2023年概率论和数理统计期末考试题库

数埋记录练习

一、填空题

1.设A.B为随机事件，且P(A)=0.5,P(B)=O.6,P(B(A)=O.8,则P(A+B)=_0.7

2.某射手对目的独立射击四次，至少命中一次内概率为，则此射手的命中率o

3.设随机变量X服从［0,2］上均匀分布，则1/3o

4、设随机变量服从参数为H勺泊松(Poisson)分布，且已知=1,则—1—。5、一次试验的成功率为，进行100

次独立反宜试脸,当1/2时,成功次数的方差的值最大，最大值为25.

6.(X,Y)服从二维正态分布，则XH勺边缘分布为o

7、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数,则E(X)=o

8、随机变量X的数学期望，方差，k、b为常数，则有=；=。

9、若随机变量X〜N(-2,4),Y〜N(3,9),且X与Y互相独立。设Z=2XT+5,则Z〜N(-2,25).

10、的两个无偏估计量，若，则称比有效。

1.设A.B为随机事件,且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AUB)=0.6,则P()=_0.3_0

2.设X(B(2,p),Y(B(3,p),且P{X21}=,则P{YN1}=。

3、设随机变量X服从参数为2时泊松分布，且Y=3X-2,则E(Y)=4。

4.设随机变量X服从［0,2］上的均匀分布，Y=2>：+l,则D(Y)=4/3。

5、设随机变量勺概率密度是：

,且，则=0.6。

6、运用正态分布的结论，有

「81,1

j-jL^(x2-4x+4)e2dx=-L

7、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数，则E(Y)=3/4

8、设(X,Y)为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b使

则X与丫的有关系数-I0

9、若随机变量X〜N(1,4),Y〜N(2,9),且X与Y互相独立。设Z=X-Y+3,则Z〜N(2,13).

