直线与圆的位置关系学案苏科版九年级数学上册

2.5直线与圆的位置关系【重难点】重点：直线与圆的三种位置关系，三角形的内切圆难点：切线的性质、判定及切线长定理【知识梳理】知识点一、直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系相离相切相交定义直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交图形公共点个数012圆心O到直线的距离d与半径r的关系d＞rd＝rd＜r公共点名称切点交点直线名称切线割线总结直线与圆相离⇔d＞r直线与圆相切⇔d=r直线与圆相交⇔d＜r知识点二、圆的切线的判定定理1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2、几何语言表示：（如右图）∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A，∴直线l是☉O的切线3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；（2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；（3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.4、常见证切线作辅助线的方法：（1）有交点，连半径，证垂直；（2）无交点，作垂直，证相等(证明d=r).知识点三、切线的性质定理1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．2、几何语言表示：∵直线l是☉O的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.知识点四、三角形的内切圆圆的轴对称性1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.如图，☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.4、三角形外心、内心的区别：名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1、外心到三顶点的距离相等；2、外心不一定在三角形的内部．内心：三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1、内心到三边的距离相等；2、内心在三角形内部．知识点五、切线长定理切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．【注意】①切线是直线，不能度量．②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．2、切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.∵PA、PB分别切☉O于A、B，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.【典型例题】【例1】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有何位置关系？为什么？（1）r＝4cm．（2）r＝4.8cm．（3）r＝6cm．【分析】此题重点是求得圆心到直线的距离，即是求直角三角形斜边上的高．该高等于两条直角边的乘积除以斜边，然后根据数量关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：AB=AC2+BC设AB边高为h，则h•AB＝AC×BC，h=6×810=4.8（1）当r＝4cm，d＞r，则AB与⊙C相离；（2）当r＝4.8cm，d＝r，则AB与⊙C相切；（3）当r＝6cm，r＞d，则AB与⊙C相交．【点评】注意直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边；能够熟练根据数量关系判断直线和圆的位置关系是解题的关键．【变式训练】1、已知平面内有⊙O和点M，N，若⊙O半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm，则直线MN与⊙O的位置关系为（）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm，即点M到圆心O的距离大于圆的半径，点N到圆心O的距离等于圆的半径，∴点M在⊙O外，点N在⊙O上，∴直线MN与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）A．点B在⊙A内 B．直线BC与⊙A相离 C．点C在⊙A上 D．直线BC与⊙A相切【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CH=12BC＝4，则利用勾股定理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC，∴BH＝CH=12BC＝4，在Rt△ABH中，AH=∵AB＝5＞3，∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；∵AC＝5＞3，∴C点在⊙A外，所以C选项不符合题意；∴AH＝3，AH⊥BC，∴直线BC与⊙A相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意．故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质3、已知⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．【解答】解：∵⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，∴⊙O的半径等于4cm，圆心O到直线l的距离≤4cm即圆心O到直线l的距离≤圆的半径，∴直线l和⊙O相切或相交，∴直线l与⊙O有1个或2个有公共点．故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r【例3】如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．求证：DE是⊙O切线．​【分析】连接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB＝90°，从而可证DE是⊙O切线．【解答】证明：连接OD，∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝∠AED＝90°，∴半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了等腰三角形三线合一定理、平行线的判定和性质、圆周角定理、切线的判定．解题的关键是连接OD、AD，并证明OD∥AC．【变式训练】1、如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．（1）求AB的长；（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，则∠OAD＝30°，所以OD=12OA＝1，AD=3OD=3，再根据垂径定理得AD＝BD，所以AB（2）由（1）∠BOC＝60°，则△OCB为等边三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，则∠CBP＝∠P，可计算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根据切线的判定定理得PB是⊙O的切线．【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，∴∠AOC＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD=12OA=12×2＝1，∴又∵OP⊥AB，∴AD＝BD，∴AB＝23；（2）证明：由（1）∠BOC＝60°，而OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，∴C是OP的中点，∴CP＝CO＝CB，∴∠CBP＝∠P，而∠OCB＝∠CBP+∠P，∴∠CBP＝30°∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，∴OB⊥BP，∴PB是⊙O的切线．【点评】本题考次了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．2、如图，已知△ABC中，AC＝BC，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，连接CD．求证：（1）CD平分∠ADE；（2）CE是⊙O的切线．（2）连接OC，∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠DCE+∠CDE＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠ODC＝∠CDE，∴∠OCD＝∠CDE，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴∠OCE＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键3、如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=9【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=32∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴∴DG=DE2−EG2=32−(∴CE=E【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【例4】如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（）A．40° B．50° C．60° D．80°【分析】先利用切线的性质得∠IDA＝∠IFA＝90°，则根据四边形的内角和得到∠A+∠DIF＝180°，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵圆I是△ABC的内切圆，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠IDA＝∠IFA＝90°，∴∠A+∠DIF＝180°，∵∠DIF＝140°，∴∠A＝180°﹣140°＝40°，∵∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°．故选：D．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握内心定义．【变式训练】1、如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（）A．15° B．17.5° C．20° D．25°【分析】连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，∵∠CAI＝35°，∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，∵点O是△ABC外接圆的圆心，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC=∠OCB=1故选：C．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键2、如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（）A．1 B．2 C．1.5 D．2【分析】作辅助线如解析图，根据S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BOC，代入数据求解即可．【解答】解：如图，设⊙O与△ABC的各边分别相切于点E、F、G，连接OE，OF，OG，OA，OB，OC，设⊙O的半径为r，则OE⊥AB，OF⊥AC，OG⊥BC，OE＝OF＝OG＝r，∵S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BOC，=12AB•r+12AC•r+=12（AB+AC+BC）•又△ABC的周长为18，面积为9，∴9=12×18∴r＝1，故选：A．【点评】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键3、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】根据勾股定理可得AB的长，然后根据三角形面积可以求出⊙O的半径，再根据切线的性质可得AD的长．【解答】解：如图，连接OD、OE、OF，∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB=AC设OE＝OF＝OD＝r，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴13r+12r+5r＝12×5，解得r＝2，∵⊙O与Rt△ABC的三边相切于点D、E、F，∴OE⊥AC，OF⊥BC，∴四边形OECF为正方形，∵⊙O的半径为2，BC＝5，∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，∴AD＝AB﹣BD＝13﹣3＝10．故选：B．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质【例5】如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周长为16．故选：C．【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．【变式训练】1、如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9 B．7 C．11 D．8【分析】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q．根据切