三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编：专题16 锐角三角函数(解析版)

专题16三角函数

考点01三角函数的定义

1．（2023·四川乐山·中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，

它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形

面积为1，则sin（）

4321

A．B．C．D．

5555

【答案】A

【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，由赵爽弦图的特征可得ADBC，则ADAC1，在

Rt△ABC中，利用勾股定理求出ADBC4，最后按照正弦函数的定义计算求解即可．

【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1，

∴大正方形的边长AB5，小正方形的边长CD1，

∵ADBC，

∴ADAC1，

在Rt△ABC中，AC2BC2AB2，

2

∴AD1AD252，

解得ADBC4（负值舍去）

BC4

∴sin．

AB5

故选A．

【点睛】本题考查了勾股定理、弦图及正弦函数的计算，明确相关性质及定理是解题的关键．

2．（2024·广西·中考真题）如图，在VABC中，A45，ACBC．

(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，

标明字母）

(2)在（1）所作的图中，连接BE，若AB8，求BE的长．

【答案】(1)见详解

(2)42

1

【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，作直线DE，则

2

直线l即为所求．

（2）连接BE，由线段垂直平分线的性质可得出BEAE，由等边对等角可得出EBAA45，由三角

形内角和得出BEA90，则得出ABE为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出BE的长．

【详解】（1）解：如下直线l即为所求．

（2）连接BE如下图：

∵DE为线段AB的垂直平分线，

∴BEAE，

∴EBAA45，

∴BEA90，

∴ABE为等腰直角三角形，

BE2

∴sinA，

AB2

22

∴BEAB842

22

【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内

角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．

3．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算

1

弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式

2

中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”

为2，则cosOAB的值为．

4

【答案】/0.8

5

【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作OHAB交AB于H，

交圆弧于C，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出OA，OH，利用余弦函数定义即可解决问题．

【详解】解：如图，作OHAB交AB于H，交圆弧于C，

由题意：AB8，HC2，

设OAx，由OCx，

∴OHx2，

∵OHAB，OC为半径，

1

∴AHBHAB4，

2

在Rt△OAH中，

由勾股定理得AH2OH2OA2，

2

∴42x2x2，

解得x5，

∴OA5，

AH4

∴cosOAB．

OA5

4

故答案为：．

5

4．（2023·内蒙古·中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个

小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角

为，则cos的值为（）

3434

A．B．C．D．

4355

【答案】D

【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的

直角边为a，则较长的直角边为a1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形

各个直角边的边长，最后求出cos的值即可.

【详解】∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，

∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，

设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a1，其中a0，

2

∴a2a152，其中a0，

解得：a3，a14，

4

∴cos，

5

故选：D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

5．（2023·吉林长春·中考真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一

条彩旗绳AB到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成25角（即BAC25）、彩旗绳固定在地面的位置

与图书馆相距32米（即AC32米），则彩旗绳AB的长度为（）

3232

A．32sin25米B．32cos25米C．米D．米

sin25cos25

【答案】D

【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.

【详解】解：AC表示的是地面，BC表示是图书馆，

ACBC，

ABC为直角三角形，

AC32

AB（米）.

cos25cos25

故选：D.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念.

AD1

6．（2023·江苏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，A90，点D在边AB上，连接CD．若BDCD，=，

BD3

则tanB．

21

【答案】/2

22

【分析】由题意可设ADx，则CD3x，AB4x，在RtADC中求得AC22x，在Rt△ABC中求出

答案即可．

AD1

【详解】解：BDCD，=，

BD3

设ADx，则BDCD3x，AB4x，

在RtADC中，由勾股定理得：AC22x，

AC222

在Rt△ABC中，tanB．

AB42

【点睛】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函

数值．

7．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E为AD的中点，AC4，

OE2．求OD的长及tanEDO的值．

3

【答案】OD23，tanEDO

3

【分析】根据菱形的性质得出ACBD,AC2AO，RtAOD中，勾股定理求得OD的长，根据正切的定

义即可求解．

【详解】在菱形ABCD中，ACBD,AC2AO．

∵AC4，∴AO2．

在RtAOD中，∵E为AD中点，

1

∴OEAD．

2

∵OE2．

∴AD4．

∴ODAD2AO2422223．

AO23

∴tanEDO．

OD233

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键．

8．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC

为35m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是

（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【分析】本题考查解直角三角形的应用，用计算器计算三角函数值，根据题意，得到ABBCtan29，进