10、设随机变量X〜N(1/2,2),以Y表达对勺三次独立反复观测中"”出现的次数，则3/8o

1、设A,B为随机事件，且P(A)=0.7.P(A-B)=0.3,则0.6。

2、四个人独立地破译一份密码，己知各人能译出的概率分别为，则密码能被译出H勺概率是11/24。

5.设随机变量X服从分数为的泊松分布，H,则=6o

6.设随机变量X~N(1,4),已知①(0.5)=0.5915,0(1.5)=0.9332,则0.6247。

7、随机变量XH勺概率密度函数，则E(X)=1o

8、己知总体X~N(0,1),设XI,X2,…，Xn是来自总体勺简朴随机样本，贝U。

9、设T服从自由度为n口勺t分布，若，则。

10、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数，则E(X)=4/3。

1.设A.B为时机事件.WP(A)=0.6.P(AB)=P().则P(B)=().4«

2.设随机变量X与Y互相独立，且，，则P(X=Y)=_0.5_。

3.设随机变量X服从以n,p为参数的二项分布，且EX=15,DX=10,则n=450

4.设随机变量，其密度函数，则=2。

5.设随机变量X0勺数学期望EX和方差DX>0都存在，令，则DY二1。

6.设随机变量X服从区间［0,5］上的均匀分布，Y服从H勺指数分布，且X,Y互相独立，贝MX,Y)的联合密度函数f(x,y)=

o

7、随机变量X与Y互相独立，且D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X-2Y)=44。

8、设是来自总体X~N(0,1)的简朴随机样本，则服从H勺分布为。

9、三个人独立地向某一目的进行射击，已知各人能击中的概率分别为，则目的能被击中的概率是3/5。

10、已知随机向量(X,Y)的联合概率密度，

则E7=1/2o

1.设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=O.3,则P()=_0.6

2.设随机变量X的分布律为，且X与Y独立同分布，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为。

3、设随机变量X〜N(2,),且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=0.2。

4.设随机变量X服从泊松分布，则=。

5.已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为。

6.设X是10次独立反复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则2.4。

7、XI,X2,Xn是取自总体的样本，则〜o

8.已知随机向量(X,Y)的联合概率密度，PllEX=2/3。

9、称记录量的无偏估计量，假如=。

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不也许发生口勺，这个原理称为小概率事件原理。

1.设A.B为两个随机事件，若P(A)=0.4,P(B)=0.3,,则0.3。

2.设X是10次独立反复质验成功H勺次数，若将次贰验成功H勺概率为0.4,则18.4。

3.设随机变量X〜N("4,9),以Y表达对X的5次独立反复观测中"”出现的次数，则=5/16e

4.已知随机变量X服从参数为的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4),则=o

5.称记录量日勺无偏估计量，假如=0o

6.设，且X,Y互相独立，则t(n)o

7、若随机变量X〜N(3,9),Y〜N(-1,5),且X与Y互相独立。设Z=X-2Y+2,则Z〜N(7,29)

8、已知随机向量(X.Y)的联合概率密度,则EY=1/3.

9、已知总体是来自总体XI内样本，要检查,则采用的记录量是0

10、设随机变量T服从自由度为n的t分布，若，则。

1、设A.B为两个随机事件,P(A)=0.4,P(B)=0.5,,则0.55。

2.设随机变量X~B(5,0.1),则D(1-2X)=1.8。

3.在三次独立反复射击中，若至少有一次击中目的的概率为,则每次射击击中日的H勺概率为1/4。

4、设随机变量的概率分布为，则的期望EX=2.3。

5、将一枚硬币反复掷n次，以X和Y分别表达正面向上和背面向上的次数，则X和Y日勺有关系数等于一1。

、’)的联I

■'04

金

-21/91/32/9

11/18ab

若X、Y互相独立，则a=1/6,b=1/9o

7、设随机变量X服从［1,5］上日勺均匀分布，则1/2,

8、三个人独立地破译一份密码，H知各人能译出的概率分别为，则密码能被译出的概率是3/5。

9、若是来自总体X的样本，分别为样本均值和样本方差，则~t(n-1)o

10、的两个无偏估计量.若,则称比有效C

1.已知P(A)=0.8,P(A-B)=0.5,且A与B独立，则P(B)=3/8。

2、设随机变量X〜N(l,4),且P{X(a}=P{X(a},则@=10

3.随机变量X与Y互相独立且同分布，，，则。

4.已知随机向量(X,Y)的联合分布密度，则EY=2/3o

5.设随机变量X〜N(1,4),则=0.3753。(己知((0.5)=0.6915,((1.5)=0.9332)

6.若随机变量X〜N(0,4),Y〜N(-1,5),且X与Y互相独立。设Z=X+Y-3,则Z〜N(-4,9)°

7、设总体X〜N(l,9),是来自总体X的简朴随机样本，分别为样本均值与样本方差，则；。

8、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则=6。

9、袋中有大小相似的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不一样的概率为4/7o

10、在假设检杳中,把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝,此类错谩称为一错误：把不符合H0的总体当作符合H0而

接受。此类错误称为二错误。

1、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.8,P(AB)=0.4,则P(A-B)=0.4°

2、设X是10次独立反复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则2.4。

儿变量X

分布:-1012

X

P0.10.30.20.4

则尸k221}=0.7。

4.设随机变量X的概率密度函数，则=c

5.袋中有大小相似的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取，记初次抽到黑球时抽取口勺次数为X,则P{X=

10)=0.39*0.7o

6、某人投篮，每次命中率为0.7,现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是。

7、设随机变量X日勺密度函数，且，则c=-2o

8、己知随机变量U=4—9X,V=8+3Y,且X与Y的有关系数=1,则U与V的有关系数=-1。

9、设，且工Y互相独立，则t(n)

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不也许发生11勺，这个原理称为小概率事件原理。

1、随机事件A与B独立，0.4o

2.设随机变量X的概率分布为则X2的概率分布为

3.设随机变量X服从［2,6］上H勺均匀分布，则0.250

4.设X表达10次独立反复射击命中目的的次数，且每次命中率为().4,则=」8.4_。

5.随机变量,则N（0,1）

6.四名射手独立地向一目的进行射击，已知各人能击中目的的概率分别为1/2.3/4.2/3.3/5,则目的能被击中口勺概率是

59/60°

7、一袋中有2个黑球和若干个白球，既有放叵地摸球4次，若至少摸到一种白球的概率是，则袋中白球的个数是4

8、已知随机变量U=1+2X,V=2-3Y,且X与Y的有关系数=-1,则U与"自有关系数=1。

9、设随机变量X〜N（2,9）,且P{X（a}=P{X（a},则a=2。

10、称记录量的J无偏估计量；假如=0

二、选择题

1.设随机事件与互不相容，且，则（D）0

A...B.C...D.

