江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2026届数学高二第一学期期末联考试题含解析

江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2026届数学高二第一学期期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第7项为（）A.101 B.99C.95 D.912．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为（）A. B.C. D.3．下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.4．已知等比数列{an}的前n项和为S，若，且，则S3等于（）A.28 B.26C.28或-12 D.26或-105．在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为（）A. B.C. D.6．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A. B.C.＋1 D.7．命题“，”的否定是（）A.， B.，C， D.，8．设变量，满足约束条件则的最小值为（）A.3 B.－3C.2 D.－29．已知直线过点，，则直线的方程为（）A. B.C. D.10．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）A B.C. D.11．如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（）A.当x增大时，θ先增大后减小 B.当x增大时，θ先减小后增大C.当d增大时，θ先增大后减小 D.当d增大时，θ先减小后增大12．函数，若实数是函数的零点，且，则（）A. B.C. D.无法确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在梯形中，，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______.14．在数列中，，，，若数列是递减数列，数列是递增数列，则______15．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数______16．如图所示，在正方体中，点是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与所成角的取值范围为____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直（1）求直线的一般式方程；（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程18．（12分）如图，已知圆锥SO底面圆的半径r=1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为.（1）求圆锥SO的侧面积；（2）若E为母线SA的中点，求二面角E-CD-B的大小.（结果用反三角函数值表示）19．（12分）已知的离心率为，短轴长为2，F为右焦点（1）求椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由20．（12分）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为.（1）证明：；（2）已知，为直线上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.21．（12分）王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6000元，她计划以此作为启动资金进行理投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续.设第n个月月底的投资市值为an.（1）求证：数列{-5000}为等比数列；（2）如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅（商场标价为12899元），将一年后投资市值全部取出来是否足够？22．（10分）已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足（1）求数列和的通项公式；（2）令求数列的前n项和；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据所给数列找到规律：两次后项减前项所得数列为公差为2的数列，进而反向确定原数列的第7项.【详解】根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：故选：C.2、B【解析】基本事件总数，再利用列举法求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件的个数，由此能求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率【详解】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数之和，基本事件总数，点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件有：，，，，，，，，共8个，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为故选：B3、B【解析】利用基本初等函数的导数和复合函数的导数，依次分析即得解【详解】选项A，，错误；选项B，，正确；选项C，，错误；选项D，，错误故选：B4、C【解析】根据等比数列的通项公式列出方程求解，直接计算S3即可.【详解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，当时，，所以，当时，，所以，故选：C5、B【解析】根据正方体的性质确定3条棱两两互为异面直线的情况数，结合组合数及古典概率的求法，求任选3条其中任意2条所在的直线是异面直线的概率.【详解】如下图，正方体中如：中任意2条所在的直线都是异面直线，∴这样的3条直线共有8种情况，∴任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为.故选：B.6、A【解析】设F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，根据圆的切线性质和三角形中位线得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用双曲线的定义求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立关系即可求得离心率的值.【详解】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故选A.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，联想到双曲线的另一个焦点，作辅助线，利用双曲线的定义是求解离心率问题的有效方法.7、D【解析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可【详解】命题“，”的否定是：，，故选：D.8、D【解析】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大，作出不等式组表示的可行域，数形结合即得解【详解】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线，平移该直线，当直线经过时，在轴上的截距最大，最小，此时，故选：D9、C【解析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.【详解】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为，即故选：C10、B【解析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a和纵截距b，面积为【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为令，得；令，得故所求三角形的面积为故选：B11、C【解析】以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d=0，则，由函数的单调性可判断；对于C，D，当x=0时，则，令，利用导函数研究函数的单调性可判断.【详解】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，则，所以，，设平面AMN的法向量为，则，即，令，则，设平面PMN的法向量为，则，即，令，则，，对于A，B选项，令d=0，则，显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误；对于C，D，对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，当在下方时，，设，则对于给定的，为定值，此时设二面角为，二面角为，则二面角为，且，故，而，故即，当时，为减函数，故为增函数，当时，为增函数，故为减函数，故先增后减，故D错误.当在上方时，，则对于给定的，为定值，则有二面角为，且，因，故为增函数，故为减函数，综上，对于给定的，随的增大而减少，故选：C.12、A【解析】利用函数在递减求解.【详解】因为函数在递减，又实数是函数的零点，即，又因为，所以，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可【详解】梯形ABCD：由题意可知空间几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的圆锥，几何体的体积为：故答案为：14、【解析】根据所给条件可归纳出当时，，利用迭代法即可求解.【详解】因为，，，所以，即，，且是递减数列，数列是递增数列或（舍去），，，故可得当时，，故答案为：15、##【解析】根据共轭复数的概念，即可得答案.【详解】由题意可知：复数（其中i为虚数单位）的共轭复数，故答案为：16、【解析】过作平面平面，得到在与平面的交线上，连接，证得平面平面，得到点在上，设正方体的棱长为，且，得到，，设与所成角为，利用向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】过作平面平面，因为点是底面内（含边界）的一点，且平面，则平面，即在与平面的交线上，连接，因为且，所以四边形是平行四边形，所以，平面，同理可证平面，所以平面平面，则平面即为，点在线段上，设正方体的棱长为，且，则，，可得，设与所成角为，则，当时，取得最小值，最小值为，当或时，取得最大值，最大值为故答案为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程；（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程【小问1详解】解：由题意知，解得，直线和的交点为；设直线的斜率为，与直线垂直，；直线的方程为，化为一般形式为；【小问2详解】解：设圆的半径为，则圆心为到直线的距离为，由垂径定理得，解得，圆的标准方程为18、（1）（2）【解析】（1）先根据母线与底面的夹角求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式即可（2）利用三角形的中位线性质，先求出二面角，然后利用二面角与二面角的互补关系即可求得【小问1详解】根据母线SA与底面所成的角为，且底面圆的半径可得：则圆锥的侧面积为：【小问2详解】如图所示，过点作底面的垂线交于，连接，则为的中位线则有：，，易知，则，又直径AB与直径CD垂直，则则有：为二面角可得：又二面角与二面角互为补角，则二面角的余弦值为故二面角大小为19、（1）；（2）存在点M满足条件，点M的坐标为.【解析】(1)根据给定条件直接计算出即可求解作答.(2)假定存在点，当直线l与x轴不重合时，设出l的方程，与椭圆C的方程联立，借助、斜率互为相反数计算得解，再验证直线l与x轴重合的情况即可作答.【小问1详解】依题意，，而离心率，即，解得，所以椭圆C的方程为：.【小问2详解】由(1)知，，假定存在点满足条件，当直线与x轴不重合时，设l的方程为：，由消去x并整理得：，设，则有，因，则直线、斜率互为相反数，于是得：，整理得，即，则有，即，而m为任意实数，则，当直线l与x轴重合时，点A，B为椭圆长轴的两个端点，点也满足，所以存在点M满足条件，点M的坐标为.【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆相交的问题，常把直线与椭圆的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由可证得平面，根据线面平行的性质可证得结论；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量求法可表示出，分别在、和三种情况下，结合基本不等式求得所求最大值.【小问1详解】四边形为正方形，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，.【小问2详解】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，由（1）知：，则可设，，，，设平面的法向量，则，令，则，，，设直线与平面所成角为，；当时，；当时，（当且仅当，即时取等号）；当时，；综上所述：直线与平面所成角正弦值的最大值为.21、（1）证明见解析（2）足够【