重庆市石柱土家族自治县第一初级中学校2025-2026学年九年级上学期第一次定时训练数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页重庆市石柱土家族自治县第一初级中学校2025-2026学年九年级上学期第一次定时训练数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下面运动标识图案中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．下列计算正确的是（）A． B．C． D．3．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．4．函数的图像可以由函数的图像通过如下平移得到（

）A．向左平移1个单位，再向上平移1个单位B．向左平移1个单位，再向下平移1个单位C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．向右平移2个单位，再向下平多1个单位5．如图所示的图形都是由同样大小的实心圆点按一定的规律组成的，其中第①个图形一共有7个实心圆点，第②个图形一共有10个实心圆点，第③个图形一共有14个实心圆点，……，按此规律排列下去，第5个图形中实心圆点的个数为（

）A．19 B．20 C．25 D．326．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（

）A．3 B． C．9 D．7．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染，若设1人平均感染人，依题意可列方程A． B．C． D．8．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，菱形中，对角线交于点，点是边上一点，连接，若，，则（

）A． B． C． D．10．已知整式，，其中，，，，，，，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法中：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③若，则一定不等于．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题11．国庆假期间，重庆市旅行社共组接团6369个，共组接团191000人．则数据191000用科学记数法表示为．12．如图，，直线分别与交于点E，F．若，则的度数是．13．若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为．14．已知：，则＝．15．如图，在矩形中，点O是对角线的中点，点M、N分别在边上，且过点O，若，则的长为．16．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且满足，那么称这个四位数为“增长数”．例如：四位数，∵，∴是“增长数”：又如：四位数，，不是“增长数”，若一个“增长数”为，则的值为；若一个“增长数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，结果能被整除，则满足条件的的最大值为．三、解答题17．解方程：(1);(2)．18．先化简，再求值：，其中．19．如图，在平行四边形中，点在线段上，，完成下列作图和证明过程．(1)尺规作图：作的角平分线交线段于点，连接，（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：．证明：∵，∴．又∵平分，∴．∴．∴．又∵，∴且．∴．又∵，∴四边形为菱形．∴（）．20．科大讯飞推出了“讯飞星火”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分）抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89；抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比A88b9645％B8888c40％根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中_______，______，______；(2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分、320人对Ｂ款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？21．如图，已知二次函数（）与一次函数的图象相交于，两点．(1)求，的值并写出两解析式．(2)求点的坐标(3)求．22．在矩形中，，，点P，Q分别从点B，点D同时出发，点P沿以每秒1个单位长度的速度运动，点Q以某一速度匀速沿运动，点P到达点D时点Q停止运动．点P的运动时间为x秒，的面积记为，的面积记为，关于x的图象如下，解答下列问题：(1)请直接写出与x之间的函数表达式并写出自变量的取值范围；(2)在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；(3)请结合你所画的函数图象，直接估计当时x的取值范围：________．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）．23．米小果等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多个，购买哪吒手办共需元，敖丙手办共需元．(1)求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？(2)经由米小果的争取，商家同意哪吒手办的单价降低元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了个，最终总费用比原计划多了元，求的值．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标；(3)将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线y，点N是原抛物线上一点，在新抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以B，C，N，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．25．已知，在中，，．(1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接、，若，且，求的度数；(2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接、，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：；(3)如图3，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，猜想：之间的数量关系并证明你的结论．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《重庆市石柱土家族自治县第一初级中学校2025-2026学年九年级上学期第一次定时训练数学试题》参考答案题号12345678910答案BCCCCADBDC1．B【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意，选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意，故选：B．2．C【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的化简、四则运算法则、完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键．根据以上知识点，分别对各选项进行计算和判断，即可求解．【详解】A、，本选项计算错误，故本选项不符合题意；B、，本选项计算错误，故本选项不符合题意；C、，本选项计算正确，故本选项符合题意；D、，本选项计算错误，故本选项不符合题意；故选：C．3．C【分析】由二次函数的顶点式即可得出结果．【详解】解：∵抛物线的顶点式为，∴顶点坐标为：，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式．4．C【分析】根据顶点的平移规律：左加右减，上加下减确定．【详解】函数的图像可以由函数的图像通过右平移2个单位，再向上平移1个单位．故选C【点睛】此题考查的是二次函数的平移，掌握二次函数平移的性质是解题的关键．5．C【分析】观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可．【详解】解：第①个图形中实心圆点的个数：7=4+1+2，第②个图形中实心圆点的个数：10=4+1+2+3，第③个图形中实心圆点的个数：14=4+1+2+3+4，•••∴第5个图形中实心圆点的个数为4+1+2+3+4+5+6=25，故选：C．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中实心圆点的个数的规律．6．A【分析】根据根与系数的关系先求出和的值，代入原式求解即可；本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根，∴，∴．故选：A．7．D【分析】此题可设1人平均感染人，则第一轮共感染人，第二轮共感染人，根据题意列方程即可．【详解】解：设1人平均感染人，依题意可列方程：，故选：D．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．8．