2.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前而两个邮筒投信口勺概率为（A）o

X・・・・B・・・・・•・・・・D・

3、已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为（【））。

A*•B.・・C・・・D・

4、设随机变量，满足，是的分布函数，则对任意实数有（B）,

/1.・•・B••*C.・・D•

5、设为原则正态分布函数，

且，互相独立。令，则由中心极限定理知H勺分布函数近似于（B）。

A..・B・•••C・•••D«

1、设，为随机事件，，，则必有（A）。

A.♦

2、某人持续向一目的射击，每次命中目的的概率为，他持续射击直到命中为止，则射击次数为3口勺概率是（C）o

A.............B..........C............D.

3.设是来自总体的J一种简朴随机样本，则最有效的无偏估计是（A）。

X««C.....D.

4.设为原则正态分布函数，

且，互相独立。令，则由中心极限定理知口勺分布函数近似于（B）。

...B.■««■•D•

5.设为总体的一种样本，为样本均值，则下列结论中对的的是（D）。

A..B..C...1).

1、已知A.B、C为三个随机事件，则A.B、C不都发生的事件为（A）o

A.B...C.A+B+C..D.ABC

2、下列各函数中是随机变量分布函数H勺为（B）。

A.B.

CD.

3.是二维随机向量，与不等价的是（D）

A..B...C...D.和互相独立

4.设为原则正态分布函数,

且，互相独立。令，则由中心极限定理知H勺分布函数近似于（B）。

X.•••民««**«…D.

5.设总体,其中未知，为来自总体的样本，样本均值为，样本方差为，则下列各式中不是记录量的是（C）。

A..C.

1.若随机事件与互相独立，则B)0

A.C..D.

2、设总体X的数学期望EX=>,方差DX=o2,XI,X2,X3,X4是来自总体X的简朴随机样本，则下列u的估计量中最有效

的是（D）

A.-X।+-X、+—X、+-Xa

61623333

3411

C.-X.4--X、--Xa-----X

515-53544

3设为原则正态分布函数,且，互相独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

AB,CD.

4设离散型随机变量的概率分布为，，贝ij=(B)»

A1B.C.2D.2.4

5在假设检查中，下列说法错误口勺是（C）,

A真时拒绝称为犯第二类错误..B.不真时接受称为犯第一类错误。

C设，，则变大时变小。

D口勺意义同（O,当样本容量一定期，变大时则变小。

1.若A与B对立事件，则卜列错误H勺为（A）0

A・0・B・・・C・•»D.

2.下列事件运算关系对日勺的是（A）o

A.B.C..D.

3.设为原则正态分布函数，

且，互相独立。令，则由中心极限定理知日勺分布函数近似于（B）。

A.........B..............C....D.

4.若，则（D）。

A.和互相独立.B.与不有.C...D.

5、若随机向量（）服从二维正态分布，则①一定互相独立；②若，则一定互相独立；③和都服从一维正态分

布：④若互相独立，则

Cov（%K）=0。几种说法中对的的是（B）«

A....®.B...............C..③.④.D...④

1.设随机事件A.B互不相容，，则=（C）。

AB•«••«««»•D♦

2.设A,B是两个随机事件，则下列等式中（C）是不对口勺的。

A.,其中A,B互相独立B.,其中

C.,其中A,B互不相容D.,其中

3.设为原则正态分布函数，

且，互相独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

・••••••••■•.I）•

4、设随机变量X的密度函数为f（x）,则Y=5—2X口勺密度函数为（B）

A.----）B.—/（一^--）

2八22八2

C.」D.1

2八22八2

5.设是一组样本观测值，则其原则差是（B）。

A....B...C....D.

