2025秋通-用版《初中数学专题训练》八上答案

1类型1，A字型及其变∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐵𝐶+1.如图，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上，∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐵𝐷𝐶=150∘，∠𝐴𝐵𝐶=85∘ ,则∠𝐴的度 ,∠𝐶的度数为 解析：∵∠𝐵𝐷𝐶是△𝐴𝐵𝐷的外角，∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐷又∵∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐵𝐷𝐶= ,∴∠𝐴=∵∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐶=180∘，∴∠𝐶=180∘−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴=20∘类型2，飞∠𝐷=∠𝐴+∠𝐵+2（1）解：∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵+∠𝐶.理由如下：如图，连接𝐴𝐷并延长至点𝐹∵∠𝐹𝐷𝐶=∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐶，∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐷∴∠𝐹𝐷𝐶∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐷𝐴𝐶∠𝐶∠𝐵∠𝐵𝐴𝐷，即∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵+∠𝐶.（2）∘𝐷𝐸𝐷𝐹恰好经过点𝐵，𝐶，若∠𝐴=40∘，求∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐴𝐶𝐷的度数；解：由（1）知∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐴𝐶𝐷= ∵∠𝐵𝐷𝐶=90∘，∴∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐴𝐶𝐷= ∵∠𝐴=40∘，∴∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐴𝐶𝐷=90∘−40∘= ②如图3，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝑃，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝑃，∠𝐵𝑃𝐶=130∘，∠𝐴= ，求∠𝐵𝐷𝐶的度数解：由（1）可知，∠𝐴𝐵𝑃+∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐵𝑃𝐶−∠𝐴∵∠𝐵𝑃𝐶=130∘，∠𝐴=40∘，∴∠𝐴𝐵𝑃+∠𝐴𝐶𝑃=130∘−40∘= ∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝑃，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝑃1𝐵𝑃,∠𝐴𝐶𝐷=11𝐵𝑃,∠𝐴𝐶𝐷=1 22∠𝐴𝐶𝐷=1𝑃+1𝑃=1(∠𝐴𝐵𝑃∠𝐴𝐶𝑃)=1∘2222∴∠𝐴𝐵𝐷

90 由（1）可知，∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐴𝐶𝐷=40∘+45∘= 类型3，8字∠𝐴+∠𝐵=∠𝐶+3.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”.1中，△𝐴𝑂𝐵的内角∠𝐴𝑂𝐵与△𝐶𝑂𝐷的内角∠𝐶𝑂𝐷互为对顶角，则△𝐴𝑂𝐵与△𝐶𝑂𝐷为“对顶三角形”.根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠𝐴+∠𝐵=∠𝐶+∠𝐷.（12，在“对顶三角形”△𝐴𝑂𝐵与△𝐶𝑂𝐷中，∠𝐸𝐴𝑂𝐶，∠𝐷2∠𝐵，试说明∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐵;解：在“对顶三角形”△𝐴𝑂𝐸与△𝐶𝑂𝐷中，根据题中性质，可知∠𝐸𝐴𝑂+∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐶+∠𝐷∵∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐶，∴∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐷∵∠𝐷=2∠𝐵，∴∠𝐴𝐸𝑂=2∠𝐵又∵∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐸𝐴𝐵+ ,∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐵（2比∠𝐷𝐵𝐸大20∘，求∠𝐵𝐷𝑂的度数解：∵∠𝐸𝐶𝐷比∠𝐷𝐵𝐸大20∘，∠𝐸𝐶𝐷+∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐷𝐵𝐸+∠𝐵𝐷𝐶∴设∠𝐷𝐵𝐸=𝑥，∠𝐵𝐷𝐶=𝑦，则∠𝐸𝐶𝐷=𝑥+20∘，∠𝐵𝐸𝐶=𝑦− ∵∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐴，∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=180∘−∠𝐴=180∘−∠𝐵𝑂𝐷=𝑥+𝑦∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐸𝐶𝐷=𝑥+𝑦−(𝑥+20∘)=𝑦−20∘∵∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐷𝐶𝐵+∠𝐵𝐷𝐶= ∴𝑦−20∘+𝑦=180∘，解得𝑦= ∴∠𝐵𝐷𝑂= 2类型1双内角平分线模P是∠ABCACB

∠P=

1.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝑃是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线的交点，若∠𝑃2∠𝐴，则∠𝐴的度数为() 解析：∵点𝑃是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵

∴∠𝑃𝐵𝐶

2

，∠𝑃𝐶𝐵

12∴∠𝑃=

−∠𝑃𝐵𝐶−∠𝑃𝐶𝐵=

−1(∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵)=2

−12

−∠𝐴)=90∘+2∠𝐴.∵∠𝑃=2∠𝐴 ，∴∠𝐴= ∴

+∠𝐴=2

∠𝑃𝐵𝐶

3

13则∠𝑃与∠𝐴的关系 ，证明你的结论证明：由三角形的内角和定理，得∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=180∘−∠𝐴∵∠𝑃𝐵𝐶

1∠𝐴𝐵𝐶,∠𝑃𝐶𝐵31

1 3 ∴∠𝑃𝐵𝐶+∠𝑃𝐶𝐵

(∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵)3

3

−∠𝐴)=

−∠𝐴3∴∠𝑃=

−(∠𝑃𝐵𝐶+∠𝑃𝐶𝐵)=

−

+1∠𝐴=3

+1∠𝐴3∴∠𝑃与∠𝐴的关系为∠𝑃=

+1∠𝐴3

∠𝑃𝐵𝐶

4

4

与∠𝐴的关系 （直接写出答案，不需要证明解析 由三角形的内角和定理，得∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=180∘−∵∠𝑃𝐵𝐶

1∠𝐴𝐵𝐶,∠𝑃𝐶𝐵41

1∠𝐴𝐶𝐵4 ∴∠𝑃𝐵𝐶+∠𝑃𝐶𝐵

(∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵)4

4

−∠𝐴)=

−∠𝐴4∴∠𝑃=

−(∠𝑃𝐵𝐶+∠𝑃𝐶𝐵)=

−

+1∠𝐴=4

+1∠𝐴4∴∠𝑃与∠𝐴的关系为∠𝑃=

+14类型2一内角一外角平分线模O是∠ABC的平分线与外角∠ACD

∠O

123.如图，△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐴𝐷为∠𝐶𝐴𝐵的平分线，与∠𝐴𝐵𝐶的平分线𝐵𝐸交于点𝐸，𝐵𝐺是△𝐴𝐵𝐶的外角平分线，𝐴𝐷与𝐵𝐺相交于点𝐺，则∠𝐴𝐷𝐶与∠𝐺𝐵𝐹的度数和为( 解析：∵∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∴∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐶𝐵𝐴=90𝐴𝐸，𝐵𝐸分别平分∠𝐶𝐴𝐵，∠𝐶𝐵𝐴∴∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐸𝐵𝐴