行判断即可．

【详解】解：由题意，得：在Rt△ABC中，BC35，C29，

∴ABBCtan2935tan29；

计算器的按键为；

故选A．

考点02解直角三角形的实际应用——俯仰角

1．（2025·四川达州·中考真题）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机

指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰

角为30，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45，求无人机离湖面的高度（结

果不取近似值）

【答案】无人机离湖面的高度为15315米

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；过点C作CDAB于点D，设

CD

CDx，根据题意得出BDx，AD30x，在Rt△ACD中，根据tanCAD，列出方程，解方程，

AD

即可求解．

【详解】解：如图，过点C作CDAB于点D，

依题意CAD30,CBD45

设CDx，

在Rt△BCD中，CBD45

CD

∴BDx，

tan45

∵AB30

∴ADABBD30x，

CD

在Rt△ACD中，tanCAD

AD

3x

∴

3x30

解得：x15315

答：无人机离湖面的高度为15315米

2．（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的

点A处．测得山峰顶端B的仰角为．则A、B两点之间的距离为（）

mn

A．mnsin米B．米

sin

mn

C．mncos米D．米

cos

【答案】B

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．

由题意得四边形ACDE是矩形，则CDABn，那么BCBDCDmn，再解Rt△ACB即可．

【详解】解：由题意得，四边形ACDE是矩形，

∴CDABn，

∴BCBDCDmn，

由题意得，ACB90,BAC，

BC

∴sinBAC，

AB

BCmn

∴AB，

sinsin

故选：B．

3．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得ACB51，

BC6m，则树AB的高约为m（结果精确到0.1m．参考数据：sin510.78，

cos510.63，tan511.23）．

【答案】7.4

【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键．

在Rt△ABC中，由ABBCtanCAB即可求解．

【详解】解：由题意得ABBC，

∴在Rt△ABC中，ABBCtanCAB61.237.4m，

故答案为：7.4．

4．（2025·吉林·中考真题）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览

馆．树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计

算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．

项目报告表时间：2025年5月29日

项活动目

测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度

目标

分

测量工

测角仪、皮尺

析

具

以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图．

1．测出测角仪的高CD1.4m．

2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角ACE61．

3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB42m．

任务一

测量数

据

项

目

实

施

任务二

根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精确到

计算实

1m）（参考数据：sin610.875，cos610.485，tan611.804）

际高度

任务三

将该城市规划展览馆AB的高度按1:400等比例缩小，得到其3D打印模型

换算模

的高度约为________cm．（结果精确到1cm）

型高度

项目结果为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据

请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．

【答案】该城市规划展览馆AB的高度为77m；3D打印模型的高度约为19cm

【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，比例的基本性质，正确理解题意是解题的关键．

任务二：先由矩形BECD得到BECD1.4m，CEBD42m，然后解Rt△AEC即可；

任务三：由比例尺等于图上距离比上实际距离求解即可．

【详解】解：任务二：由题意得BECD为矩形，

∴BECD1.4m，CEBD42m，

AE

∵在Rt△AEC中，tanACE

CE

∴AECEtan61421.80476m，

∴ABAEBE761.477m，

答：该城市规划展览馆AB的高度为77m；

任务三：设3D打印模型的高度约为xcm，