1.若A.B互相独立，则下列式子成立的为（A）。

A・••Ba••C・・・D.

2.若随机事件H勺概率分别为，，则与一定（D）o

A.互相对立..B.互相独立..C.互不相容..D.相容

3.设为原则正态分布函数，且，互相独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）0

肌♦・♦・B•••••（✓••••D•

4.设随机变量X〜N（u,81）,Y〜N（u,16）,记，则（B）。

A.pl<p....B.pl=p....C.pl>p...D.pl与p2的关系无法确定

5、设随机变MX的密度函数为f（x）.则Y=7—5X/、J密度函数为（B)

y-7

B./(-)

735

D.1/(-)，+7

)

5

1.时任意两个事件和，若，则（)o

A...B.C..D.

2.设、为两个随机事件，且则必有（B）0

A....D.、互不相容

3.设为原则正态分布函数，

且，互相独立。令，则由中心极限定理知H勺分布函数近似于（B）。

A・・♦•・・♦•・・C・•・•D・

4.已知随机变量和互相独立，且它们分别在区间［-1,3］和［2,4］上服从均匀分布，则(A)o

A.3..B.6....C.1....D.1.

5.设随机变量X〜N（U,9）,Y〜N（U,25）,记，贝1J（B

A.pl<p....B.pl=p....C.pl>p...D.pl与p2的关系无法确定

1.设两个随机事件互相独立，当同步发生E寸，必有发生，则（A）。

A..B.C...D.

2.已知随机变量I灯概率密度为，令，则Y的概率密度为（A）。

A.•B..♦C..♦..D.

3.两个独立随机变量，则下列不成立口勺是（C）。

A..B.C..D.

4.设为原则正态分布函数，且，互相独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.........B............C....D.

5、设总体X的数学期望EX=u,方差DX=o2,XI,X2,X3是来自总体XH勺简朴随机样本，则卜列U的估计量中最有效的是

（B）

A.—X]4—X-1—B.—X]HX,d—X,

4122243313233

342I21

C.jxt^-x2-jx3D.-x,4-^x24--x3

1.若事件两两独立，则下列结论成立H勺是（B）。

A.互相独立B.两两独立

C.D.互相独立

2.持续型随机变量X的密度函数f（x）必满足条件（C）。

A.0</（x）<lB.在定义域内单调不减

C.ff{x}dx-1D.limf（A）=1

3.设是任意两个互相独立的持续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（B

A.必为密度函.......B.必为分布函数

C.必为分布函.......D.必为密度函数

4.设随机变量X,Y互相独立，且均服从[0,1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（B）。

A...........B.（X.Y）C...............I）....Y

5.设为原则正态分布函数，

且，互相独立。令，则由中心极限定理知H勺分布函数近似于（B）。

A.........B............C....I）.

三（5）、市场上发售的某种商品由三个厂家同步供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、

第二、第三厂家的次品率依次为2%,2%,4%。若在市场上随机购置一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的I

概率为多少？

解设表达产品由第i家厂家提供，i=l,2,3：B表达此产品为次品。

则所求事件的概率为

-xO.O2

p（AIB）=尸（4।B）=________________P（A）P（8IA）_________________

________2_____________=

1P（B）P（A）P（3|A）+P（A）P（8|4）+尸（4）P（8|4）

-x0.02+-x0.02+-x0.04

244

答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。

三(6)、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25乐35%、40%,次品率分别为0.03.0.02.0.01。现从所有

的产品中抽取一种产品，试求(1)该产品是次品的I概率；(2)若检查成果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的J