1∠𝐶𝐴𝐵2

1∠𝐶𝐵𝐴=45∘.∵𝐵𝐺平分∠𝐶𝐵𝐹2∴∠𝐶𝐵𝐺

1∠𝐶𝐵𝐹.∵∠𝐶𝐵𝐸= 1

∠𝐶𝐵𝐴 ∴∠𝐺𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐺+∠𝐶𝐵𝐸

∠𝐶𝐵𝐹2

∠𝐶𝐵𝐴= 2∴∠𝐺=90∘−∠𝐵𝐸𝐺=90∘−45∘=45∘.∵∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐷𝐺∴∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐺𝐵𝐹=∠𝐵𝐷𝐺+∠𝐷𝐵𝐺=180∘−∠𝐺= 4.如图，点𝐸是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐵𝐷内部一点，满足∠𝐶𝐴𝐵=3∠𝐸𝐴𝐵，∠𝐶𝐵𝐷=3∠𝐸𝐵𝐷.若=42∘，则∠𝐸的度数 解析：设∠𝐸𝐴𝐵=𝑥,∠𝐸𝐵𝐷=𝑦,∵∠𝐶𝐴𝐵=3∠𝐸𝐴𝐵，∠𝐶𝐵𝐷=3∠𝐸𝐵𝐷∴∠𝐶𝐴𝐵=3𝑥,∠𝐶𝐵𝐷=3𝑦,∵∠𝐶=∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐶𝐴𝐵=3𝑦−3𝑥= ∴𝑦−𝑥=14∘，∴∠𝐸=∠𝐸𝐵𝐷−∠𝐸𝐴𝐵=𝑦−𝑥= 5.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=64∘，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐷的平分线交于点𝐴1，则∠𝐴1的度数 ∠𝐴1𝐵𝐶与∠𝐴1𝐶𝐷的平分线交于点𝐴2⋯⋯ ，则𝑛的最小值为 解析：∵∠𝐴𝐵𝐶的平分线与∠𝐴𝐶𝐷的平分线交于点𝐴1∴∠𝐴1𝐵𝐶

∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐷11211

1∠𝐴𝐶𝐷2

∠𝐴1=∠𝐴1𝐶𝐷−∠𝐴1𝐵𝐶=2(∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴𝐵𝐶)=2∴∠𝐴1

1∠𝐴=2

.同理可得∠𝐴2=

1 ∠𝐴𝑛=(∠𝐴𝑛=(

𝑛∠𝐴

64∘当∠𝐴𝑛的度数为1∘时，𝑛=6.∵∠𝐴𝑛的度数小于1∘，∴𝑛6.1，∠𝑀𝑂𝑁=90∘，点𝐴，𝐵分别在𝑂𝑀，𝑂𝑁上运动（不与点𝑂重合（1）若𝐵𝐶是∠𝐴𝐵𝑁的平分线，𝐵𝐶的反向延长线与∠𝐵𝐴𝑂的平分线交于点𝐷①若∠𝐵𝐴𝑂=60∘，则∠𝐷 解析 ∵∠𝐵𝐴𝑂= ,∠𝐴𝑂𝐵=90∘，∠𝐴𝐵𝑁是△𝐴𝐵𝑂的外角∴∠𝐴𝐵𝑁=∠𝐵𝐴𝑂+∠𝐴𝑂𝐵=60∘+90∘=150𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝑁，𝐴𝐷平分∴∠𝐴𝐵𝐶

1∠𝐴𝐵𝑁=2

,∠𝐵𝐴𝐷

1∠𝐵𝐴𝑂= 2∵∠𝐴𝐵𝐶是△𝐴𝐵𝐷的外角，∴∠𝐷=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐵𝐴𝐷=75∘−30∘= ②猜想：∠𝐷的度数是否随点𝐴，𝐵的移动发生变化？并说明理由解：∠𝐷的度数随着点𝐴，𝐵的移动不发生变化.设∠𝐵𝐴𝐷=𝑥，∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝑂，∴∠𝐵𝐴𝑂=2𝑥∵∠𝐴𝑂𝐵=90∘，∴∠𝐴𝐵𝑁=∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐵𝐴𝑂=90∘+2𝑥∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝑁，∴∠𝐴𝐵𝐶=

1∠𝐴𝐵𝑁=2

+𝑥∵∠𝐴𝐵𝐶是△𝐴𝐵𝐷的外角，∴∠𝐷=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐵𝐴𝐷=45∘+𝑥−𝑥=45∘ 故∠𝐷的度数随着点𝐴，𝐵的移动不发生变化.∘∘)∠𝐴𝐵𝐶

=1∠𝐵𝐴𝑂，其余条件不变，求∠𝐷的度数（用含𝛼，𝑛的代数式表示解：

∠𝐵𝐴𝐷=𝛽.∵∠𝐵𝐴𝐷

，∴∠𝐵𝐴𝑂= ∵∠𝐴𝑂𝐵=𝛼，∴∠𝐴𝐵𝑁=∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐵𝐴𝑂=𝛼+ ∵∠𝐴𝐵𝐶

1∠𝐴𝐵𝑁，∴∠𝐴𝐵𝐶

1(𝛼+𝑛𝛽)

1𝛼+ ∴∠𝐷=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐵𝐴𝐷

1𝛼+𝛽−𝛽

1 类型3双外角平分线模O是∠DBC与∠BCE

∠O=

7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷,𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐺，𝐶𝐺分别平分三角形的两个外角∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐹𝐶𝐵，则( A.∠𝐷

12

B.∠𝐷+∠𝐺=C.∠𝐷

1∠𝐺=2

∠𝐷=

+121

∠𝐷𝐵𝐶

2

∠𝐷𝐶𝐵

2

,∠𝐺𝐵𝐶∘

1∠𝐸𝐵𝐶21∠𝐺𝐶𝐵

∠𝐹𝐶𝐵,在△𝐵𝐷𝐶,△𝐵𝐶𝐺中利用三角形内角和定理进而求得∠𝐷=2

+∠𝐴2∠𝐺=

−1 ,即可得∠𝐷+∠𝐺= 28.已知∠𝑀𝑂𝑁,点𝐴，𝐵分别在射线𝑂𝑁,𝑂𝑀（不与点𝑂重合）,𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝑁,𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝑀,𝐴𝐷（或其反向延长线）与𝐵𝐶交于点𝐶.（1）如图1,若∠𝑀𝑂𝑁= ,请直接写出∠𝐴𝐶𝐵的度数解：∠𝐴𝐶𝐵= 解析 因为𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝑁,𝐵𝐶平分 ,所以∠𝐶𝐴𝐵因为∠𝐵𝐴𝑂+∠𝐴𝐵𝑂=180∘−∠𝐴𝑂𝐵=

2

,∠𝐶𝐵𝐴

1∠𝐴𝐵𝑀2所以∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐶𝐵𝐴=

1(∠𝐵𝐴𝑁+∠𝐴𝐵𝑀)2

1×2

−90∘)= 所以∠𝐴𝐶𝐵=180∘−∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐶𝐵𝐴= （2）如图2,若∠𝑀𝑂𝑁=𝛼 ,求当点𝐴,𝐵在射线𝑂𝑁,𝑂𝑀上运动的过程中,∠𝐴𝐶𝐵的度 解：因为𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝑁,𝐵𝐶平分 所以∠𝐶𝐴𝐵=

