三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编：专题15 相似三角形(解析版)

专题15相似三角形

考点01比与比例

aab

1．（2025·四川成都·中考真题）若3，则的值为．

bb

【答案】4

【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可．

a

【详解】解：∵3，

b

aba

∴1314．

bb

故答案为：4

abca2b2c2

2．（2025·四川南充·中考真题）已知2，则的值是（）

bcacababc

A．2B．3C．4D．6

【答案】D

abc

【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据2，可得a2bc,b2ac,c2ab，

bcacab

从而得到a22abc,b22abc,c22abc，然后代入化简即可．

abc

【详解】解：∵2，

bcacab

∴a2bc,b2ac,c2ab，

∴a22abc,b22abc,c22abc，

a2b2c22abc2abc2abc6abc

∴6．

abcabcabc

故选：D

xxy

3．（2023·四川甘孜·中考真题）若2，则．

yy

【答案】1

【分析】根据比例的性质解答即可．

x

【详解】解：2，

y

xyx

1211．

yy

故答案为：1．

【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质．

a3

4．（2023·甘肃武威·中考真题）若，则ab（）

2b

32

A．6B．C．1D．

23

【答案】A

【分析】根据等式的性质即可得出结果．

【详解】解：等式两边乘以2b，得ab6，

故选：A．

【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键．

5．（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐

步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：

【答案】2

2

【分析】根据题意得出a2b,cb，进而即可求解．

2

ab

【详解】解：∵2

bc

2

∴a2b,cb

2

a2b

2

∴c2，

b

2

故答案为：2．

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

6．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦AB80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支

撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为．

【答案】805160cm/160805cm

【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段

的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值51叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比

2

值计算即可．

【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，

51

∴ACBD8040540，

2

∴CDBDABBD2BDAB805160cm．

故答案为：805160cm．

7．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片ABC（C90）按如图方式折叠两次再展开，下列结

论错误的是（）

A．MN∥DE∥PQB．BC2DE4MN

1MNDEPQ

C．ANBQNQD．

2DEPQBC

【答案】D

【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识

点并灵活运用是解题的关键．

由折叠可得：DEAC,PQAC,MNAC，AMMDDPPC，则MN∥DE∥PQ∥BC，那么

△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即

可．

【详解】解：由折叠可得：DEAC,PQAC,MNAC，AMMDDPPC，

∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正确，不符合题意；

∴△ADE∽△ACB∽△AMN，

DEAD1MNAM1

∴，，

BCAC2DEAD2

∴BC2DE，DE=2MN，

∴BC4MN，

∴BC2DE4MN，故B正确，不符合题意；

∵MN∥PQ∥BC，

PCBQ1AMAN1PMQN1

∴，，

ACAB4ACAB4ACAB2

11

∴BQANAB，QNAB，

42

1

∴ANBQNQ，故C正确，不符合题意；

2

∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，

MNAM1DEAD2PQAP3

∴，，，

DEAD2PQAP3BCAC4

MNDEPQ

∴，故D错误，符合题意，

DEPQBC

故选：D．

8．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD

于点F，若AE:BE1:2，DF3，则FC的长为（）

A．6B．3C．5D．9

【答案】A

【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比

例即可解答．

【详解】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，

∴AD∥EF∥BC，

AEDF

∴，

EBFC

13

即，

2FC

解得FC6，

故选：A．

考点02相似三角形的判定

1．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在VABC中，AD是角平分线，BE是中线，ADBE，且ADBE，