x1

则由题意得：，

7700400

解得：x19cm，

答：3D打印模型的高度约为19cm．

5．（2025·陕西·中考真题）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带

着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的

仰角为45，DE与坡面的夹角为72.5，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知

DE1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数

据：sin72.50.95，cos72.50.30，tan72.53.17）

【答案】信号杆的高AB为16m

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌

握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出DBHBDE72.5，再在RtDBH中，运用

HDBDsin72.5，BHBDcos72.5，代入数值进行计算，得出HD,BH的值，然后证明四边形EDHI

是矩形，故EIHD20.9m，根据AEI45，AIE90，得EAI45，AIEI20.9m，把数值

代入ABAIIHBH进行计算，即可作答．

【详解】解：过点E作EIAC于点I，过点D作DHAC于点H，如图所示：

∵AB，DE均与水平线FC垂直．

∴DE∥AC,

∴DBHBDE72.5，

∵DHAC

∴DHI90

DH

在RtDBH中，BD22m,sin72.5，

BD

则HDBDsin72.5220.9520.9m，

BH

在RtDBH中，BD22m,cos72.5，

BD

则BHBDcos72.5220.306.6m，

∵过点E作EIAC于点I，过点D作DHAC于点H，DE∥AC,

∴EDHDHIHIE90，

∴四边形EDHI是矩形

∴EIHD20.9m，

∵AEI45，AIE90，

∴EAI45，

∴AIEI20.9m，

∴ABAIIHBH20.91.76.616m，

信号杆的高AB为16m．

6．（2025·安徽·中考真题）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如

图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A

处测得点C的俯角为23.8，测得点D的仰角为36.9．已知AB13.20m，求AD的长（精确到0.1m）．参

考数据：sin23.80.40，cos23.80.91，tan23.80.44，sin36.90.60，cos36.90.80，tan36.90.75．

【答案】37.5m

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作AECD，垂足为点E，则四边形ABCE为

矩形，可得CEAB13.20m，解RtACE求出AE的长，再解RtADE求出AD的长即可得到答案．

【详解】解：过点A作AECD，垂足为点E．

∵线段AB和CD都与地面垂直，

∴四边形ABCE为矩形，

∴CEAB13.20m．

CE

在RtACE中，tanCAE，

AE

CE13.2013.20

∴AE30.0m．

tanCAEtan23.80.44

AE

在RtADE中，cosDAE，

AD

AE30.030.0

AD37.5m．

cosDAEcos36.90.80

答：AD的长为37.5m．

7．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在

A处仰望楼顶，测得仰角为30，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60，那么这栋楼的高度为（人

的身高忽略不计）（）

A．253米B．25米C．252米D．50米

【答案】A

【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三

角形．

设DCx米，在RtACD中，利用锐角三角函数定义表示出AC，在RtBCD中，利用锐角三角函数定义

表示出BC，再由ACBCAB50列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值即可．

【详解】解：设DCx米，

在RtACD中，A30，

DCx3

tanA，即tan30，

ACAC3

整理得：AC3x米，

在RtBCD中，DBC60，

DCx

tanDBC，即tan603，

BCBC

3

整理得：BCx米，

3

∵AB50米，

3

∴ACBC50，即3xx50，

3

解得：x253，

侧这栋楼的高度为253米．

故选：A．

8．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC，对垂直于地面CD

的建筑物AD的高度进行测量，BCCD于点C．在B处测得A的仰角ABE=45，然后将测角仪向建筑

物方向水平移动6米至FG处，FG⊥CD于点G，测得A的仰角AFE58，BF的延长线交AD于点E，

求建筑物AD的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin580.85,cos580.53,tan581.60）