1∠𝐵𝐴𝑁,∠𝐶𝐵𝐴2

1∠𝐴𝐵𝑀2因为∠𝐵𝐴𝑂+∠𝐴𝐵𝑂=180∘−∠𝐴𝑂𝐵=180∘− 所以∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐶𝐵𝐴=所

1(∠𝐵𝐴𝑁+∠𝐴𝐵𝑀)= ∘

1

−

−𝛼)]=

+1 2∠𝐴𝐶𝐵=

−(∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐶𝐵𝐴)=

− 23类型1平移1.如图，点𝐴，𝐷，𝐵，𝐸在一条直线上，𝐴𝐷=𝐵𝐸，𝐴𝐶=𝐷𝐹，𝐴𝐶//𝐷𝐹.求证：𝐵𝐶=𝐸𝐹证明：∵𝐴𝐷=𝐵𝐸，∴𝐴𝐷+𝐵𝐷=𝐵𝐸+𝐵𝐷，即𝐴𝐵=𝐷𝐸.∵𝐴𝐶//𝐷𝐹，∴∠𝐴=∠𝐸𝐷𝐹𝐴𝐵=在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，{∠𝐴=∠𝐴𝐶=∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐵𝐶=𝐸𝐹类型2旋转2.如图，𝐴𝐵//𝐷𝐸，点𝐴，𝐶，𝐹，𝐷在同一直线上，添加下列条件仍不能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹 A.𝐵𝐶//𝐸𝐹，𝐴𝐹=B.𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐴𝐹=C.𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐵𝐶=D.𝐵𝐶//𝐸𝐹，𝐵𝐶=解析：∵𝐴𝐵//𝐷𝐸，∴∠𝐴=∠A项，∵𝐵𝐶//𝐸𝐹，∴∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐸𝐹𝐶，∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐹𝐸𝐴𝐹=𝐶𝐷，∴𝐴𝐹𝐶𝐹=𝐶𝐷𝐶𝐹∴𝐴𝐶=𝐷𝐹∠𝐴=∠𝐷，𝐴𝐶=𝐷𝐹，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐹𝐸，∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(ASA)A项不符合B项，由𝐴𝐹=𝐶𝐷，可得𝐴𝐶=𝐷𝐹.又∵∠𝐴=∠𝐷，𝐴𝐵=𝐷𝐸，∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)项不符合题意C项，当∠𝐴=∠𝐷，𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐵𝐶=𝐸𝐹时，由“SSA”不能得出△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹C项符合题 ,∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐹𝐸.∵∠𝐴=∠𝐷，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐹𝐸，𝐵𝐶=，∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(AAS)D项不符合题意3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐴𝐵上一点，𝐸为𝐴𝐶的中点，连接𝐷𝐸并延长至点𝐹，使得𝐸𝐹=𝐸𝐷，连接𝐶𝐹.（1）试判断𝐶𝐹与𝐴𝐵解：𝐶𝐹//𝐴𝐵.∵𝐸为𝐴𝐶的中点，∴𝐴𝐸=𝐶𝐸𝐴𝐸=在△𝐴𝐸𝐷和△𝐶𝐸𝐹中，{∠𝐴𝐸𝐷=𝐷𝐸=∴△𝐴𝐸𝐷≌△𝐶𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐹∴𝐶𝐹//𝐴𝐵（2）若∠𝐴𝐵𝐶=50∘，𝐶𝐴平分∠𝐵𝐶𝐹，求∠𝐴的度数解：∵𝐶𝐴平分∠𝐵𝐶𝐹，∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐹∵∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐹，∴∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐵∵∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=180∘，∠𝐴𝐵𝐶= ∴2∠𝐴=130∘，∴∠𝐴= 类型3对称4.如图，在四边形𝐴𝐶𝐵𝐷中，点𝑃在对角线𝐴𝐵上，连接𝑃𝐶，𝑃𝐷,∠1=∠2，∠3=∠4（1）△𝐵𝐷𝑃≌△𝐵𝐶𝑃证明：∵∠1=∠2，∴∠𝐷𝑃𝐵=∠𝐶𝑃𝐵∠𝐷𝑃𝐵=在△𝐵𝐷𝑃和△𝐵𝐶𝑃中，{𝑃𝐵=∠3=∴△𝐵𝐷𝑃≌△𝐵𝐶𝑃(𝐴𝑆𝐴)（2）𝐴𝐷=𝐴𝐶解：通 由（1）知，△𝐵𝐷𝑃≌△𝐵𝐶𝑃，∴𝐷𝑃=𝐶𝑃𝐴𝑃=在△𝐴𝐷𝑃和△𝐴𝐶𝑃中，{∠1=∠𝐷𝑃=类型4手拉手模

∴△𝐴𝐷𝑃≌△𝐴𝐶𝑃(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝐷=𝐴𝐶条件：𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸.结论：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸5.如图,在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐹中，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐹=90∘，𝐴𝐸=𝐴𝐵,𝐴𝐶=𝐴𝐹,𝐸𝐶与𝐵𝐹相交于点𝑀.（1）求证：𝐸𝐶=𝐵𝐹证明：∵∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐹= ∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐹+∠𝐵𝐴𝐶，即∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐹𝐴𝐸=在△𝐶𝐴𝐸和△𝐹𝐴𝐵中，{∠𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐶=∴△𝐶𝐴𝐸≌△𝐹𝐴𝐵(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐸𝐶=𝐵𝐹（2）求证：𝐸𝐶⊥𝐵𝐹证明：如图，设𝐴𝐶与𝐵𝐹交于点𝑂．由（1）知△𝐶𝐴𝐸≌△𝐹𝐴𝐵，∴∠𝐴𝐹𝑂=∠𝑂𝐶𝑀∵∠𝐴𝑂𝐹=∠𝐶𝑂𝑀，∴∠𝑂𝑀𝐶=∠𝑂𝐴𝐹= ，∴𝐸𝐶⊥𝐵𝐹（3）若∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐹=𝑚∘(𝑚≠ （1（2）解（1）中的结论（2）中的结论不成立．理由如下∵∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐹= ∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐹+∠𝐵𝐴𝐶，即∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐹𝐴𝐸=在△𝐶𝐴𝐸和△𝐹𝐴𝐵中，{∠𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐶=∴△𝐶𝐴𝐸≌△𝐹𝐴𝐵(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐸𝐶=𝐵𝐹∴(1)中的结论成立设𝐴𝐶与𝐵𝐹交于点𝑁，由△𝐶𝐴𝐸≌△𝐹𝐴𝐵，得∠𝐴𝐹𝑁=∠𝑀𝐶𝑁∵∠𝐴𝑁𝐹=∠𝐶𝑁𝑀，∴∠𝐶𝑀𝑁=∠𝑁𝐴𝐹= ∴(2)类型5一线三等角模6.已知𝐷，𝐴，𝐸三点都在直线𝑚上，点𝐵,𝐶在直线𝑚同侧，且𝐴𝐵=𝐴𝐶（1）若∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐵𝐴𝐶①如图1，若𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，则𝐵𝐷与𝐴𝐸的数量关系 ，𝐴𝐷与𝐶𝐸的数量关系 解析：∵∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐵𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐴𝐵𝐷，∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐴𝐵𝐷又∵∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐴𝐸𝐶，𝐵𝐴=∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(AAS)，∴𝐵𝐷=𝐴𝐸，𝐴𝐷=𝐶𝐸②2，猜想𝐵𝐷，𝐶𝐸与𝐷𝐸的数量关系并说明理由解：𝐷𝐸=𝐵𝐷+𝐶𝐸.理由如下：由(1)①同理可得△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸∴𝐵𝐷=𝐴𝐸，𝐴𝐷=𝐶𝐸，∴𝐷𝐸=𝐴𝐸+𝐴𝐷=𝐵𝐷+𝐶𝐸（2）3，若∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐴𝐸𝐶，𝐷𝐸=9cm,𝐵𝐷=7cm，点𝐴在线段𝐷𝐸上以2cm/s的速度由点𝐷向点𝐸运动，同时，点𝐶在线段𝐸𝐹上以𝑥cm/s的速度由点𝐸向点𝐹运动，它们运动的时间为𝑡(s)．是否存在𝑥，使得△𝐴𝐵𝐷与△𝐸𝐴𝐶全等？若存在，求出相应的𝑡值；若不存在，请说解：存在.当△𝐷𝐴𝐵≌△𝐸𝐶𝐴时，𝐵𝐷=𝐴𝐸,𝐴𝐷=𝐶𝐸∵𝐵𝐷=7𝑐𝑚,𝐷𝐸=9𝑐𝑚,∴𝐴𝐸=7𝑐𝑚,∴𝐶𝐸=𝐴𝐷=2 ∴𝑡=1，此时𝑥=2当△𝐷𝐴𝐵≌△𝐸𝐴𝐶时，𝐴𝐷=𝐴𝐸,𝐵𝐷=𝐶𝐸∵𝐵𝐷=7𝑐𝑚,𝐷𝐸=9 ∴𝐴𝐷=𝐴𝐸=9𝑐𝑚，𝐷𝐵=𝐸𝐶=7𝑐𝑚2∴𝑡=𝐴𝐷=9，此时𝑥=7÷

