专题03相似三角形重要模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级上册（原卷版）

专题03.相似三角形中的基本模型之手拉手模型相似三角形是初中数学几何中的重要内容，也是考查频率最高的知识点之一，常常与其他知识点相结合，作为压轴题出现，是中考的常考题型；手拉手模型在全等三角形中是常考的模型之一，相似中的手拉手模型较全等三角形中的手拉手模型要难，同时也更容易被考生所忽略；所以我们在解决此类题型时，需要深入理解该模型，灵活运用相关的结论可以显著提高做题效率。本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型。TOC\o"14"\h\z\u 1模型来源 1真题现模型 2提炼模型 3模型拓展 4模型运用 4模型1.手拉手（旋转）模型 4 14“手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。“手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。1.手拉手相似模型（任意三角形）图1图2∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC∠DAC=∠DAE∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，2.手拉手相似模型（直角三角形）3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形）图3图4∴∠BAC∠DAC=∠DAE∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE，手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。模型1.“手拉手”模型（旋转模型）(2)已知等腰直角三角形的斜边长为4．(1)点D与点B重合时，①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是，位置关系是；②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；(2)BD＝2CD时，②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．1．（2024·山东济南·一模）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：2．（2425九年级下·湖北黄冈·期中）某校数学活动小组探究了如下数学问题：小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：【观察猜想】【探究证明】【拓展应用】（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为；6．（2425九年级上·河南安阳·阶段练习）（1）观察猜想：（2）类比探究：（3）拓展应用：7．（2425九年级上·山东聊城·期中）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求证△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）

14．（2024·云南昆明·模拟预测）综合与实践：【问题情境】【观察发现】【探索猜想】【拓展延伸】(1)求的值；(1)线段与之间的数量关系是；18．（2024·河南新乡·模拟预测）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），小组讨论后，