概率是多少？

解：设，，表达甲乙丙三车间加工的产品，B表达此产品是次品。

(I)所求事件口勺概率为

P(3)=P(4)P(814)+~(4)P(例A?)+a4)P(814)=0.25X().03+0.35x().02+0.4x0.01=().0185

P(4)P(6|4)_0.35x002

(2)P(A|8)=

P(B)0.0185

答：这件产品是次品的概率为0.0185,若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。

三(7)、一种机床有1/3的时间加工零件A,其他时间加工零件B。加工零件Aft停机的概率是0.3,加工零件A时停机的概

率是0.4.求(1)该机床停机的概率；(2)若该机床已停机，求它是在加工零件A时发生停机的概率。

解：设，，表达机床在加工零件A或B,D表达机床停机。

3)机床停机夫口勺概率为

1211

P(B)=P(C1).P(D|CI)+P(C2).P(D|A2)=-XO.3+-XO.4=—

(2)机床停机时正加工零件A的概率为

XQ，3

P(CJ.P(力|CJ=3_3

三＜8)＞甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的I零件数量之比为5:3:2,各机床所加工的零件合格率依

次为94%,90%,95%。现从加工好的整批零件中随机抽查一种，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。

解设，，表达由甲乙丙三机床加工，B表达此产品为废品。(2分)

则所求事件的概率为

p(AIB)=尸⑷8)=/(A)P(8IA)==3

P(B)£P(4)P(8|A)0.5x0.06+0.3x0.10+0.2x0.057

答：此废品是甲机床加工概率为3/7。

三(9)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5%、15%、30%、50%,乘坐这几种交

通工具能准期抵达的概率依次为100%、70%、60%、90%。已知该人误期抵达，求他是乘坐火车的概率。

（10分）

解：设，，，分别表达乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表达误期抵达。

0.15x0.3

则p⑷⑻二驾国二粤要包=0.209

夕⑻之P（4）P（8|4）0.05x0+0.15x0.3+0.3x0.4+0.5x0.1

1=1

答：此人乘坐火车的概率为0.209o

三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5%、15%、30%、50%,乘坐这几种交

通工具能准期抵达的概率依次为100%、70%、60%、90%。求该人准期抵达的概率。

解：设，，，分别表达乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表达准期抵达。

则p（8）=Z-（A）尸（814）=0.05X1+0.15X0.7+0.3X0.6+0.5x0.9=0.785

1-1

答：准期抵达的概率为0.785。

四（1）设随机变量才的概率密度函数为

/（X）=

0,其它

求（1）力；（2）¥的分布函数尸（力：（3）（0.5</<2）o

4」A21IA.

解：⑴口@3Axclx=一厂n=—=1

2°2

A=2

(2)当F(A)=J'/(rk/r=O

当04xv1时，F(x)=f(t)di=J：2tdf=x2

当x21时，F(x)=J：/⑺力=J；2/力=1

0,x<0

2

故F(x)=*xy0<x<1

1,x>l

(3)P(1/2<X<2)=F(2)—F(l/2)=3/4

四（2）、已知持续型随机变量尸的概率密度为

kx+1,0<x<2

fM

0,其它

求(])衣；(2)分布困数尸％)；(3)P(1.5</<2.5)

解•⑴J：f(X添=J；(依+1必=(专/+%)g2k+2=1

k=-\!2

(2)当x<0W,F(x)=[tfWt=0

2

当0Kx<2时，F(x)=j'f(t\lt=(-0.5/+1>//=--+x

当x22时,F(x)==rfwt=i

Jy

0,A<0

x2

故尸(%)二•丁乂0<x<2

1,x>2

(3)P(1.5<X<2.5)=F(2.5)—F(1.5)=l/16

四(3)、已知持续型随机变量1的概率密度为

fM=0<x<1

其它

求(1)a；(2)X的分布函数尸(x)；(3)P(/>0.25)(.