=28 综上，当𝑥=2时，𝑡=1或当𝑥=28时，𝑡=9 4类型1倍长中线先将三角形的中线延长一倍，构造出全等三角形，再利用全等三角形的知识解题图 图 图3（1）1，已知𝐷为𝐵𝐶的中点，延长𝐴𝐷至点𝐸，使𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐵𝐸（2）2，已知𝐷为𝐵𝐶的中点，延长𝑀𝐷至点𝐸，使𝐷𝐸=𝑀𝐷，连接𝐶𝐸（3）3，已知𝐸为𝐷𝐶的中点，延长𝐹𝐸交𝐵𝐶的延长线于点𝐺1.如图,𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线,点𝐷在𝐴𝐵的延长线上且𝐴𝐶=𝐵𝐷,∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶.𝐶𝐷=2𝐶𝐸证明：如图 延长𝐶𝐸至点𝐹，使𝐸𝐹=𝐶𝐸，连接 ,则𝐶𝐹=2𝐶𝐸∵𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，∴𝐴𝐸=𝐵𝐸𝐵𝐸=在△𝐵𝐸𝐶和△𝐴𝐸𝐹中,{∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐸𝐶=∴△𝐵𝐸𝐶≌△𝐴𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆)∴∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐸𝐴𝐹，𝐵𝐶=𝐴𝐹∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐴𝐶+ ∵∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐶+ ∴∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐷𝐵𝐶𝐴𝐶=在△𝐶𝐴𝐹和△𝐷𝐵𝐶中，{∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐴𝐹=∴△𝐶𝐴𝐹≌△𝐷𝐵𝐶(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐶𝐹=𝐶𝐷∵𝐶𝐹=2𝐶𝐸,∴𝐶𝐷=2𝐶𝐸类型2截长补短2.如图,在△𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐵>𝐴𝐶,∠1=∠2,𝐷是边𝐵𝐶上的点，𝑃为𝐴𝐷上任意一点.−𝐴𝐶>𝑃𝐵−𝑃𝐶证明：如图，在𝐴𝐵上截取𝐴𝐸，使𝐴𝐸=𝐴𝐶，连接𝑃𝐸𝐴𝐸=在△𝐴𝐸𝑃和△𝐴𝐶𝑃中，{∠1=∠𝐴𝑃=∴△𝐴𝐸𝑃≌△𝐴𝐶𝑃(𝑆𝐴𝑆)，∴𝑃𝐸=𝑃𝐶在△𝑃𝐵𝐸中，𝐵𝐸>𝑃𝐵−𝑃𝐸∴𝐴𝐵−𝐴𝐸>𝑃𝐵−𝑃𝐶,∴𝐴𝐵−𝐴𝐶>𝑃𝐵−𝑃𝐶3.如图,𝐴𝐵//𝐶𝐷,𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶,𝐶𝐸平分∠𝐵𝐶𝐷,点𝐸在𝐴𝐷上.求证：𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐶𝐷证明：如图1，在𝐵𝐶上截取𝐵𝐹,使𝐵𝐹=𝐴𝐵，连接𝐸𝐹∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶,𝐶𝐸平分∠𝐵𝐶𝐷∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐹𝐵𝐸，∠𝐹𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐸𝐴𝐵=在△𝐴𝐵𝐸和△𝐹𝐵𝐸中，{∠𝐴𝐵𝐸=𝐵𝐸=∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐵𝐸(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐴=∠𝐵𝐹𝐸∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴∠𝐴+∠𝐷=180∘，∴∠𝐵𝐹𝐸+∠𝐷= ∵∠𝐵𝐹𝐸+∠𝐶𝐹𝐸=180∘，∴∠𝐶𝐹𝐸=∠𝐷∠𝐶𝐹𝐸=在△𝐹𝐶𝐸和△𝐷𝐶𝐸中，{∠𝐹𝐶𝐸=∠𝐶𝐸=∴△𝐹𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐸(𝐴𝐴𝑆),∴𝐶𝐹=𝐶𝐷∴𝐵𝐶=𝐵𝐹+𝐶𝐹=𝐴𝐵+𝐶𝐷5类型1底角或腰不确定时分类 A.40∘,40∘ B.80∘,20∘C.50∘ D.80∘,20∘或50∘解析：当该等腰三角形顶角的外角等于 相邻的两个内角的度数

1×2

=

；当该等腰三角形底角的外角等于 时，则它不相邻的两个内角为一个底角和一个顶角，底角度数为180∘−100∘=80∘100∘−80∘= 综上，与它不相邻的两个内角的度数分别为80∘，20∘或50∘ 如图，在3×3的方格中，𝐴，𝐵两点都在小方格的格点上，若点𝐶也在格点上，且△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，则点𝐶的个数为( 解析：如图，当𝐴𝐵为腰时，点𝐶2个(𝐶1𝐶2)，当𝐴𝐵为底边时，点𝐶个(𝐶3)，∴点𝐶1在等腰三角形𝐴𝐵𝐶中,∠𝐴=110∘,求∠𝐵的度数（答案：35∘2在等腰三角形𝐴𝐵𝐶中,∠𝐴=40∘,求∠𝐵的度数（40∘或70∘或100∘张老师启发同学们进行变式,变式在等腰三角形𝐴𝐵𝐶中,∠𝐴=80∘,求∠𝐵的度数若∠𝐴为顶角，则∠𝐵=

