苏科版九年级数学上册第1章《一元二次方程》解答专题测评【含答案】

苏科版九年级数学上册第1章《一元二次方程》解答专题测评解方程：3x2＝2（2﹣x）．2．解下列各方程（1）x2﹣20＝0；（2）x2﹣5x﹣6＝0；（3）3x2+5（2x+1）＝0；（4）（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0．3．已知关于x的方程mx2+（2m﹣3）x+m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．4．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使该方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝5﹣2x1x2，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．5．小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下：解不等式：x2﹣4＞0．解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），∴原不等式可化为（x+2）（x﹣2）＞0．∵两数相乘，同号为正，∴①或②由①得x＞2，由②得x＜﹣2，∴原不等式的解集为x＞2或x＜﹣2．请用以上方法解下列不等式：（1）x2﹣9＞0；（2）．6．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1．（1）如果方程根的判别式的值为1，求m的值．（2）如果方程有一个根是﹣1，求此方程的根的判别式的值．7．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册．（1）求这两年藏书的年平均增长率；（2）该校期望2022年底藏书量达到8.6万册，按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗？请通过计算说明．8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣5m2﹣3＝0．（1）当m＝1时，试求出该方程的解；（2）求证：不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根．9．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，因为（x+1）2≥0，所以（x+1）2+2≥2，所以x2+2x+3的最小值是2．（1）当x2+2x+3取最小值时，相应的x的值是；（2）求代数式x2﹣6x+13的最小值；（3）对于代数式：﹣x2+2x+4，请直接写出它的最值（请说明“最大值”或“最小值”）并写出此时相应的x的值．10．列方程解应用题：某网店以每件40元的价格购进一批T恤衫进行销售，当按每件50元出售时，每周可售出500件．经市场调查，该T恤衫的销售单价每涨1元，其每周的销售量会减少10件．网店每周希望获得8000元的利润，销售量又不能低于300件，问该T恤衫每件的售价应定为多少元？11．用长为6米的铅合金条制成如图所示的矩形窗框，其中EF∥AD∥BC，设窗框的高度为AD＝x米．（1）设窗框宽度AB为y米，则y＝米（用含x的代数式表示）；（2）当窗户的透光面积为1.5平方米时，请你计算出窗框的高和宽分别是多少米（铝合金条的宽度忽略不计）．12．某商场对某种商品进行销售调整．已知该商品进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，现进行降价处理．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求这两次中平均每次下降的百分率．（2）经调查，该商品每降价0.5元，平均每天可多销售4件．若要使每天销售该商品获利510元，则每件商品应降价多少元？13．某供应商今年2月第一周购进冰墩墩200个，因销售量火爆，第三周购进冰墩墩288个，若购进冰墩墩数量的周平均增长率相同．（1）求今年2月第二周购进冰墩墩多少个？（2）今年2月第一周，一个冰墩墩的售价定为100元，本周有m个冰墩墩没有售完；从第二周开始，供应商决定调整冰墩墩的售价，每个冰墩墩的售价在第一周的基础上，下降m元；由于冬奥赛事的火热进行，到第二周结束购进的冰墩墩全部售完，若这两周的总销售额为41500元，求m的值．14．如果关于x的一元二次方程x2+2（k+3）x+k2+3＝0有两个实数根α、β，且（α﹣1）2+（β﹣1）2＝18，求k的值．15．新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗．2021年七月，国家发布通知，12～17岁未成年人也可接种新冠疫苗．随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，北京生物制药厂现有1条生产线最大产能是42万支/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万支/天，现该厂要保证每天生产疫苗144万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？16．如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60m的篱笆围成，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为28m．（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）能否围成500平方米的矩形花园？若能求出BC长；若不能，说明理由．17．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1，x2，且x1，x2分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．（2）若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根．①若平行四边形ABCD是矩形，且m＝5时．求矩形的面积？②当m取何值时？平行四边形ABCD是菱形，并求菱形边长？19．已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0有两个相等的实数根．（1）请判断△ABC的形状；（2）当a＝5，b＝3时，求一元二次方程的解．20．某商场以每件220元的价格购进一批商品共900件，起初，商场按每件280元的价格销售该商品，每天可售出30件，销售两天后，为庆祝“618购物节”，商场决定开展降价促销活动，经调查发现：该商品每降价1元，平均每天可多售出3件．（1）若要使该商品每天的销售利润达到降价前的两倍，则每件商品应降价多少元？（2）在（1）的条件下，要使该商品尽快售完，需开展几天的降价促销活动？