B【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象和性质，首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定的取值范围，根据和的函数值可以判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴在y轴的右侧，∴，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴，∴，故①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴，∴；故②错误；∵对称轴为直线，，∴，∴，故③错误；根据图象可知，当时，，当时，，∴，即，故④正确．综上所述，正确的有①④，一共2个．故选：B．9．D【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，再根据三角形外角性质解答即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可得，，，进而得到．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，故选：．10．C【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键．①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；当时，存在满足条件的和使得，故可判断③．【详解】解：当时，，，∵，，且，∴，解得：，∴当时，，，∵，，∴，，故①符合题意；②当时，，∵为自然数，为正整数，∴取1，2，3，当时，∴，∴，此时有或或或或或；当时，∴，∴，此时有或或；当时，∴，∴，此时有，即当时，满足条件的整式M共有10个，故②符合题意；假设存在，此时使得，设，，当时，，当时，，∴，故存在（如），使得，故③不符合题意；故选：C．11．．【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．科学记数法的表示方法为：，其中，n为整数数位减1．据此解答即可．【详解】解：由题意得：，故答案为：．12．【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等即可解答，熟知平行线的性质是解题的关键．【详解】解：，，故答案为：．13．【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，得出一个关于的方程，解方程即可．【详解】解：把代入得，解得，故答案为：．14．【分析】利用”设k法”,用k表示出x、y、z,代入式子求值即可.【详解】设＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，所以，＝＝．故答案为：．【点睛】本题考查比例的性质,关键在于掌握常用的解题方法.15．16【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，证明得出，作于，设，则，，，再由勾股定理计算得出，即可得解．【详解】∵四边形是矩形，∴，∴，，∵点是对角线的中点，∴，∴，∴，作于，设，∵，∴，∴，∵点是对角线的中点，，∴是的中点，∴，∴，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∴，∴，解得：，∴，∴，故答案为：．16．【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是根据题意，则，解出；根据题意，找到满足的最大值，即可．【详解】解：∵“增长数”满足，∴“增长数”满足∴；∵一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且满足，那么称这个四位数为“增长数”∴，∴，∵一个“增长数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，∴，，，，，∵“增长数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，能被整除，∴是的倍数，∴是的倍数，当最大时，最大，∵，，，均不为，∴最大为，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴．故答案为：①；②．17．(1)(2)【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）∴，∴或，∴；（2）整理得：∴或，∴．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．18．；．【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的化简，负整数指数幂的运算等知识点，掌握这些是解题的关键．先将和分别化简，再将字母a化简得的值代入化简后的分式中计算即可．【详解】解：，，当时，原式．19．(1)见解析；(2)；；四边形为平行四边形；菱形对角线互相垂直．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；【详解】（1）解：如图所示，（2）证明：，，又平分，，，，又，且，四边形为平行四边形，又，四边形为菱形，（菱形对角线互相垂直）；故答案为：；；四边形为平行四边形；菱形对角线互相垂直；【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质，菱形的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型．20．(1)，，(2)A款AI聊天机器人更受用户喜爱，详见解析(3)此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有78人【分析】本题考查了扇形统计图，平均数的定义、中位数的定义、众数的定义，样本估计总体；（1）由扇形统计图及表格获取数据分别求出抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“不满意”、“满意”、“非常满意”、“比较满意”的人数，再由中位数的定义、众数的定义，即可求解；（2）从平均数、中位数、众数几个方面综合分析，即可求解；（3）A款“不满意”所占的百分比Ｂ款“不满意”所占的百分比，即可求解；理解平均数的定义、中位数的定义、众数的定义，会用样本求总体，能从扇形统计图及表格中获取正确的数据，并能根据数据进行分析决策是解题的关键．【详解】（1）解：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“不满意”的人数：（人），抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的人数：（人），抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“非常满意”的人数：（人），抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“比较满意”的人数：（人），；抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据的中位数是将这组数组按从小到大顺序排好后的第、个数的平均数，“不满意”的人数与“比较满意”的人数共：人，第、个数在评分为“满意”的数据中，第、个数为、，；抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据中出现最多的是数据，共个，；故答案为：，，；（2）解：A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：因为两款评分数据的平均数、众数都相同，但A款评分数据的中位数为分比B款的中位数88分高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）；（3）解：（人），答：此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有78人．21．(1)，，，(2)(3)3【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合问题，解一元二次方程．（1）根据待定系数法即可求得；（2）解析式联立，解一元二次方程即可求得B的坐标；（3）设直线与y轴的交点为G，则，利用求得的面积．【详解】（1）解：∵过点，∴，解得，∵一次函数的图象过点，∴，解得，∴，；（2）∵二次函数与一次函数的图象相交于，两点，∴，解得：（舍去），，∴，∴B的坐标为；（3）设直线与y轴的交点为G，则，∴．22．(1)(2)图象见详解，函数有最大值，最大值为6(3)或【分析】（1）通过三角形的面积公式即可求解；（2）根据题意画出函数图像，即可求解；（3）由函数图象可求解．【详解】（1）解：∵在矩形中，，，∴，，当时，，；当时，，，，综上所述，．（2）解：函数图像如图所示：函数的性质：函数有最大值，最大值为6．（3）解：由图象可得：当或时，．故答案为：或．【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．23．(1)哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元；(2)的值为【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；（1）设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；（2）由（1）得出计划购买敖丙手办个，哪吒手办个，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得，解得：经检验