12

−∠𝐴)= 若∠𝐴为底角，∠𝐵为顶角，则∠𝐵=180∘−2×80∘= 若∠𝐴为底角，∠𝐵为底角，则∠𝐵=∠𝐴= 综上，∠𝐵的度数为50∘或20∘或 解完第（1）题后,小敏发现,∠𝐴的度数不同,得到的∠𝐵的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形𝐴𝐵𝐶中,设∠𝐴=𝑥,当∠𝐵有三个不同的度数时,请你探索𝑥的取值范围.①当90∘≤𝑥<180∘时，∠𝐴只能为顶角，此时∠𝐵的度数只有一个②当0∘<𝑥< 时若∠𝐴为顶角，则∠𝐵=180∘−𝑥2若∠𝐴为底角，∠𝐵为顶角，则∠𝐵=180∘−2𝑥若∠𝐴为底角，∠𝐵为底角，则∠𝐵=𝑥∵∠𝐵∴180∘−𝑥≠180∘−2𝑥且180∘−2𝑥≠𝑥且180∘−𝑥≠𝑥 ∴𝑥≠ 综上，当0∘<𝑥<90∘且𝑥≠60∘时，∠𝐵有三个不同的度数类型2高的位置不确定时分类等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ,求它的底角的度数①𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐷= ∴∠𝐴=60∘

∴∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐶

12

−∠𝐴)= ②𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐷= ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐷𝐴+∠𝐴𝐵𝐷= ∴∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐶

12

−∠𝐵𝐴𝐶)= 综上，它的底角的度数为30∘或 类型3腰的垂直平分线不确定时分类讨5.在△𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐵=𝐴𝐶,𝐴𝐵的垂直平分线交𝐴𝐵于点𝐷,交直线𝐴𝐶于点𝐸,连接𝐵𝐸,∠𝐴𝐸𝐵=80∘求∠𝐸𝐵𝐶的度数①当∠𝐵𝐴𝐶∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，∴𝐴𝐸=𝐵𝐸，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐸∵∠𝐴𝐸𝐵= ，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐸

1×2

−80∘)= ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐶

1×2

−50∘)= ∴∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐸= ②当∠𝐵𝐴𝐶∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，∴𝐴𝐸=𝐵𝐸，∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐸𝐵𝐴∵∠𝐴𝐸𝐵= ，∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐸𝐵𝐴