参考答案1．解：方程整理得：3x2+2x﹣4＝0，∵Δ＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，∴x＝，解得：x1＝，x2＝．2．解：（1）x2﹣20＝0，x2＝20，x＝±2，所以x1＝2，x2＝﹣2；（2）x2﹣5x﹣6＝0，（x﹣6）（x+1）＝0，x﹣6＝0或x+1＝0，所以x1＝6，x2＝﹣1；（3）3x2+5（2x+1）＝0，3x2+10x+5＝0，Δ＝102﹣4×3×5＝40，x＝＝＝，所以x1＝，x2＝；（4）（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0，（x+2﹣3）（x+2+1）＝0，x+2﹣3＝0或x+2+1＝0，所以x1＝1，x2＝﹣3．3．解：根据题意得m≠0且Δ＝（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜且m≠0．所以m的取值范围为：m＜且m≠0．4．解：（1）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，且k﹣1≠0，∴，解得k且k≠1；（2）存在实数k，使该方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝5﹣2x1x2，理由如下：若x1、x2是（k﹣1）x2+3x+1＝0的两个实数根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∵x1+x2＝5﹣2x1x2，∴﹣＝5﹣，解得k＝，∵＜，∴k＝时，（k﹣1）x2+3x+1＝0有两个实数根，∴存在实数k＝，使该方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝5﹣2x1x2．5．解：（1）∵x2﹣9＞0，∴（x+3）（x﹣3）＞0，∴①或②，解①得x＞3；解②得x＜﹣3，故不等式x2﹣9＞0的解集为x＞3或x＜﹣3；（2）∵，∴①或②，解①得﹣1＜x＜1；解②无解．故不等式的解集为﹣1＜x＜1．6．解：（1）∵mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1．∴mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，∵Δ＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝1，整理得m2﹣2m＝0，解得m1＝0，m2＝2，∵m≠0，∴m＝2；（2）根据题意，将x＝﹣1代入方程得m+（3m﹣1）+2m＝1，整理，得：6m﹣2＝0，解得：m＝，原方程为，∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×＝．7．解：（1）设这两年藏书的年平均增长率为x，依题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：这两年藏书的年平均增长率为20%．（2）7.2×（1+20%）＝8.64（万册），∵8.64＞8.6，∴按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现．8．（1）解：当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣8＝0，分解因式得：（x+2）（x﹣4）＝0，所以x+2＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4；（2）证明：方程x2﹣2mx﹣5m2﹣3＝0，Δ＝（﹣2m）2﹣4（﹣5m2﹣3）＝24m2+12，∵m2≥0，∴Δ＝4m2+12＞0，∴不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根．9．解：（1）x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，因为（x+1）2≥0，所以（x+1）2+2≥2，所以当x+1＝0，即x＝﹣1时，x2+2x+3取最小值．故答案为：﹣1；（2）x2﹣6x+13＝x2﹣6x+9+4＝（x﹣3）2+4，因为（x﹣3）2≥0，所以（x﹣3）2+4≥4，所以代数式x2﹣6x+13的最小值为4；（3）﹣x2+2x+4＝﹣（x2﹣2x+1）+1+4＝﹣（x﹣1）2+5，因为（x﹣1）2≥0，所以﹣（x﹣1）2≤0，﹣（x﹣1）2+5≤5，所以当x﹣1＝0，即x＝1时，﹣x2+2x+4取最大值5．10．解：设该T恤衫每件的售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，每周的销售量为500﹣10（x﹣50）＝（1000﹣10x）件，依题意得：（x﹣40）（1000﹣10x）＝8000，整理得：x2﹣140x+4800＝0，解得：x1＝60，x2＝80．当x＝60时，1000﹣10x＝1000﹣10×60＝400＞300，符合题意；当x＝80时，1000﹣10x＝1000﹣10×80＝200＜300，不符合题意，舍去．答：该T恤衫每件的售价应定为60元．11．解：（1）依题意得：y＝米．故答案为：．（2）依题意得：x•＝1.5，整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，∴y＝＝＝1.5．答：窗框的高为1米，宽为1.5米．12．解：（1）设这两次中平均每次下降的百分率为x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：这两次中平均每次下降的百分率为10%．（2）设每件商品应降价y元，则每件的销售利润为（40﹣y﹣30）元，平均每天的销售量为48+4×＝（48+8y）件，依题意得：（40﹣y﹣30）（48+8y）＝510，解得：4y2﹣16y+15＝0，解得：y1＝2.5，y2＝1.5．答：每件商品应降价2.5元或1.5元．13．解：（1）设周平均增长率为x，根据题意得：200（1+x）2＝288，解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），∴200（1+0.2）＝240．答：今年二月第二周购进冰墩墩240个；（2）根据题意得：100（200﹣m）+（100﹣m）（240+m）＝41500，解得：m1＝10，m2＝﹣250（舍去）．答：m的值为10．14．解：∵x2+2（k+3）x+k2+3＝0有两个实数根α，β，∴α+β＝﹣2（k+3），αβ＝k2+3，Δ＝4（k+3）2﹣4（k2+3）≥0，解得k≥﹣1．∴（α﹣1）2+（β﹣1）2＝α2﹣2α+1+β2﹣2β+1，＝（α+β）2﹣2（α+β）﹣2αβ+2，＝4（k+3）2+4（k+3）﹣2（k2+3）+2，＝2k2+28k+44，＝2（k+7）2﹣54，解方程2（k+7）2﹣54＝18，得k1＝﹣1，k2＝﹣13（不合题意舍去），故所求k的值为﹣1．15．解：设应该增加x条生产线，则每条生产线的最大产能为（42﹣2x）万支/天，依题意得：（x+1）（42﹣2x）＝144，整理得：x2﹣20x+51＝0，解得：x1＝3，x2＝17．又∴要节省投入，∴x＝3．答：应该增加3条生产线．16．解：（1）设矩形花园BC的长为x米，则矩形花园AB的长为（60﹣x+2）米，依题意得：（60﹣x+2）x＝300，整理得：x2﹣62x+600＝0，解得：x1＝12，x2＝50，∵28＜50，∴x2＝50（不合题意，舍去），∴x＝12．答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米．（2）不能，理由如下：设矩形花园BC的长为y米，则矩形花园AB的长为（60﹣y+2）米，依题意得：（60﹣y+2）y＝500，整理得：y2﹣62y+1000＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣62）2﹣4×1×1000＝﹣156＜0，∴该方程无实数根，即不能围成500平方米的矩形花园．答：不能围成500平方米的矩形花园．17．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，∴Δ＞0，∴x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0总有两个不相等的实数根；（2）∵方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0的两根分别为x1，x2，∴x1•x2＝m（m+1），∵x1，x2分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