解⑴匚小"=。«小=|〃=1

〃=3/2

(2)当工<面，F(x)=j\f(t)dt=O

当0<x<1时，F(x)=J：14tdt=/门

当x21时，尸(幻=「fWt=I

0.x<0

故尸")=•”2,O<x<l

1,X之1

(3)P(X>l/4)=1—F(l/4)=7/8

四(4)、已知持续型随机变量XH勺概率密度为

[2x,xe(0,A)

x)=[0,其它

求(1)力；(2)分布函数尸J)；(3)P(-0.5<J<l)o)

解:⑴匚，(x"=J：2际=A?=i

A=\

x

(2)当x<Otb：,F(x)=jf(t)dt=O

当04x<1时，F(x)=f(t)dt=j：2岫=x2

当工之时，F(X)=£/(/)JZ=1

0,x<0

故"(x)=-2,0<x<l

1,x>1

(3)P(-0.5<X<1)=F(D—F(-0.5)=1

四(5)、已知持续型随即变量X的概率密度为

[金，"

fM=TIT?1

[o,其它

求(1)c：(2)分布函数”(*)；(3)P(7.5</<0.5)o

(1)|f(xyix=jf—dx=carcsinx^_x=c7r=\

解:

C=\!7T

⑵当“<-1时，尸a)=r/w=o

当一14.rV1时,F(x)=「'=f—Jdt=—arcsint\x.

4/Ji兀

1.K、

=—(zarcsin.r+—)

712

当xNl时，F(x)=|A/(；X/z=I

0,x<-]

故F(x)=^—(arcsinx+-),—I<X<1

冗2

1,x>\

(3)P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=l/3

四（6）、已知持续型随机变量XRJ分布函数为

F(©={A+&2，x>0

0,其它

求(1)A,B；(2)密度函数f(x)；(3)P(1<X<2)。

(I)limF(x)=A=\

A-

解：limF(x)=A+B=O

x->04

B=-\

(2)

x>0

fM=4'(%)=•

0,x<0

(3)P(1<X<2)=「⑵一F(l)=e-"2一小2

四(7)、已知持续型随机变量¥的分布函数为

F(x)=A+^arctan.v

求(1)A,B；(2)密度函数f(x)；(3)P(1<X<2)0

(1)limFM=A+-B=]

1->♦82

解：limF(x)=A--B=O

x-2

A=1/2,B=\/TT

(2)

fW=FfM=1

乃(1+JC)

(3)P(0<X<2)=F(2)—F(0)=-arctan2

兀

四(8)、已知持续型随机变量1的分布函数为

0,x<0

F(x)=«A&,0<x<1

1,x>1

求(1)4(2)密度函数f(x)；(3)P(0<*0.25)。

⑵

(1)limF(x)=A=11

解：7O<A<1

f(x)="r)=访'

A=\

0,其他

(3)P(OOKO.25)=1/2

四(9)、已知持续型随机变量分布函数为

尸(x)二厂

0,x<2

求(1)J：(2)密度函数f(⑼；(3)夕(0W*W4)。

、解：

(3)P(0<X<4)=3/4

四(10)、己知持续型随机变量X口勺密度函数为

2x

X€(0,。)

0,其它

求(1)a：(2)分布函数歹(%):(3)P(-0.5<X<0.5)o

⑵当x<0H，F(x)=frf(^=0

S0<x<M,

解ac加3x2耐，F(x)=1=1

。=力0,i<0

1

r

故F(x)=0<I<^

n'

LX>lt

(3)P(0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(0.5)=—亍

^7l~

五(1)、设系统L由两个互相独立的子系统Ll：L2并联而成,且LI.L2的寿命分别服从参数为的指数分布。求系统L的寿

命Z的密度函数。

解:令X、Y分别为子系统L1.L2的寿命,则系统L『、J寿命Z=max(X,Y)»

显然，当zWO时,FZ(z)=P(ZWz)=P(max(X,Y)Wz)=O：

当z〉0时，FZ(z)=P(ZWz)=P(max(X,Y)Wz)

=P(辰z,Y^z)=P(&2)=二这5必［；"Sdy=(l—e5Xl—e"：)。

因此，系统L的寿命Z的密度函数为

ae-y+pe卡—«+伊屋“4”z>0

fz(z)=—F7(Z)=<

dz0,z<0

五(2)、已知随机变量X〜N(0,1),求随机变量Y=X2的密度函数。

解：当yWO时，FY(y)=P(YWy)=P(X2Wy)=0；

当y〉0时，FY(y)=P(YWy)=P(X2Wy)=

1^x2,2dx=lf-^=e-x2,2dx

J。而

因此，fY(y)=

五(3)、设系统L由两个互相独立的子系统L1.L2串联而成，且L1.L2的寿命分别服从参数为的指数分布。求系统L的寿

命Z的密度函数。

解：令X、Y分别为子系统LI、L2的寿命，则系统L的寿命Z=min(X,Y)。

显然，当zWO时,FZ(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=O；

当z>()时，FZ(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=l—P(min(X,Y)>z)

=1一P(X>z,Y>z)=l—P(X>z)P=Pae~aKdx^pe~pydy=1-.