垂足为F，G为DC的中点，连接DE，EG．下列结论错误的是（）

A．AFB≌AFEB．ADBADE

1

C．FDBED．CEG∽CBE

4

【答案】D

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先运用AD

是角平分线，证明AFB≌AFE（ASA），得ABAE，证明ADB≌ADE（SAS），故ADBADE，结

EFGD1

合BE是中线，G为DC的中点，得EG是CAD中位线，故，代入数值整理得DFAD，在CEG

FBBD4

和△CBE中，C为公共角，但CEG和CBE，CGE和CEB均不相等，相应边不成比例，故CEG和

△CBE，即可作答．

【详解】解：∵AD是角平分线，

∴BADEAD，

∵ADBE，

∴AFBAFE90，

又∵AFAF，

∴AFB≌AFE（ASA），

故A选项正确，不符合题意；

∵AFB≌AFE，

∴ABAE，

∵BADEAD，ADAD，

∴ADB≌ADE（SAS），

∴ADBADE，

故B选项正确，不符合题意；

∵BE是中线，

∴CEEA，

∵G为DC的中点，

∴CGGD，

∴EG是CAD中位线，

1

∴EG=AD，EG∥AD，

2

EFGD

∴，

FBBD

又∵AFB≌AFE，

∴BFFE，

∴BDGD，

∴DF是BEG的中位线，

1

∴DFEG，

2

1

∴DFAD，

4

∵ADBE，

1

∴DFBE，

4

故C选项正确，不符合题意；

在CEG和△CBE中，C为公共角，

但CEG和CBE，CGE和CEB均不一定相等，相应边不成比例，

故CEG和△CBE不相似，

故D选项错误，符合题意，

故选：D．

2．（2024·广东广州·中考真题）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE3，EC6，

CF2．求证：△ABE∽△ECF．

【答案】见解析

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正

ABBE

方形的性质，得出BC90，ABCB9，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角

ECCF

形相似即可证明．

【详解】解：BE3，EC6，

BC9，

四边形ABCD是正方形，

ABCB9，BC90，

AB93BE3

，，

EC62CF2

ABBE

ECCF

又BC90，

ABE∽ECF．

3．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活

动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点

M，若点M恰好落在边DC上，则图中与NDM一定相似的三角形是．

【答案】△MCB

【分析】由矩形的性质得ADC90，从而得到DNMDMN90，由折叠的性质可得：

BMNA90，从而得到DNMBMC，由此推断出NDM∽MCB．

【详解】解：四边形ABCD是矩形，

ADC90，

DNMDMN90，

由折叠的性质可得：BMNA90，

NMDBMNBMC180，

NMDBMC90，

DNMBMC，

NDM∽MCB，

故答案为：△MCB．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性

质、相似三角形的判定，是解题的关键．

4．（2023·贵州·中考真题）如图，已知O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交

O于点E，连接EA，EB．

(1)写出图中一个度数为30的角：_______，图中与ACD全等的三角形是_______；

(2)求证：△AED∽△CEB；

(3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．

【答案】(1)1、2、3、4；△BCD；

(2)证明见详解；

(3)四边形OAEB是菱形；

【分析】（1）根据外接圆得到CO是ACB的角平分线，即可得到30的角，根据垂径定理得到

ADCBDC90，即可得到答案；

（2）根据（1）得到3=2，根据垂径定理得到5660，即可得到证明；

（3）连接OA，OB，结合5660得到△OAE，△OBE是等边三角形，从而得到

OAOBAEEBr，即可得到证明；

【详解】（1）解：∵O是等边三角形ABC的外接圆，

∴CO是ACB的角平分线，ACBABCCAB60，

∴1230，

∵CE是O的直径，

∴CAECBE90，

∴3430，

∴30的角有：1、2、3、4，

∵CO是ACB的角平分线，

∴ADCBDC90，56903060，

在ACD与△BCD中，

12

∵CDCD，

ADCBDC90

∴ACD≌BCD，

故答案为：1、2、3、4，△BCD；

（2）证明：∵56，3=230，

∴△AED∽△CEB；

（3）解：连接OA，OB，

∵OAOEOBr，5660，

∴△OAE，△OBE是等边三角形，

∴OAOBAEEBr，

∴四边形OAEB是菱形．

【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关

键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．

5．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，

N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（）

A．B4180B．CD∥ABC．14

D．23

【答案】D

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当B4180时，可证明CD∥BM，

由平行线的性质得到∠CDN∠AME，∠AEM=∠CND，则可证明△MAE∽△DCN，据此可判断A、B；

由平行线的性质可得1B180，则B4180，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明

△MAE∽△DCN．

【详解】解：A、∵B4180，

∴CD∥BM，

∴∠CDN∠AME，

∵AE∥BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故A不符合题意；

B、∵CD∥AB，

∴∠CDN∠AME，

