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．（3）若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．题型一线面垂直的判定定理【例1】已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式1-1】如果直线l，m与平面，，满足：，，和，那么必有（）A．B．C．D．【变式1-2】（多选）下列命题中，不正确的是（）A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α【变式1-3】设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则（）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则题型二线面垂直的证明【例2】如图所示，在正方体-中，为的中点，与交于点，求证：⊥平面.【变式2-1】如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EAFC，且EA=CF=AB=4，△EBD､△FBD都是正三角形，证明：平面.【变式2-2】如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面．【变式2-3】如图，已知四棱柱中，各棱长都为，底面是正方形，顶点在平面上的射影是正方形的中心，求证：平面．题型三求直线与平面所成角【例3】在正方体中，若点是面的中心，则与平面所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【变式3-1】如图，在平面上，OA是的斜线，若，，，求OA与平面所成的角．【变式3-2】正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是（）A．B．C．D．【变式3-3】在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为_______.题型四线面垂直证明线线平行【例4】在正方体中，直线l（与直线不重合）平面，则有（）A．B．C．与l异面D．与l相交【变式4-1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.【变式4-2】如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：【变式4-3】三棱锥的侧棱上分别有E，F，G，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是（）A．B．C．D．题型五线面垂直证明线线垂直【例5】如图，直三棱柱，.证明：【变式5-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点.证明:PC⊥BE.【变式5-2】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.【变式5-3】如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，，，．设分别为的中点．证明：.题型六求空间中的三种距离【例6】如图，棱长为2的正方体中，点是的中点，是侧面的中心，则到平面的距离为（）A．B．C．D．【变式6-1】若四棱柱的所有棱长均为2，且，则到平面的距离为（）A．B．C．D．【变式6-2】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，则直线AA1到平面BB1D1D的距离为______.【变式6-3】如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的距离．题型七线面垂直中的动点探究【例7】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.【变式7-1】如图，在直三棱柱中，，，，为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点.（1）证明：平面；（2）在棱上是否存在点D，使得面?若存在，求出的大小并证明；若不存在，说明理由.【变式7-2】如图，在四棱锥中，，．（1）证明：；（2）在棱VC上是否存在一点P，使得平面PAD？若存在，指出点P的位置；若不存在，说明理由．【变式7-3】若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.8.6.2直线与平面垂直【题型1直线与平面垂直的判定定理】1、已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（）.A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件2、已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（）A．，，，B．，C．，D．，3、若一条直线与平面垂直，下列平面中的两条直线与垂直，可以保证直线与平面垂直的是（）①四边形的两边②正六边形的两边

③圆的两条直径④三角形的两边A．①②B．①③C．②③D．③④4、下列命题中正确的有（）A．过直线l外一点，有且只有一个平面与l垂直B．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面C．垂直于角的两边的直线必垂直于该角所在的平面D．过点A且垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内5、已知、是两条不同的直线，是一个平面，则（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【题型2线面垂直的证明】1、如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，．求证：AC垂直于平面BDM．2、在三棱锥中，，，点D为AC的中点，求证：平面．3、如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点．（1）求证：平面;（2）求证：平面．4、如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．5、如图，已知垂直于圆O所在的平面，是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的任意一点，过点A作，垂足为E．（1）求证：平面；（2）求证：平面．【题型3求直线与平面所成角】1、已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．2、已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．3、如图，在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值等于（）A．B．C．D．4、在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是（）A．B．C．D．5、如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________．【题型4线面垂直证明线线平行】1、已知直线l垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线l，m的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．异面2、如图，平面，平面，分别为上的点，且.求证：3、在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．4、如图，已知，于点A，于点B，，，求证：．5、如图，正方体中，与异面直线、都垂直相交．求证：.【题型5线面垂直证明线线垂直】1、如图，平面ABCD，，，，．求证：．2、如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，.（1）求圆柱的体积；（2）求证：3、如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：．4、在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．5、在四棱锥中，底面，，,，．证明：.【题型6求空间中的三种距离】1、在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到平面的距离为（）A．B．C．D．2、已知正方体的棱长为1，O是的中点，则点O到平面的距离为______．3、如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.求点到平面的距离等于_______4、如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．5、如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：（1）平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.（2）点D1到直线AC的距离.（3）直线AB与面A1DCB1的距离.【题型7线面垂直中的动点探究】1、如图，三棱锥P-ABC中，平面ABC，，，，．（1）求三棱锥A-PBC的体积；（2）在线段PC上是否存在一点M，使得?若存在，求的值，若不存在，请说明理由．2、如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，A1C＝2，AB＝2，∠BAC＝60°.（1）求三棱锥A1－ABC的表面积；（2）证明：在线段A1C上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值.3、如图，正方体ABCD-A1B