【答案】17.5米

【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，由题意可得四边形BEDC是矩形，

AEAE

则DEBC1.5m．解直角三角形得到AEBE,EF，进而得到AE6，据此求出AE即

tan58tan58

可得到答案．

【详解】解：根据题意可知四边形BEDC是矩形，

DEBC1.5m．

如图，ABE45,AFE58．

AEAE

tanABE,tanAFE，

BEEF

AE

AEBEtan45BE,EF．

tan58

BEEFBF，

AE

AE6

tan58

AE16．

ADAEDE17.5（米）

答：建筑物AD的高度约为17.5米．

考点03解直角三角形的实际应用——坡度、坡角

1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖

直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30，在B处测得C的仰角为60，斜坡AB的坡度

i1:3,AB1010米，CDBN．（点A,B,C,D在同一竖直平面内）．

(1)求平台BN的高度；

(2)求建筑物的高度（即CD的长）．

【答案】(1)10米

(2)15315米

【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质．

BE1

（1）过点B作BEAM于点E，则AEB90，根据斜坡AB的坡度i，得到AE3BE，从而

AE3

在Rt△ABE中，根据勾股定理构造方程，求解即可；

（2）延长CD交AM于点F，得到四边形BDFE是矩形，因此DFBE10米，BDEF，设CDx米，则

CF

CFCDDFx10（米），通过解直角三角形在Rt△ACF中，求得AF3x10（米），

tanCAF

CD3

在Rt△BCD中，求得∴BDx（米），进而根据AFAEEF列出方程，求解即可．

tanCBD3

【详解】（1）解：过点B作BEAM于点E，则AEB90

BE1

∵斜坡AB的坡度i，

AE3

∴AE3BE，

∵在Rt△ABE中，AE2BE2AB2，

22

即3BEBE21010，

∴BE10米，

∴平台BN的高度是10米．

（2）解：延长CD交AM于点F，

∵CDBN，BN∥AM，

∴CDAM，

∴四边形BDFE是矩形，

∴DFBE10米，BDEF，

设CDx米，则CFCDDFx10（米），

∵在Rt△ACF中，CAF30，

CFx10

∴AF3x10（米），

tanCAFtan30

∵在Rt△BCD中，CBD60，

CDx3

∴BDx（米），

tanCBDtan603

3

∴EFBDx米，

3

由（1）有AE3BE31030（米），

∵AFAEEF，

3

∴3x1030x，

3

解得x15315，

∴CD15315（米），

即建筑物的高度（即CD的长）为15315米．

2．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度

i1:3，BE6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60．

(1)求点B离水平地面的高度AB．

(2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）．

【答案】(1)AB3m；

(2)电线塔CD的高度639m．

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．

AB13

（1）由斜坡BE的坡度i1:3，求得，利用正切函数的定义得到BEA30，据此求解即

AE33

可；

3

（2）作BF⊥CD于点F，设DFx，先解Rt△DBF得到BFx，解RtVDCE得到ECx3米，进

3

3

而得到方程33x3x，解方程即可得到答案．

3

【详解】（1）解：∵斜坡BE的坡度i1:3，

AB13

∴，

AE33

AB3

∵tanBEA，

AE3

∴BEA30，

∵BE6m，

1

∴ABBE3m；

2

（2）解：作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，ABCF3m，BFAC，

设DFxm，

DF

在Rt△DBF中，tanDBF，

BF

DF

∴BFxm，

tan∠DBF

在Rt△ABE中，AEBE2AB233，

DC

在RtVDCE中，DCDFCFx3m，tanDEC，

EC

x33

∴ECx3，

tan603

∴BFAEEC，

3

∴33x3x，

3

∴x636，

∴CD6363x639

答：电线塔CD的高度639m．

3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，斜坡CD的坡度i1:2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，

当太阳光与水平面的夹角为60时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为米．

【答案】41525/25415

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．

如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，设BHx米，EH2x米，勾股定理求出

x25，解直角三角形求出AHtanAEHEH3EH415，进而求解即可．

【详解】解：如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，

则BEHDCF，

BH1

在Rt△BEH中，tanBEHtanBCFi，

EH2

设BHx米，EH2x米，

BEEH2BH25x10，

x25，

BH25米，EH45米，

QAEH60，

AHtanAEHEH3EH415（米），

ABAHBH41525（米），

答：大树AB的高度为41525米．

故答案为：41525．

4．（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部

门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测

量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，ABBC）．已知斜坡CD长为20米，斜

坡CD的坡角为60，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20，坡底与塔杆底的距离

BC30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．

（结果精确到个位；参考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36，31.73）

【答案】32m

【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点D作DFAB于点F，作

DHBE于点H，先求解CHCDcos6010m，DHCDsin6017.3m，再证明BHBCCH40m，

再利用锐角的正切可得AFFDtan2014.4m，从而可得答案.