∵AE∥BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故B不符合题意；

C、∵AE∥BC，

∴1B180，

∵14，

∴B4180，

∴CD∥BM，

∴∠CDN∠AME，

∵AE∥BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故C不符合题意；

D、根据23结合已知条件不能证明△MAE∽△DCN，故D符合题意；

故选：D．

6．（2024·青海·中考真题）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件：，使△AOB∽△COD．

【答案】CA．(答案不唯一)

【分析】有一对对顶角∠AOB与∠COD，添加CA，即得结论．

【详解】解：∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），CA，

∴△ABO∽△CDO．

故答案为：CA．(答案不唯一)

【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

考点03相似三角形的性质

1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为

48cm，那么较小三角形的周长是（）

A．14cmB．18cmC．30cmD．34cm

【答案】B

【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为10cm和6cm确定相似比，相似三角形的周长比等

于相似比，再根据周长之和为48cm即可求解．

【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为10cm和6cm，

相似比为10:65:3，

较大三角形与较小三角形的周长比为：5:3，

它们的周长之和为48cm，

3

较小三角形的周长为：4818cm，

53

故选：B．

2．（2025·贵州·中考真题）如图，已知ABC∽DEF,AB:DE2:1，若DF2，则AC的长为（）

A．1B．2C．4D．8

【答案】C

【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可．

【详解】解：∵ABC∽DEF,AB:DE2:1，

∴AC:DF2:1，

∵DF2，

∴AC4；

故选C．

k

3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数yaxb与反比例函数y的图象相交于A1,4、B4,m

x

两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式：

(2)点P在x轴的负半轴上，且△AOC与POD相似，求点P的坐标．

4

【答案】(1)一次函数解析式为：yx5，反比例函数解析式为y．

x

17

(2)点P的坐标为,0或5,0

5

【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可．

（2）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D，设POx，再根据直角坐标系

两点之间的距离公式分别求出OA，OC，OD，由对顶角相等得出AOCPOD，再根据相似三角形的

AOOCAOOC

性质分两种情况或代入求解即可．

POODODPO

k

【详解】（1）解：把A1,4代入反比例函数y，则k4，

x

4

则反比例函数解析式为：y，

x

4

把B4,m代入y，

x

则m1，

∴B4,1，

再把A1,4，B4,1代入yaxb，

ab4

则，

4ab1

a1

解得：，

b5

则一次函数的解析式为：yx5．

（2）解：令yx50时，则x5，

∴C5，0，

∵点D与点A关于点O对称，A1,4

∴D1，4

设点Px,0x0，

∵O0,0，

∴POx

又∵A1,4，C5,0，D1,4

222

∴AO104017，OD104017，OC5，

∵△AOC与POD相似，AOCPOD，

AOOCAOOC

∴分两种情况：或，

POODODPO

AOOC

当时，

POOD

175

即，

x17

17

解得：x，

5

17

此时，点P,0，

5

AOOC

当，

ODPO

175

即，

17x

解得：x5，

此时P5,0，

17

综上：当点P在x轴的负半轴上，且△AOC与POD相似，点P的坐标为,0或5,0

5

【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析

式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两

点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键．

4．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA1，则OG（）

125512564323

A．B．C．D．

64642727

【答案】C

【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解

360OAOBOC3

BOABOC30，可得cos30，再进一步探究即可；

12OBOCOD2

【详解】解：∵12个相似的直角三角形，

360

∴BOABOC30，

12

OAOBOC3

cos30，

OBOCOD2

∵OA1，

22

∴OB313，

33

2

42

OC13，

33

3

28L

OD133，

39

6

264

∴OG13，

327

故选C

5．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像

投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像AB．设AB36cm，

AB24cm．小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到AB的距离为cm．

【答案】20

【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得AB∥AB，△AOB∽△AOB，过O作OCAB于

点C，CO交AB于点C，利用已知得出△AOB∽△A'OB'，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌

