专题01一元二次方程（期中知识清单4知识9题型4易错4方法清单）九年级数学上学期苏科版

专题01一元二次方程（4知识&9题型&4易错&4方法清单）【清单01】一元二次方程的定义与一般形式1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的方程。2.一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。【清单02】一元二次方程的解法1.直接开平方法：适用于解形如x²=p或(mx+a)²=p（m≠0）的方程。当p≥0时，可直接开平方求解。2.配方法：将方程转化为(x+m)²=n的形式，其中一边是完全平方式，另一边是常数。当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程求解。配方法步骤：移项、二次项系数化为1、配方、开平方。3.公式法：b²4ac称为判别式，用Δ表示。Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程无实数根。4.因式分解法：将方程一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积。常用方法：提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。将方程转化为两个一元一次方程求解。【清单03】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）1.若方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x₁、x₂，则：x₁+x₂=x₁x₂=2.应用：验根：不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的两根。3.求根及未知数系数：已知一个根，求另一个根及未知数系数。4.求代数式的值：在不解方程的情况下，求关于x₁、x₂的代数式的值。5.求作新方程：已知方程的两个根，求一元二次方程的一般式。【清单04】一元二次方程的应用1.列一元二次方程解应用题的一般步骤：审：读懂题目，明确已知量、未知量及等量关系。设：设未知数，用含未知数的代数式表示相关量。列：根据等量关系列方程。解：解方程，求出未知数的值。验：检验方程的解是否符合题意。答：写出答案。2.常见题型：增长率问题：平均增长率公式a(1±x)²=b。利润问题：总利润=总销售价总成本，利润=成本×利润率。几何问题：涉及三角形、四边形、圆等图形的面积、边长、角度等关系。【题型一】一元二次方程的定义【例1】下列方程是一元二次方程的是（

）【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．故选：D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程整理成一般式，再根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．故选：．【答案】故答案为：．【题型二】一元二次方程的根A．1 B． C．2 D．【答案】C故选：C．A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．故选：C．【答案】4故答案为：4．【题型三】一元二次方程的应用（一）【例3】学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树676棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，则x的值为（

）【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用；设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据“第一年共植树400棵，第三年共植树676棵”列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得：故选：B．【变式31】一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（）A．36 B．63 C．36或63 D．或【答案】C故选：C．【变式32】有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感．每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，分别求出第一轮和第二轮传染后患流感的人数，即得方程．【题型四】一元二次方程根与系数关系【答案】C故选：C．【答案】故答案为：．【变式42】不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系．【题型五】解一元二次方程【例5】用适当的方法解下列方程【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．（2）用公式法解方程即可；【变式51】用适当的方法解下列方程【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．（1）两边除以2，开平方法解答；（2）利用因式分解法求解即可．【变式52】解方程【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．【题型六】一元二次方程的应用【例6】如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为米的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米．(1)用含的代数式表示长方形纸板的长为_________米，长方形纸板的宽为________米；(2)若图中阴影部分的面积为平方米，则纸盒的容积为多少立方米？【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了代数式，一元二次方程的应用，掌握长方体的体积公式是解题的关键．【详解】（1）解：纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米，故答案为：，；（2）图中阴影部分的面积为平方米，(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；(2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题：①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）；②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？【答案】(1)【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键．【详解】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为；∵想尽可能地减少库存，∴每把扇子应降价6元．【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：∵其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动∴此方程无解，【题型七】配方法的应用【例7】先阅读内容，再解决问题：【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键．【变式71】配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，请根据上述方法，解答下列问题：【答案】(1)，(2)最小值为，无最大值；【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键．（1）依据题意，由配方即可得到本题答案；（2）依据题意，先提出，再配方即可求最值．故答案为：2；1．【变式72】配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题．请通过阅读以上材料，解决以下问题：【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有（只填序号）；①11；②34；③39；④60．【答案】（1）②；（2）9；（3）16，理由见解析；（4）2025【分析】本题主要考查了偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）依据“完美数”的定义求解即可；所以②是完美数，故答案为：②；故答案为：9；要使为“完美数”，【题型八】换元法的应用【分析】本题考查了解高次方程，换元法解一元二次方程，解题的关键是正确利用换元的思想．解得______．在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想．【变式82】阅读下列材料：上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：(1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为．【答案】(1)，，，(2)【分析】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解；（1）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解．为正整数，这四个整数为，，，．故答案为：，，，．【题型九】一元二次方程的新定义(1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）．①请求出k的值；②求方程的两个根．【答案】(1)②④【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系．（1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；（2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可；故答案为：②④；【变式91】（2+4+4=10）综合与探究【探究】【猜想】【证明】请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可）【分析】本题主要考查一元二次方程的相关知识，熟练掌握一元二次方程的解法、求根公式以及对新定义“友好方程”的理解与运用是解题的关键．（1）依据“友好方程”的定义直接写出；（2）先写出“友好方程”，再用因式分解法求解；（3）先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积或和来推导关系．【详解】解：（1）依题意可得：，，【答案】(1)四(2)【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．（1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可；∴可设这个方程的两个根分别为，【题型一】根的判别式忽略前提A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况．故选：A．(1)求的取值范围；【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．（1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围；（2）解：是方程的一个实数根，【题型二】方程和几何结合取舍问题A．20 B．18 C．15 D．18或20【答案】A【分析】本题考查了三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握．运用因式分解法求出方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．∴第三边的长度为8，综上所述，只有A选项正确，符合题意，故选：A．【答案】16或12∴此时能够构成三角形；∴能够构成三角形；故答案为：12或16．(1)下列图形一定是邻等四边形的是．（填序号）①平行四边形

②菱形

③矩形

④正方形【答案】(1)④(2)见详解(3)见详解【分析】（1）根据“邻等四边形的定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条相邻的边相等，”即可解答．【详解】（1）解：根据题意可得一定是邻等四边形的是正方形，故答案为：④．【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．【题型三】可化为一元二次方程的分式方程未检验【答案】B故选：B．【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是明确解分式方程的步骤和方法，要注意分式方程要检验．按照解分式方程的步骤求出方程的解，再把解代入最简公分母检验．【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，先化为整式方程，再解一元二次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．【题型四】根与系数关系变形公式不熟A．2 B． C．6 D．【答案】C故选：C．【答案】1【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据方程的系数结合根与系数的关系解题即可．．故答案为：．(1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围；若方程有两个实数根则，由根与系数关系可知：【题型一】一元一次方程的降次法以若x²+x1=0，则x³+2x²+2023的值为？为例方法：去凑x³，将方程两边同乘x，x（x²+x1）=0，x³+x²x=0，x³=x²+x，带入上式得x²+x+2x²+2023=x²+x+2023，由题得x²+x=1，可代入求解。A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【详解】解：∵x2x1=0，∴x2=x+1，=x2+2x+1+x²+x5x+3=2x22x+4=2(x+1)2x+4=2x+22x+4=6，故选：D．【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．【点睛】本题考查代数式求值，解一元二次方程．理解并掌握降次法，是解题的关键．【变式12】阅读理解【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．①因式分解法求解特殊的三次方程：②换元法求解特殊的四次方程：【应用新知】（1）仿照以上方法，按照要求解方程：【拓展延伸】【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键．（1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程即可；（2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想