【详解】解：过点D作DFAB于点F，作DHBE于点H

由题意得：DC20m，DCH60

在Rt△DCH中，

CHDH

cos60，sin60

CDCD

CHCDcos6010m，

DHCDsin60103m17.3m

DFBBDHB90，

四边形DFBH为矩形，

BHFD，BFDH，

BHBCCH(3010)m40m，

FD40m

在△AFD中.

AF

tan20，

FD

AFFDtan20400.3614.4m

ABAFBF(17.314.4)m31.7m32m

答：该风力发电机塔杆AB的高度为32m.

5．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1:0.75，底端A在地面上，堤坝与对面

的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚

好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为2635．求堤坝高及山高DE．（sin26350.45，

cos26350.89，tan26350.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m）

【答案】堤坝高为8米，山高DE为20米．

【分析】过B作BHAE于H，设BH4x，AH3x，根据勾股定理得到ABAH2BH25x10，

求得AH6，BH8，过B作BFCE于F，则EFBH8，BFEH，设DFa，解直角三角形即可

得到结论．

【详解】解：过B作BHAE于H，

∵坡度i为1:0.75，

∴设BH4x，AH3x，

∴ABAH2BH25x10，

∴x2，

∴AH6，BH8，

过B作BFCE于F，

则EFBH8，BFEH，

设DFa，

∵2635．

DFa

∴BF2a，

tan26350.5

∴AE62a，

∵坡度i为1:0.75，

∴CE：AE20a8：62a1：0．75，

∴a12，

∴DF12（米），

∴DEDFEF12820（米），

答：堤坝高为8米，山高DE为20米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是

解题的关键．

6．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，

斜面坡度i3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，C18，求斜

坡AB的长．（结果精确到米）（参考数据：sin180.31,cos180.95,tan180.32）

【答案】斜坡AB的长约为10米

【分析】过点D作DEBC于点E，在Rt△DEC中，利用正弦函数求得DE6.2，在RtABF中，利用勾

股定理即可求解．

【详解】解：过点D作DEBC于点E，则四边形ADEF是矩形，

在Rt△DEC中，CD20，C18，

DECDsinC20sin18200.316.2．

∴AFDE6.2．

AF3

∵，

BF4

55

∴在RtABF中，ABAF2BF2AF6.210（米）．

33

答：斜坡AB的长约为10米．

【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定

义是解题的关键．

7．（2023·四川自贡·中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

(1)测量坡角

如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之

和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．

如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN

另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB

坡角的度数．请直接写出，之间的数量关系．

(2)测量山高

同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24，30，45；为求BH，小

熠同学在作业本上画了一个含24角的Rt△TKS（如图3），量得KT5cm，TS2cm．求山高

DF．（21.41，结果精确到1米）

(3)测量改进

由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点

N，P，D共线，测得MNP的度数，从而得到山顶仰角1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山

顶仰角2；画一个含1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含2

的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结

，

果用不含12的字母表示）

【答案】(1)90；

(2)山高DF为69米；

40aa

(3)山高DF的高为121.6米．．

a2b1a1b2

【分析】（1）利用互余的性质即可求解；

（2）先求得sin240.4，再分别在Rt△ABH、Rt△BCQ、Rt△CDR中，解直角三角形即可求解；

a1a2

（3）先求得tan1，tan2，在Rt△NDL和Rt△NDL中，分别求得NL和NL的长，得到方程

b1b2

NLNL40，据此即可求解．

【详解】（1）解：由题意得NMO90，

∴90；

（2）解：在Rt△TKS中，KT5cm，TS2cm．

TS2

∴sin240.4，

KT5

在Rt△ABH中，ABH24，AB40米，

∴BHABsin24400.416(米)，

在Rt△BCQ中，CBQ30，BC50米，

1

∴CQBCsin305025(米)，

2

在Rt△CDR中，DCR45，CD40米，

2

∴DRCDsin454028(米)，

2

∴山高DF16252869(米)，

答：山高DF为69米；

a1a2