握相似三角形的性质是解题关键．

【详解】由题意得：AB∥AB，

∴△AOB∽△AOB，

如图，过O作OCAB于点C，CO交AB于点C，

∴OCAB，OC30cm，

ABOC24OC

∴，即，

ABOC3630

∴OC20（cm），

即小孔O到AB的距离为20cm，

故答案为：20．

6．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是（）

A．1:3B．1:4C．1:6D．1:9

【答案】D

【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．

【详解】解：两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是1:9，

故选：D．

7．（2023·山东聊城·中考真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几

何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分OO1为2，则其侧面展开图的面积为（）

A．3B．23C．33D．43

【答案】C

【分析】根据展开面积大圆锥侧面积与小圆锥侧面积之差计算即可．

【详解】根据题意，补图如下：

∵OCBO1,OC2,BO11，

∽

∴BO1ACOA，

AOBO1

∴11，

AOOC2

∴AO1O1O2，

2

∴ABBC2123，

∴侧面展开图的面积为2231333，

故选C．

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算，三角形相似的判定和性质，熟练掌握圆锥的侧面积计算是解题的

关键．

考点04相似三角形的判定与性质

1．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，O是VABC的外接圆，AB是O的直径，过点B的切线交AC的

延长线于点D，连接DO并延长，交O于点E，连接AE，CE．

(1)求证：ADBAEC；

5

(2)若AB4，cosAEC，求OD的长．

3

【答案】(1)见解析

(2)OD26．

【分析】（1）由切线的性质求得ÐABD=90°，由圆周角定理求得ACB90，利用同角的余角相等求得

ADBABC，再利用圆周角定理即可证明结论成立；

BDBC5458

（2）由（1）得ADBABCAEC，求得，求得BC，利用勾股定理求得AC，

ADAB333

证明ADB∽ABC，求得AD6，据此求解即可．

【详解】（1）证明：∵BD是O的切线，

∴ÐABD=90°，

∵AB是O的直径，

∴ACB90，

∴ADB90DBCABC，

∵，

ACAC

∴AECABC，

∴ADBAEC；

（2）解：由（1）得ADBABCAEC，

∴cosADBcosABCcosAEC，

BDBC5

∴，

ADAB3

∵AB4，

45

∴BC，

3

2

∴222458，

ACABBC4

33

∵ADBABC，ABDACB90，

∴ADB∽ABC，

8

ABAC

∴，即43，

ADAB

AD4

解得AD6，

∴BD2AD2AB2361620，

1

∵OBAB2，

2

∴ODOB2BD2222026．

【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质．熟

练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

AE

2．（2025·青海·中考真题）如图，在VABC中，DE∥BC，且AD3，DB2，则的值是．

AC

3

【答案】

5

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形性质

ADAE

得，然后把AD3，DB2代入即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

ABAC

【详解】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

ADAE

∴，

ABAC

∵ABADDB，AD3，DB2，

AE3

∴，

AC5

3

故答案为：．

5

3．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EFEC，

则△CEF的面积为（）

A．10B．8C．5D．4

【答案】C

【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．

根据四边形ABCD为正方形，得出ABADBC4,AB90，AEBE2，勾股定理求出CE，证

明AEF∽BCE，根据相似三角形的性质求出EF，即可求出△CEF的面积．

【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，

ABADBC4,AB90

∵E为AB的中点，

AEBE2，

∴CEBE2BC2224225，

∵EFEC，

∴AEFBEC90，

又BCEBEC90，

∴AEFBCE，