1×2

−80∘)=

，∴∠𝐵𝐴𝐶= ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐶

1×2

−130∘)= ∴∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐸𝐵𝐴+∠𝐴𝐵𝐶= 综上，∠𝐸𝐵𝐶的度数为15∘或 6类型1角平分线+垂线构造等腰三角如图，若𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，𝐸𝐷⊥𝑂𝐶，延长𝐸𝐷交𝑂𝐵于点𝐹，则△𝑂𝐸𝐷≌△𝑂𝐹𝐷，△𝑂𝐸𝐹是等腰1.如图，𝐷为△𝐴𝐵𝐶内一点，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐷⊥𝐶𝐷，∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐷，若𝐵𝐷=1，𝐵𝐶=3，则𝐴𝐶的长为( 解析：𝐵𝐷与𝐴𝐶交于点𝐸.∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐷，∴𝐵𝐸=𝐴𝐸𝐵𝐷⊥𝐶𝐷∴𝐵𝐸⊥𝐶𝐷∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐷，∴∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐵𝐸𝐶，∴𝐵𝐶=𝐶𝐸.∵𝐵𝐸⊥𝐶𝐷∴2𝐵𝐷=𝐵𝐸.∵𝐵𝐷=1，𝐵𝐶=3，∴𝐵𝐸=2,𝐶𝐸=3，∴𝐴𝐸=𝐵𝐸=2∴𝐴𝐶=𝐴𝐸+𝐸𝐶=2+3=52.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90∘ ，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐸⊥𝐶𝐷交𝐶𝐷的延长线于点𝐸.求证：𝐶𝐷=2𝐵𝐸.延长𝐶𝐴交𝐵𝐸的延长线于点𝐹.∵𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ，∴∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐹= ∠1=∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵,∴∠1=∠2.在△𝐶𝐸𝐹和△𝐶𝐸𝐵中，{𝐶𝐸=∠𝐶𝐸𝐹=∴△𝐶𝐸𝐹≌△𝐶𝐸𝐵(𝐴𝑆𝐴)，∴𝐸𝐹=𝐵𝐸，∴𝐵𝐹=2𝐵𝐸∠1=∵∠4=∠5，∴∠1=∠3.在△𝐴𝐶𝐷和△𝐴𝐵𝐹中，{𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐷=∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐵𝐹，∴𝐶𝐷=𝐵𝐹∴𝐶𝐷=2𝐵𝐸类型2等腰三角形+一边的平行线构造等腰三角图 图①作腰的平行线（1）.②作底边的平行线（若𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷𝐸//𝐴𝐶，则△𝐵𝐷𝐸为等腰三角形.若𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷𝐸//𝐵𝐶，则△𝐴𝐷𝐸为等腰三角形3.在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，点𝐸在𝐴𝐵边上，点𝐷在𝐶𝐵的延长线上，且𝐸𝐷=𝐸𝐶【特殊情况，探索结论】如图1，当𝐸为𝐴𝐵的中点时，确定线段𝐴𝐸与𝐷𝐵的大小关系， 𝐷𝐵.（填“>“<”或“=）【特例启发，解答题目】如图2，当点𝐸为𝐴𝐵边上任意一点时，确定线段𝐴𝐸与𝐷𝐵的大 𝐷𝐵（填“>“<”或“=，理由如下：如图2，过点𝐸作𝐸𝐹//𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点𝐹⋯ （请你完成解答过程为等边三角形，可得𝐴𝐵=𝐴𝐶,𝐴𝐸=𝐴𝐹=𝐸𝐹,∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵= ∴𝐴𝐵−𝐴𝐸=𝐴𝐶−𝐴𝐹,即𝐵𝐸=𝐹𝐶∵𝐸𝐷=𝐸𝐶，∴∠𝐷=∠𝐸𝐶𝐷∵∠𝐷𝐸𝐵=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐷=60∘−∠𝐷，∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐸𝐶𝐷=60∘−∠𝐸𝐶𝐷𝐷𝐸=∴∠𝐷𝐸𝐵=∠𝐸𝐶𝐹.在△𝐷𝐵𝐸和△𝐸𝐹𝐶中，{∠𝐷𝐸𝐵=∠𝐸𝐶𝐹𝐵𝐸=∴△𝐷𝐵𝐸≌△𝐸𝐹𝐶(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐷𝐵=𝐸𝐹∴𝐴𝐸=𝐷𝐵【拓展结论，设计新题】在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，点𝐸在𝐴𝐵的延长线上，点𝐷在𝐶𝐵的延长线上，且𝐸𝐷=𝐸𝐶，若△𝐴𝐵𝐶1，𝐴𝐸=2，求𝐶𝐷（请你直接写出结果，并画解：𝐶𝐷3，图形如图所示解析：解法提示：如图，当点𝐸在𝐴𝐵的延长线上时，作𝐸𝐹//𝐴𝐶交𝐶𝐵的延长线于点𝐹△𝐸𝐹𝐵为等边三角形，同（2）可证△𝐷𝐵𝐸≌△𝐶𝐹𝐸，∴𝐷𝐵=𝐹𝐶∴𝐷𝐵−𝐵𝐹=𝐹𝐶−𝐵𝐹,即𝐷𝐹=𝐵𝐶由𝐴𝐵=1，𝐴𝐸=2，易得𝐵𝐹=𝐵𝐸=1，𝐵𝐶=𝐴𝐵=1∴𝐶𝐷=𝐷𝐹+𝐵𝐹+𝐵𝐶=3类型3利用垂直平分线构造等腰三角如果题干中或待证明中出现几条线段之间的和差关系，一般考虑截长补短作辅助线解题.△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷1，在线段𝐵𝐷上取一点𝐸，使𝐷𝐸=𝐷𝐶，则△𝐴𝐶𝐸是等腰三角形.如图2，延长𝐵𝐶到点𝐸，使𝐷𝐸=𝐵𝐷，则△𝐴𝐵𝐸是等腰三角形.4.如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=120∘ ，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，且𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐷𝐶，求∠𝐶的度解：如图2，在线段𝐷𝐶上取一点𝐸，使𝐷𝐸=𝐵𝐷,连接𝐴𝐸.∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶𝐷𝐸=𝐵𝐷,∴𝐴𝐷垂直平分𝐵𝐸𝐴𝐵=𝐴𝐸（1，∴∠𝐵=∠𝐴𝐸𝐵（∵𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐷𝐶，∴𝐴𝐸+𝐷𝐸=𝐷𝐶又∵𝐸𝐶+𝐷𝐸=𝐷𝐶,∴𝐴𝐸=𝐸𝐶∴∠𝐶=∠𝐸𝐴𝐶,∴∠𝐵=∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶+∠𝐸𝐴𝐶=2∠𝐶∵∠𝐵+∠𝐶+∠𝐵𝐴𝐶=180∘，∠𝐵𝐴𝐶= ∴3∠𝐶+120∘=180∘，∴∠𝐶= （1）依据1： 依据2： 看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法：如图3，延长𝐷𝐵到点𝐸，使𝐵𝐸=𝐴𝐵，连接𝐴𝐸.请根据小创的思路写出完整的解题步骤.3，延长𝐷𝐵到点𝐸，使𝐵𝐸=𝐴𝐵，连接𝐴𝐸，则∠𝐸=∠𝐸𝐴𝐵∵𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐷𝐶，∴𝐵𝐸+𝐵𝐷=𝐷𝐶，即𝐸𝐷=𝐶𝐷又∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,∴𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐶∴𝐴𝐸=𝐴𝐶,∴∠𝐸=∠𝐶∵∠𝐸+∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶=180∘，∠𝐵𝐴𝐶= ∴3∠𝐶+120∘=180∘，∴∠𝐶= 类型4转化倍角构造等腰三角在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐴𝐶𝐵1,作𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶,则△𝐷𝐵𝐶是等腰三角形2,延长𝐶𝐵至点𝐷,使𝐵𝐷=𝐵𝐴,则△𝐴𝐷𝐵，△𝐴𝐷𝐶是等腰三角形3,作∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐵,𝐶𝐷交𝐵𝐴的延长线于点𝐷,则△𝐷𝐵𝐶是等腰三角形徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=2∠𝐶，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线．求证：𝐴𝐵𝐵𝐷=𝐴𝐶．小敏的证明思路：在𝐴𝐶上截取𝐴𝐸=𝐴𝐵，连接𝐷𝐸．（小洁的证明思路：延长𝐶𝐵至点𝐸，使𝐵𝐸=𝐴𝐵，连接𝐴𝐸.（3）2，在𝐴𝐶上截取𝐴𝐸=𝐴𝐵，连接𝐷𝐸∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐷𝐴𝐵=在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐸𝐷中，{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐷=∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐷(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐵𝐷=𝐷𝐸，∠𝐵=∠𝐴𝐸𝐷∵∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐸𝐷𝐶+∠𝐶，∠𝐵=2∠𝐶，∴∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐶，∴𝐷𝐸=𝐸𝐶∴𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐴𝐸+𝐷𝐸=𝐴𝐸+𝐶𝐸=𝐴𝐶3，延长𝐶𝐵至点𝐸，使𝐵𝐸=𝐴𝐵，连接𝐴𝐸，则∠𝐸=∠𝐵𝐴𝐸∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸+∠𝐵𝐴𝐸，∴∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐸∵∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐶，∴∠𝐸=∠𝐶，∴𝐴𝐸=𝐴𝐶∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐶∵∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐶，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐸=∠𝐶∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐷𝐴𝐸，∴𝐴𝐸=𝐷𝐸=𝐴𝐶，∴𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐵𝐸+𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐴𝐶71.同底数幂的乘法的运算性质：𝑎𝑚⋅𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛(𝑚，𝑛都是正整数)拓展：𝑎𝑚𝑎𝑛𝑎𝑝=𝑎𝑚+𝑛+𝑝(𝑚，𝑛，𝑝都是正整数)逆用：𝑎𝑚+𝑛=𝑎𝑚𝑎𝑛(𝑚，𝑛都是正整数)2.幂的乘方的运算性质：(𝑎𝑚)𝑛=𝑎𝑚𝑛(𝑚，𝑛都是正整数)逆用：𝑎𝑚𝑛=(𝑎𝑚)𝑛=(𝑎𝑛)𝑚(𝑚，𝑛都是正整数)3.积的乘方的运算性质：(𝑎𝑏)𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛(𝑛是正整数)拓展：(𝑎𝑏𝑐)𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛𝑐𝑛(𝑛是正整数逆用：𝑎𝑛𝑏𝑛=(𝑎𝑏)𝑛(𝑛是正整数)4.同底数幂的除法的运算性质：𝑎𝑚÷𝑎𝑛=𝑎𝑚−𝑛(𝑎≠0，𝑚，𝑛都是正整数，且𝑚>𝑛)拓展：𝑎𝑚÷𝑎𝑛÷𝑎𝑝=𝑎𝑚−𝑛−𝑝(𝑎≠0，𝑚，𝑛，𝑝都是正整数，且𝑚>𝑛+逆用：𝑎𝑚−𝑛=𝑎𝑚÷𝑎𝑛(𝑎≠0，𝑚，𝑛都是正整数，且𝑚>𝑛).5.零指数幂的性质：𝑎0=1(𝑎≠0).类型1幂的运算性质的 A.𝑎2⋅𝑎3= B.(−𝑎3𝑏)2=C.𝑎6÷𝑎3= D.(𝑎2)3=解析：𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，(−𝑎3𝑏)2=𝑎6𝑏2，𝑎6÷𝑎3=𝑎3，(𝑎2)3=𝑎62.计算−(𝑚−𝑛)3÷[2(𝑛−𝑚)2]的结果是 A.1(𝑛− B.2(𝑚− C.−2(𝑚− D.1(𝑚−2