因此，系统L的寿命Z口勺密度函数为

z>0

人=五云)=°,

z<()

五(4)、已知随机变量X〜N(0,1),求丫=X|的密度函数。

解:当yWO时，FY(y)=P(YWy)=P(|X|Wy)=O；

当y〉0时，FY(y)=P(YWy)=P(|X|Wy)=

因此，fY(y)=

五(5)、设随机向量(X,Y)联合密度为

4"(2x+3y)x>0,y>0;

fix,y)="

0,其它.

(l)求系数/：

(2)判断X,Y与否独立，并阐明理由:

(3)求P{0WXW2,0WYW1}。

解：(1)由：==

可得A=6a

(2)因(X,Y)有关X和Y的边缘概率密度分别为

fX(x)=和fY(y)=,

则对于任意的均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y),因此X与Y独立。

(3)P{0WXW2,OWYW1}=

=(-)(—eT']：)=(i_e")(1-eT).

五(6)、设随机向量(X,Y)联合窘度为

‘……，x>0.y>0;

f(%7)=­八

[0,其它.

(1)求系数求

(2)判断X,Y与否独立，并阐明理由；

(3)求P{0WXW1,OWYW1}。

解：(1)由1=

I"1田A

=A(——6曰)(一一e』)=_可得4=12。

304012

⑵因aY)有关X和Y的边缘概率密度分别为

fX(x)=和fY(y)=,

则对于任意的均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y),因此X与Y独立。

(3)P{OWXW1,OWYW1}=

dm

五(7)、设随机向量(X,Y)联合密度为

6.v,0<x<y<1;

fix、y)~'

0,其它.

(O求(X,Y)分别有关X和丫的边缘概率密度fX(x),tY(y)；

(2)判断X,Y与否独立，并阐明理由。

解：(1)当x<0或x>l时，fX(x)=0；

当OWxWl时，fX(x)=

因此，(X,Y)有关X的边缘概率密度fX(x)=

当y<0或y>l时,fY(y)=0：

当OWyWl时，fY(y)=

因此，(X,Y)有关Y的边缘概率密度fY(y)=

(2)由于f(1/2,1/2)=3/2,而fX(1/2)fY(1/2)=(3/2)*(3/4)=9/8^f(1/2,1/2),

因此，X与Y不独立。

干(8)、设二维随机向量(X.Y)的联合概率密度为

〃(、J"',0<x<y;

f5y)=(

[0,具它.

(1)求(X,Y)分别有关X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判断X与Y与否互相独立，并阐明理由,

解：(1)当x&O时，fX(x)=0；

当x>0时，fX(x)=

因此，(X,Y)有关XH勺边缘概率密度fX(x)=

当yWO时，fY(y)=0；

当y>0时,fY(y)=

因此，(X,Y)有关YH勺边缘概率密度fY(y)=

(2)由于f(1,2)=e-2,而fX(1)fY(2)=e-l*2e-2=2e-3Wf(1,2),

因此，X与Y不独立。

五(9)、设随机变量勺概率密度为

〃\卜二x>0

/W=b，其它

设F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的密度函数。

解：当y<0时，FY(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=O；

当y>l时，FY(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=l：

当OWyWl时，FY(y)=P(YWy)=P((F(X)Wy)=

=F(F-](y))=y

因此，fY(y)=

五(10)、设随机向量(X,Y)联合密度为

,、8Q，，0<x<y<l;

其它.

⑴求(X,Y)分别有关X和Y日勺边缘概率密度「X(x),fY(y)：

(2)判断X,Y与否独立，并阐明