△AEF∽△BCE，

AEEF2EF

∴，即，

BCCE425

∴EF5，

11

∴△CEF的面积EFEC5255．

22

故选：C．

AD1

4．（2025·云南·中考真题）如图，在VABC中，已知D,E分别是AB,AC边上的点，且DE∥BC．若，

AB2

DE

则（）

BC

1111

A．B．C．D．

2345

【答案】A

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键；

AD1

由DE∥BC证△ADE∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例，结合，得出结论．

AB2

【详解】解：∵DE∥BC，

∴ADEB，AEDC，

∴△ADE∽△ABC，

DEAD

∴，

BCAB

AD1

∵

AB2

DE1

∴

BC2

故选：A．

5．（2024·宁夏·中考真题）如图，在ABCD中，点M,N在AD边上，AMDN，连接CM并延长交BA的

延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F．求证：AEDF．小丽的思考过程如下：

参考小丽的思考过程，完成推理．

【答案】见解析

【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明△AEM∽△DCM，可得

AEAMDFDNAEDF

，同理可得：，再进一步证明即可．

DCDMABANDCAB

【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形

ABCD，AB∥CD，

△AEM∽△DCM

AEAM

，

DCDM

同理可得，FDN∽ABN，

DFDN

∴

ABAN

又AMDN，

AMMNDNMN

即ANDM，

AEDF

DCAB

又ABCD，

AEDF．

6．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线xii1,2,3,与x轴相交于点Ai，

12

与抛物线yx相交于点B，连接AB，BA相交于点C，得ABC和△ABC，若将其面积之比记

4iii1ii1iiiii1i1i

S△ABC

为aiii，则a．

iS2024

△Ai1Bi1Ci

4

【答案】2024

20254

∽

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证AiBiCiAi1Bi1Ci，

2

SABCAB

得到aiiiii，进行求解即可．

iSAB

Ai1Bi1Cii1i1

1

【详解】解：∵作直线xii1,2,3,与x轴相交于点A，与抛物线yx2相交于点B，

i4i

12

∴AiBix轴，且Bii,i，

4

1

∴ABi2，

ii4

∵AiBi∥Ai1Bi1，

∽

∴AiBiCiAi1Bi1Ci，

22

2

SABCABi

∴iiiii，

ai2

SAB

Ai1Bi1Cii1i1i1

224

∴20242024；

a202424

20252025

4

故答案为：2024．

20254

7．（2024·海南·中考真题）如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，

OM40cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为cm．

【答案】80

【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点B作BNCD交AC的延长线于N，求得OM∥BN，

得到AOM∽ABN，根据相似三角形的性质解答即可．

【详解】解：过点B作BNCD交AC的延长线于N，

∵OMCD，

∴OM∥BN，

∴AOM∽ABN，

OMAO

∴，

BNAB

∵AOOB，OM40cm，

401

∴，

BN2

∴BN80cm，

∴另一端B离地面的高度为80cm．

故答案为：80．

SADE

8．（2023·江苏南通·中考真题）如图，在VABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则．

SABC

1

【答案】/0.25

4

【分析】此题重点考查三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADE∽△ABC是解题

的关键．

1

由D,E分别是AB,AC的中点，根据三角形中位线定理得DE∥BC，且DEBC，所以△ADE∽△ABC，

2

2

SADEDE1

则，于是得到问题的答案．

SABCBC4

【详解】解：∵D,E分别是AB,AC的中点，

1

DE∥BC,DEBC，

2

DE1

，

BC2

△ADE∽△ABC，

22

SDE11

ADE，

SABCBC24

故答案为：1．

4

9．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，ACD中，AD10,CD2,BCAC于点C,AC2BC，则BD的