（3）解：如图，由题意得tan1，tan2，

b1b2

设山高DFx1.6，则DLx，

在Rt△NDL中，DNL1，DLx，

DLa1

∴tan1，

NLb1

b

∴NL1x，

a1

在Rt△NDL中，DNL2，DLx，

DLa2

∴tan2，

NLb2

b

∴NL2x，

a2

∵NNMM40，

bb

∴NLNL40，即1x2x40，

a1a2

40aa40aa

解得x12，山高DF121.6

a2b1a1b2a2b1a1b2

40aa

答：山高DF的高为121.6米．

a2b1a1b2

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角

形的问题是解答此类题的关键．

考点04解直角三角形的实际应用——方位角

1．（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如

图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B

处，乙无人机位于A的南偏西30方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向

上，B位于C的北偏西30方向上．（参考数据：21.41，31.73，52.24，72.65）

(1)求BD的长度（结果保留小数点后一位）；

(2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2

倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无

人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？

【答案】(1)26.5千米

(2)3.8千米

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形

是解题的关键。

（1）过点A作AECD于E，过点B作BF⊥CD于F，由题意得，DAE30，解RtADE得到AE103

千米，DE10千米，证明四边形AEFB是矩形，得到EFAB10千米，BFAE103千米，得到

DFDEEF20千米，再利用勾股定理即可求出BD的长；

（2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN20千米．过点M作MTCD于T，由

题意得，BCF903060，解Rt△FBC得到BC20千米，CF10千米，则CDDFCF30千

1

米，设BMx千米，则DN2x千米，CM20x千米，解Rt△CMT得到CT10x千米，

2

22

33

千米，则千米，由勾股定理得233，解方

MT103xTN20x20103x20x

2222

程即可得到答案。

【详解】（1）解：如图所示，过点A作AECD于E，过点B作BF⊥CD于F，

∴AEDBFC90，

由题意得，DAE30，

在RtADE中，AEADcos∠DAE20cos30103千米，

DEADsin∠DAE20sin3010千米，

∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，

∴AB∥CD，

∴AE⊥AB，BF⊥AB，

∴四边形AEFB是矩形，

∴EFAB10千米，BFAE103千米，

∴DFDEEF20千米，

2

∴BDDF2BF220210310726.5千米，

答：BD的长度约为26.5千米；

（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN20千米．过点M作MTCD

于T，

由题意得，BCF903060，

BF103

在Rt△FBC中，BC20千米，

sin∠BCFsin60

BF103

CF10千米，

tan∠BCFtan60

∴CDDFCF30千米，

设BMx千米，则DN2x千米，CM20x千米，

1

在Rt△CMT中，CTCMcosMCT20xcos6010x千米，

2

3

MTCMsinMCT20xsin60103x千米，

2

13

∴TNCDDNCT302x10x20x千米，

22

在RtMNT中，由勾股定理得MN2MT2NT2，

22

∴233，

20103x20x

22

∴x1555或x1555（此时大于BC的长，舍去），

∴BM15553.8千米，

答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．

2．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】

烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情

况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．

如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：

码头A在灯塔B北偏西14方向

位置信

14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53方向的C处

息

15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处

天气预受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注

警意防范．

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；

(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin370.60，

cos370.80，tan370.75，sin140.24，cos140.97，tan140.25）．

【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里

(2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头