安徽省部分学校2025-2026学年高二上学期9月大联考数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页安徽省部分学校2025-2026学年高二上学期9月大联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（

）A．1 B． C． D．43．已知圆锥的母线长为6，侧面积为，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．4．若，则（

）A． B．C． D．5．某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有7张抽奖券，其中3张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李能获得奖品的概率为（

）A． B． C． D．6．某班男生､女生人数之比为，对该班同学每周运动时间（单位：时）进行调查，得知男生每周运动时间的平均数为，方差为，女生每周运动时间的平均数为，方差为，则该班全体同学每周运动时间的方差为（

）A．5.2 B．5.3 C．5.4 D．5.57．如图，已知在中，为的中点，与相交于点.若，则（

）A． B． C． D．8．记的内角的对边分别为，已知的面积为为边的中点，且，则（

）A． B．3 C． D．4二、多选题9．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，且，则B．若，则C．若，则D．若，且，则10．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为B．直线是图象的一条对称轴C．方程的解集是D．的单调递增区间为11．如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则（

）A．直线与所成的角为B．C．二面角的余弦值为D．点到平面的距离为三、填空题12．已知正实数满足，则的最小值为.13．已知甲､乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为，乙每关闯关成功的概率均为，且甲､乙两人闯关成功与否互不影响，则甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率是.14．平面几何中的“相交弦定理”是指：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知是圆内的定点，为经过点的直径，且，若，则.