最大值为．

【答案】10

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点C作CECD，使CD2CE，连接AE、DE，

1

利用勾股定理可求DE10，利用两边成比例且夹角相等，可证BCE∽ACD，根据相似三角形对应边

2

1

成比例可得BE10，当点B、E、D三点共线时BD有最大值可求BD的最大值．

2

【详解】解：如下图所示，过点C作CECD，使CD2CE，连接AE、DE，

CD2，

2

CE

2

2

2

22210，

DECECD2

22

CECD，

ECDACB90，

BCEACD，

ACDC

又2，

BCEC

BCE∽ACD，

ADACDC

2，

BEBCEC

11

BEAD10，

22

11

当点B、E、D三点共线时BD有最大值，BDBEDE101010．

22

故答案为：10．

考点05相似三角形的实际应用

1．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于

纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．

活动

测量纪念碑的高度

主题

实物

图和

测量

示意

图

如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D

测量处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观

说明测者眼睛所在位置为点N，点N,E,A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的

水平视线上．

测量

DE2.1m,DF2.1m,DM1m,MN1.2m

数据

备注点F,M,D,C在同一水平线上．

根据以上信息，解决下列问题．

(1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CDCA，请说明理由．

(2)求纪念碑AB的高度．

(3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际

高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条

即可）．

【答案】(1)见解析；

(2)纪念碑AB的高度为19.8m．

(3)小红的结果误差较大，理由见解析

【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和

性质是解题关键．

ACDE

（1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论；

CDDF

（2）令BN与DE的交点为H，则四边形BCDH和MNHD是矩形，设ABx，证明NEH∽NAB，得到

EHNH

，求出x的值即可；

ABNB

（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可．

【详解】（1）解：太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影

子落在点F处，

ACDE

，

CDDF

标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DEDF，

CDCA；

（2）解：如图，令BN与DE的交点为H，

则四边形BCDH和MNHD是矩形，

DE2.1m,DF2.1m,DM1m,MN1.2m

CDBH，BCDHMN1.2m，NHDM1m，

EHDEDH0.9m，

设ABx，则ACABBC1.2xm，

BHCD1.2xm，

NBBHNH2.2x，

EH∥AB，

NEH∽NAB，

EHNH

，

ABNB

0.91

，

x2.2x

解得：x19.8，

答：纪念碑AB的高度为19.8m．

（3）解：纪念碑的实际高度为19.64m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m，（2）中纪念碑AB的高度为

19.8m，

则小红的结果误差较大，

理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计

算结果．

2．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现

了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如

图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA150cm，

阻力臂OB50cm，BD20cm，则AC的长度是（）

A．80cmB．60cmC．50cmD．40cm

【答案】B

【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例

求得AC的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式．

【详解】解：ACAB，BDAB，

AC∥BD，

AOC∽BOD，

ACAO

，

BDOB

∵动力臂OA150cm，阻力臂OB50cm，BD20cm

AC150

，

2050

AC60，

AC的长为60cm．

故选：B．

3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯

光下的影长CD3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（）

A．4.5米B．4米C．3.5米D．2.5米

【答案】D

【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为FH，连接AF并延长交BC于点G，根

CECDFHGH

据题意得到CE∥FH∥AB，证明DCE∽DBA,GHF∽GBA，得到,，由CEFH推

ABBDABGB

CDGH

出，即可得出结论．

BDGB

【详解】解：设回过程中小杰身高为FH，连接AF并延长交BC于点G，

根据题意得到CE∥FH∥AB，

DCE∽DBA,GHF∽GBA，

CECDFHGH

,，

ABBDABGB

CEFH

CDGH

，

BDGB

BDGB，

CDGH，

CD3米，

GH3，

返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米，

故选：D．

4．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树AB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：

方案一：如图（1），测得C地与树AB相距10米，眼睛D处观测树AB的顶端A的仰角为32：

方案二：如图（2），测得C地与树AB相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E，眼睛D在镜子

C中恰好看到树AB的顶端A．

已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树AB的高度．（结果保留整数，tan320.64）

【答案】树AB的高度为8米

【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题．

方案一：作DEAB，在RtADE中，解直角三角形即可求解；

方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可．

【详解】解：方案一：作DEAB，垂足为E，

则四边形BCDE是矩形，

∴DEBC10米，

在RtADE中，ADE32，

∴AEDEtan32100.646.4（米），

树AB的高度为6.41