−(𝑚−

÷[2(𝑛−

]=(𝑛−

÷[2(𝑛−𝑚)2]

1(𝑛−𝑚)23.已知𝑎，𝑏，𝑐为正整数，且满足2𝑎⋅3𝑏⋅4𝑐=384，则𝑎+𝑏+𝑐的取值不可能是 解析：根据题意，得2𝑎+2𝑐⋅3𝑏=27×3，∴𝑎+2𝑐=7，𝑏=1.∵𝑎，𝑏，𝑐∴当𝑐=1时，𝑎=5,𝑎𝑏𝑐=7；当𝑐=2时，𝑎=3,𝑎𝑏𝑐=6；当𝑐=3时，𝑎=1，𝑎+𝑏+𝑐=5.∴𝑎+𝑏+𝑐8．4.已知25𝑎⋅52𝑏=56，4𝑏÷4𝑐=4，则代数式𝑎−3𝑏+4𝑐的值 解析：∵25𝑎⋅52𝑏=56，∴(52)𝑎52𝑏=52𝑎+2𝑏=56，∴2𝑎2𝑏=6∴𝑎+𝑏=3.∵4𝑏÷4𝑐=4，∴4𝑏−𝑐=4，∴𝑏−𝑐=1∴𝑎−3𝑏+4𝑐=𝑎+𝑏−4𝑏+4𝑐=(𝑎+𝑏)−4(𝑏−𝑐)=3−4×1=5.已知2𝑎3，2𝑏6，2𝑐12，现给出𝑎,𝑏,𝑐之间的四个关系式：①𝑎𝑐2𝑏；②𝑎𝑏−3；③𝑏+𝑐=2𝑎+3；④𝑏=𝑎+2.其中正确的关系式 .（填序号解析：∵2𝑎2𝑐=2𝑎+𝑐=312=36，(2𝑏)2=22𝑏=62=36∴2𝑎+𝑐=22𝑏，∴𝑎𝑐=2𝑏,故①正确；∵2𝑎2𝑏=2𝑎+𝑏=36=18，(2𝑐)223=22𝑐−3=1228=18，∴2𝑎+𝑏=22𝑐−3，∴𝑎𝑏=2𝑐3，故②正确；∵2𝑏⋅2𝑐=2𝑏+𝑐=612=72，(2𝑎)223=22𝑎+3=3223=72，∴2𝑏+𝑐=22𝑎+3，∴𝑏𝑐=2𝑎3，故③正确；∵2𝑎22=2𝑎+2=34=12，2𝑏=6，∴2𝑎+2≠2𝑏，∴𝑎+2≠𝑏，故④不正确.综上，正确的关系式有6.（1）(𝑎5)3⋅(𝑎2)4÷𝑎12÷(𝑎2)5解：(𝑎5)3𝑎2)4𝑎12=𝑎15⋅𝑎8÷𝑎12÷=𝑎23÷𝑎12÷=𝑎（2）(−2𝑥2)3−𝑥⋅𝑥5+(−3𝑥3)2解：(−2𝑥2)3−𝑥⋅𝑥5+(−=−8𝑥6−𝑥6+=0类型2幂的运算性质的7.已知𝑎=240，𝑏=332，𝑐=424，则𝑎,𝑏,𝑐的大小关系为 A.𝑎<𝑏< B.𝑎<𝑐< C.𝑏<𝑎< D.𝑐<𝑏<解析：𝑎=240=(25)8=328，𝑏=332=(34)8=818，𝑐=424=(43)8=648.∵32<<81，∴𝑎<𝑐<𝑏8.已知2𝑎=10,2𝑏=5,2𝑐=80,则2𝑐−2𝑏+𝑎的值 解析：2𝑐−2𝑏+𝑎=2𝑐÷22𝑏⋅2𝑎=2𝑐÷(2𝑏)2⋅2𝑎=80÷52×10=80÷25×10=32.

×

+(

)2

×

32024)) ))

×

+(

)2

×

32 =

1)8)

×

+5×(5

2

×

132)5)

2=8

×

× =−1+=−8（2）0.252024×(−4)2025−8675×0.52026解：0.2520244)202586750.52=0.252024×(−4)2024×(−4)−(23)675×0.52=0.252024×(−4)2024×(−4)−22025×0.52=[0.25×(−4)]2024×(−4)−(2×0.5)2025×=(−1)2024×(−4)−12025×=−4−=−4.58类型1整式的混合运1.若−2𝑥2(3𝑥2−𝑎𝑥−6)−3𝑥3+𝑥2中不含𝑥的三次项,则𝑎=解析：−2𝑥2(3𝑥2−𝑎𝑥−6)−3𝑥3+𝑥2=−6𝑥4+2𝑎𝑥3+12𝑥2−3𝑥3+𝑥2=−6𝑥4+(2𝑎−3)𝑥3+13𝑥2.因为−2𝑥2(3𝑥2−𝑎𝑥−6)−3𝑥3+𝑥2中不含𝑥的三次项，所以2𝑎−3=0𝑎=322.（1）(𝑎1)(2𝑏𝑎(1𝑏2；解：(𝑎+1)(2−𝑏)−𝑎(1−𝑏)−2=2𝑎−𝑎𝑏+2−𝑏−𝑎+𝑎𝑏−=𝑎−𝑏（2）[𝑥(𝑥2𝑦2−𝑥𝑦)−𝑦(𝑥2−𝑥3𝑦)]÷(𝑥2𝑦)解：[𝑥(𝑥2𝑦2−𝑥𝑦)−𝑦(𝑥2−𝑥3𝑦)]÷(=(𝑥3𝑦2−𝑥2𝑦−𝑥2𝑦+𝑥3𝑦2)÷=(2𝑥3𝑦2−2𝑥2𝑦)÷=2𝑥𝑦−2类型2灵活运用乘法公（1）平方差公式：(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2（2）完全平方公式：(𝑎±𝑏)2=𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2.（1）(𝑥+𝑦−1)(𝑥+𝑦+1)−(𝑥−2𝑦)(𝑥+2𝑦)解：(𝑥+𝑦−1)(𝑥+𝑦+1𝑥−2𝑦)(𝑥+=(𝑥+𝑦)2−1−(𝑥2−=𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2−1−𝑥2+=5𝑦2+2𝑥𝑦−1（2）(𝑥+𝑦)2(𝑥−𝑦)2；解：(𝑥+𝑦)2(𝑥−𝑦)2=[(𝑥+𝑦)(𝑥−=(𝑥2−=𝑥4−2𝑥2𝑦2+𝑦4（3）(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)(𝑎2+𝑏2)(𝑎4+𝑏4)(𝑎8+𝑏8)(𝑎16+𝑏16)解：(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)(𝑎2+𝑏2)(𝑎4+𝑏4)(𝑎8+𝑏8)(𝑎16+=(𝑎2−𝑏2)(𝑎2+𝑏2)(𝑎4+𝑏4)(𝑎8+𝑏8)(𝑎16+=(𝑎4−𝑏4)(𝑎4+𝑏4)(𝑎8+𝑏8)(𝑎16+=(𝑎8−𝑏8)(𝑎8+𝑏8)(𝑎16+=(𝑎16−𝑏16)(𝑎16+=𝑎32−𝑏32变式(1+42)(1+44)(1+48)(1+416)解：(1+42)(1+44)(1+48)(1+=1(42−1)(1+42)(1+44)(1+48)(1+=1(44−1)(1+44)(1+48)(1+=1(48−1)(1+48)(1+=1(416−1)(1+=1(432−1)类型3整式的化简求4.先化简，再求值：(𝑥+2)(3𝑥−2)−2𝑥(𝑥+2)，其中𝑥=3解：(𝑥+2)(3𝑥−2)−2𝑥(𝑥+=3𝑥2−2𝑥+6𝑥−4−2𝑥2−=𝑥2−4当𝑥=3时，原式=32−4=55.先化简，再求值：[(3𝑎+𝑏)2+(𝑏+3𝑎)(𝑏−3𝑎)−6𝑏2]÷(2𝑏),其中𝑎=−1，𝑏=−23解：[(3𝑎+𝑏)2+(𝑏+3𝑎)(𝑏−3𝑎)−6𝑏2]÷(=(9𝑎2+6𝑎𝑏+𝑏2+𝑏2−9𝑎2−6𝑏2)÷=(−4𝑏2+6𝑎𝑏)÷=−2𝑏+3𝑎当𝑎=−1，𝑏=−23