四、解答题15．某地教育局为了解该地高中生课下作业的负担情况，从该地高中学生中随机抽取了100名学生，统计这些学生完成课下作业日均用时（单位：时），并按照分组绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求的值；(2)估计该地高中生完成课下作业日均用时低于1.5小时的概率；(3)估计该地高中生完成课下作业日均用时的中位数.16．已知函数.(1)求的定义域；(2)证明：的图象关于直线对称；(3)若，求实数的取值范围.17．在中，内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，且，求的面积.18．已知函数的最小正周期为.(1)若是奇函数，求的值.(2)设函数.（i）求的值域；（ii）求方程在区间上的实根.19．如图，在三棱锥中，，分别为棱，的中点，，，，，．(1)若平面平面，求证：；(2)在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值；(3)若，为线段上一动点，求的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《安徽省部分学校2025-2026学年高二上学期9月大联考数学试题》参考答案题号12345678910答案DACBCCDBBCDAC题号11答案ACD1．D【分析】正确理解集合的含义，对中所有元素进行运算进而求解.【详解】根据题意可知，对，有且，因此考虑集合中所有元素，，，，，，.因此，.故选：D2．A【分析】根据复数的除法运算以及模长公式计算可得结果.【详解】由，可得，所以.故选：A3．C【分析】根据圆锥的侧面积公式和母线长求出圆锥的底面圆半径，再求出圆锥的高，代入圆锥的体积公式可求出圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长，由题意知，解得.所以圆锥的高，故圆锥的体积为.故选：C.4．B【分析】根据指数函数与幂函数的单调性，并找出中间量，求解即可.【详解】因为是减函数，所以，因为在单调递增，所以，故，所以，又是增函数，所以，所以.故选：B.5．C【分析】对奖券编号，用列举汪写出样本点，计数后由概率公式计算可得.【详解】设没有奖品的4张抽奖券分别为，有奖品的3张抽奖券分别为.随机抽出2张，所有可能的结果为，共21种，而小李获得奖品的结果为，，共15种，故小李能获得奖品的概率为.故选：C.6．C【分析】根据整体方差的计算公式即可求解.【详解】该班全体同学每周运动时间的平均数为，方差为，故选：C7．D【分析】根据条件，利用向量的线性运算得，，再由平面向量基本定理，可得，即可求解.【详解】，则，又三点共线，，又为的中点，，又，所以，又三点共线，，由平面向量基本定理知，，解得，所以，即，所以，故选：D.8．B【分析】根据条件，利用向量的中线公式和三角形面积公式得，进而得，再联立，即可求解.【详解】因为为边中点，则，所以，又，，则，又，则，所以①，又②，由①②解得或，又，则，所以，由，解得故选：B.9．BCD【分析】对于A，根据面面平行的判定定理分析判断；对于B，根据面面平行的性质和线面垂直的判定方法分析判断；对于C，根据线面平行的性质和线面垂直的性质分析判断；对于D，根据线面平行的性质和判定方法分析判断.【详解】对于A：根据平面与平面平行的判定定理，还需要与相交才能得到，故A错误；对于B：由，得，又，所以，故B正确；对于C：由，知存在过的平面与相交，令交线为，则，而，于是，因此，故C正确；对于D：由，知存在过的平面与相交，令交线为，则，而，于是，又，，因此，故D正确.故选：BCD10．AC【分析】对于A，利用周期公式求解；对于B，将代入进行判断；对于C，由求解判断；对于D，解不等式即可判断.【详解】对于的最小正周期为，故A正确；对于B，因为，所以直线不是图象的对称轴，故B错误；对于C，由，可得，所以，所以，故方程的解集为，故C正确；对于D，由，得，所以的单调递增区间为，故D错误.故选：AC11．ACD【分析】A选项，作出辅助线，得到直线与所成的角为，而为等边三角形，从而求出异面直线所成角；B选项，由于，而与相交，故B错误；C选项，作出辅助线，得到线线垂直，为二面角的平面角，求出各边长，求出；D选项，证明面面垂直，点到平面的距离等于点到的距离，即，故D正确.【详解】对于A，如图（1），连接分别为棱的中点，，则直线与所成的角为，而为等边三角形，则，故直线与所成的角为，故A正确.对于B，设为的中点，连接，如图（1），由于，而与相交，直线异面，故B错误；对于C，如图（2），记，则，连接，.又四边形为正方形，，故为二面角的平面角，又，在中，，故C正确.对于D，平面即平面，显然⊥平面，又平面，所以平面平面，故点到平面的距离等于点到的距离，即，在正方形中易得此距离为，故D正确.故选：ACD12．【分析】根据不等式的乘“1”法即可求解.【详解】由且，所以，当且仅当，即时取等号.故答案为：13．/【分析】根据题意，计算甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率，即计算成功关数为3或4的概率，根据甲，乙的闯关结果是独立的，可先分别计算出甲，乙分别闯关成功的概率，再结合两者的结果进行计算即可.【详解】设事件“甲有关闯关成功”，“乙有关闯关成功”，，则，，，，设甲、乙两人总共至少有三关闯关成功的事件为，则，.故答案为：.14．12【分析】由“相交弦定理”得到，，再结合由向量数量积的运算律即可求解.【详解】，，，，而，.故答案为：1215．(1)(2)0.25(3)2.1【分析】（1）根据频率分布直方图结合各组的频率和为1列方程可求出的值；（2）根据频率分布直方图求出完成课下作业日均用时低于1.5小时的频率，用频率来估计概率；（3）先判断中位数所在的区间，然后列式求解即可.【详解】（1）由，解得.（2）由频率分布直方图可知，样本中高中生完成课下作业日均用时低于1.5小时的频率为，所以估计该地高中生完成课下作业日均用时低于1.5小时的概率.（3）样本中前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，所以中位数位于内，故估计该地高中生完成课下作业日均用时的中位数为.16．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）由对数函数的定义域求解即可；（2）分别求出和的解析式即可证明结论；（3）求出，结合对数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）由,解得，的定义域是.（2），，的图象关于直线对称.（3），则需满足，且，解得，的取值范围是.17．(1)2(2)【分析】（1）根据题意，利用余弦定理可求的值；（2）先根据求出角，再利用正弦定理进行边化角化简，可得，从而求出，根据三角形面积公式得解.【详解】（1）由余弦定理可得，，.（2）.由及正弦定理得，，.结合，可得.的面积为.18．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）根据最小正周期得到，根据为奇函数，结合得到答案；（2）（i）利用三角恒等变换得到，从而求出值域；（ii）利用同角三角函数关系，并因式分解得到，又，求出，得到答案.【详解】（1）的最小正周期为，即.是奇函数，，.（2）（i）由题意知.的值域为.（ii）方程可化为，当时，.，，，，又.19．(1)证明见详解(2)(3)【分析】（1）根据面面垂直，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）先根据线线垂直，面面垂直，得到是直线与平面所成的角，再根据三角函数的定义及余弦定理求出的值，从而根据勾股定理求出的值，进而根据三角函数的定义即可求出答案；（3）连接，根据题意，结合（2）及勾股定理求出，，，从而得到，再将绕直线旋转得到，说明的最小值为，进而根据三角函数的定义，诱导公式及余弦定理即可求出即可．【详解】（1）由，为的中点，则，又平面平面，平面平面，则平面，又平面，所以．（2）