=−2×(−2)+3×

1)=4−1=3139类型1直接利用提公因式法或公式1.（1）(𝑥−1)+𝑏2(1−𝑥)= 解析：(𝑥−1)+𝑏2(1−𝑥)=(𝑥−1)−𝑏2(𝑥−1)=(𝑥−1)(1−𝑏2)=(𝑥−1)(1−𝑏)(1+)（2）−3𝑥7+24𝑥5−48𝑥3= 解析：−3𝑥7+24𝑥5−48𝑥3=−3𝑥3(𝑥4−8𝑥2+16)=−3𝑥3(𝑥2−4)2=−3𝑥3(𝑥+2)2(𝑥−2)2.（3）(𝑚+𝑛)2−10(𝑚+𝑛)+25= 解析：(𝑚+𝑛)2−10(𝑚+𝑛)+25=(𝑚+𝑛−2.已知𝑎(𝑎+1)−(𝑎2+2𝑏)=1,则𝑎2−4𝑎𝑏+4𝑏2−2𝑎+4𝑏的值 因为𝑎(𝑎+1𝑎2+2𝑏)=1，所以𝑎2+𝑎−𝑎2−2𝑏=1，所以𝑎−2𝑏=1𝑎2−+4𝑏2−2𝑎+4𝑏=(𝑎−2𝑏)2−2(𝑎−2𝑏)=(𝑎−2𝑏)(𝑎−2𝑏−2).当𝑎−2𝑏=1时，(𝑎−𝑎−2𝑏−2)=1×(1−2)=−1类型2先变形再利用提公因式法或公式3.（1）(𝑥+1)2−2(𝑥+5)= 解析：(𝑥+1)2−2(𝑥+5)=𝑥2+2𝑥+1−2𝑥−10=𝑥2−9=(𝑥+3)(𝑥−3)（2）(𝑐+𝑏)(𝑐−𝑏)−𝑎(𝑎−2𝑏)= (𝑐+𝑏)(𝑐−𝑏)−𝑎(𝑎−2𝑏)=𝑐2−𝑏2−𝑎2+2𝑎𝑏=𝑐2−(𝑏2−2𝑎𝑏+𝑎2)=𝑐2−(𝑏−𝑎)2=(𝑐+𝑏−𝑎)(𝑐−𝑏+𝑎)类型3十字相乘针对𝑥2+(𝑝+𝑞)𝑥+𝑝𝑞型的式子可以用十字相乘法，根据𝑥2+(𝑝+𝑞)𝑥+𝑝𝑞=(𝑥+𝑝)(𝑥+𝑞)进行因式分解.（1）(𝑥+1)(𝑥+5)=𝑥2+6𝑥+5（2）(𝑥−3)(𝑥−2)=𝑥2−5𝑥+6（3）(𝑦+4)(𝑦−2)=𝑦2+2𝑦−8发现：形如(𝑥+𝑝)(𝑥+𝑞)的两个多项式相乘，其结果一定为𝑥2+(𝑝+𝑞)𝑥+𝑝𝑞(𝑝，𝑞).因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有𝑥2+(𝑝+𝑞)𝑥+𝑝𝑞=(𝑥+𝑝)(𝑥+𝑞)，即可将形如𝑥2+(𝑝+𝑞)𝑥+𝑝𝑞的多项式分解因式成(𝑥+𝑝)(𝑥+𝑞)(𝑝，𝑞为整数).（1）用上面的方法分解因式：𝑎2+2𝑎−3= 解析：∵3+(−1)=2，3×(−1)=−3，∴𝑎2+2𝑎−3=(𝑎+3)(𝑎−1)（2）规律应用：若𝑎22𝑚4)𝑎8可用以上方法进行因式分解，求整数𝑚的所有可能值.解：∵−8=−1×8=−8×1=−4×2=−2×4，∴2𝑚−4=−18=7或2𝑚−4=−81=−72𝑚4=−42=−2或2𝑚4=−24=2，解得𝑚=5.5（舍去）或𝑚=−1.5（舍去）或𝑚=1或𝑚=3,∴𝑚=3或𝑚=1.①(𝑎+𝑏)2+3(𝑎+𝑏)−10解：(𝑎+𝑏)2+3(𝑎+𝑏)−10=[(𝑎+𝑏5][(𝑎+𝑏2]=(𝑎+𝑏+5)(𝑎+𝑏−2)②𝑥4−5𝑥2+4解：𝑥4−5𝑥2+4=(𝑥2−4)(𝑥2−1)=(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+1)(𝑥−1)类型4分组分解法与拆①𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2−4=(𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2)−4=(𝑥−𝑦)2−22=(𝑥−𝑦+2)(𝑥−𝑦−2)②例如：𝑥2+2𝑥−3=𝑥2+2𝑥+1−4=(𝑥+1)2−22=(𝑥+1+2)(𝑥+1−2)=(𝑥+3)(𝑥−1)．仿照以上方法分解因式：（1）4𝑥2+4𝑥−𝑦2+1解：4𝑥2+4𝑥−𝑦2+1=4𝑥2+4𝑥+1−𝑦2=(2𝑥+1)2−𝑦2=(2𝑥+