第二十六章解直角三角形（复习讲义）数学冀教版九年级上册（原卷版）

第二十六章解直角三角形（复习讲义）1.

了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，体会直角三角形边角之间的整体联系。2.

能熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，并准确运用。3.

理解解直角三角形的方法：已知斜边求直边用正、余弦；已知直边求直边用正切；已知两边求边用勾股定理、求角用函数关系；已知锐角求另一锐角用互余关系；已知直边求斜边用正、余弦。4.

能用三角函数解决实际问题，掌握仰角、俯角、坡度、坡角、方向角（方位角）的含义并用于分析实际情境。一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，：sinA=；：cosA=；：tanA=．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°160°三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：；（2）两锐角关系：；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.四、三角函数的应用1.仰角和俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2.坡度和坡角：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3.方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做(或)．题型一题型一求角的正弦值1．如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则的值为（

）A． B． C． D．2．如图所示，在中，若，，，则（

）A． B． C． D．3．如图，中，，，，则的值为4．如下图，在中，于点．若为的中点，求的值．题型二题型二已知正弦值求边长5．在中，，，，则的值是（）A．5 B．9 C．6 D．36．在中，已知，，，则长为（）A．12 B．26 C．24 D．137．如图，在中，，D为边上的一点，，，．则．8．如图，已知的三条边，，，满足，且，．(1)求，，的值．(2)求的面积．题型三题型三求角的余弦值9．如图，在中，于，设，则的值为（

）A． B． C． D．10．如图，在中，，于点，，，则的值为（

）A． B． C． D．11．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是．12．如图，在中，，于点D，，，求与的值．题型题型四已知余弦求边长13．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（）A． B． C． D．14．在中，，如果，，那么的长为（）A． B． C．8 D．1015．如图，在中，，，，点是的中点，则的长为．16．如图，已知，在中，，，求的值．题型题型五求角的正切值17．在中，，如果，那么的值是（

）A． B．2 C． D．18．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（）A． B． C． D．19．在中，于，且，则．20．如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值．题型题型六已知正切值求边长21．如图，在中，若，，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．622．如图，在中，，平分，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点．连接，则的长为（

）A． B．6 C． D．23．如图，在中，，为斜边上不与端点重合的一动点，过点作，垂足为，将沿直线翻折得对应，交于点，若，则线段的长是．24．如图，在中，点在边上，，，，，求：线段的长．

题型题型七特殊角三角函数值混合运算25．计算：(1)(2)26．计算：(1)．(2)．27．计算：(1)；(2)．28．计算：(1)；(2).题型题型八根据特殊角三角函数值求角的度数29．已知，在中，，，则的度数是（）A． B． C． D．30．在中，若，则的度数是（

）A． B． C． D．31．阅读理解题，．．故猜想：一般地，当是锐角时，有．根据此猜想，的值为（

）A． B． C． D．32．已知，均为锐角，且满足，那么．题型题型九已知角度比较三角函数值的大小33．三角函数、、之间的大小关系是（

）A． B．C． D．34．比较和的大小（

）A． B． C． D．不确定35．（选填“”或“”或“”）．36．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有．题型题型十同角三角函数关系37．已知，是锐角，则的值是（

）A． B． C． D．38．下列等式中成立的有（

）①sin30°+sin30°＝sin60°；②若cosA＝sinB，则∠A＝∠B；③若sinA＝cos30°，则锐角A＝60°；④sin60°+sin30°＝2（sin30°+cos30°）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个39．在中，，若，则的值为．40．如图，在中，．(1)求证：．(2)若，求的值．题型题型十一解直角三角形的相关计算41．中，求的值；42．如图，在中，．(1)尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹）(2)在（1）的条件下，若，求的长．43．如下图，在Rt中，是边上的一点，(1)的长为__________，的长为__________，的长为__________．(2)求点到的距离．44．如图，在中，．(1)已知，，求的长．(2)已知，，求的度数．题型题型十二解非直角三角形45．如图，在中，，，，则的长为（

）

A． B． C．4 D．546．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（

）A． B．12 C． D．647．等腰中，，则=48．如图，在中，，，．(1)求的长；(2)求的面积（结果保留根号）．题型题型十三构造直角三角形求不规则图形的边长或面积49．如图，在中，，，，则的面积为（）A．6 B．12 C．12 D．2450．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是平方米.（结果保留根号）51．如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？52．如图，等腰直角△ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，则△BDC的面积是.题型题型十四仰角俯角问题53．如图，小明为了测量旗杆高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为，若，则旗杆的高度是（精确到）．（参考数据：）54．如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知A，B，C三点共线，，商业大厦的高度．55．麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名．麦积山石窟始建于年，存有座洞窟、身泥塑石雕、余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为东方雕塑艺术陈列馆．某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量麦积山最高点离地面的高度示意图说明如图，麦积山的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上．测量数据的度数的度数的长度仪器（）的高度米米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度．（参考数据56．“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：，，，）(1)求坡顶平台到地面的距离；(2)求主桥墩的高度（结果精确到1米）．题型题型十五方位角问题57．如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向．(1)求处到灯塔的距离；(2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．58．如图，在同一平面内，今年国庆，小明和小红两位同学都在某景区游玩，他们决定在游客中心汇合，已知景点位于景点的正北方向，游客中心位于景点的正东方向，景点位于游客中心的西北方向6千米，景点位于点的北偏东方向且在游客中心的正北方向．（参考数据：）(1)求的长度（结果保留一位小数）；(2)小明从景点乘坐索道沿着方向前往游客中心，小红从景点乘坐观光车沿着方向前往游客中心，若小明和小红同时出发，索道和观光车均保持匀速行驶，并且索道的速度是观光车速度的倍，上下车和上下索道的时间忽略不计，在运动过程中，当小明位于小红的北偏东时，小红与游客中心的距离是多少？（结果保留一位小数）59．如图，是某动物园入口，、、是入口附近的三个展区，小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了900米到展区，在展区参观10分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区．小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：）(1)求的长度；（结果保留根号）(2)已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到0.1）60．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米．(1)求的长度；（结果保留根号）(2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，）题型题型十六坡度坡比问题61．五一期间，王老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，求浮漂与河堤下端之间的距离？（参考数据：）62．如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度．（结果精确到．参考数据：，，，）63．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，）(1)求点B距水平地面的高度；(2)求广告牌的高度．64．2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，）(1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度；(2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？题型题型十七生活实际问题65．图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图，车架的长为60cm，且，座杆的长为，点在同一条直线上，．求：(1)车架的长；(2)车座点到车架的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，）66．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为．(1)求新传送带的长度；(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道，试判断距离B点的货物是否需要挪走，并说明理由．（结果精确到，已知，，）67．一场突如其来的病毒，让我们的寒假变得不平凡，在这关键时刻，教育部门决定采取“停课不停学”的网络授课，为了更方便的使用手机听课，有的家长给孩子们购买手机支架．图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．(1)为了观看舒适，把绕点逆时针旋转，使，如图2，求到直线的距离．(2)在（1）的条件下，再将绕点顺时针旋转，使，求到直线的距离．（结果保留1位小数）（参考数据：）68．如图1是一种折叠式可调节钓鱼竿支架，图2是其示意图，是地插，用来将支架固定在地面上，支架可绕点A转动，用来调节与地面的夹角，支架可绕支点C转动，用来调节与的夹角，支架可伸缩调节长度．已知，，钓鱼竿始终与地面平行．(1)如图2，当支架与地面垂直时，，求的度数；(2)如图3，若保持支架与地面的夹角不变，调节支架与的夹角，使得，求此时支架的长度（结果保留小数点后1位．参考数据：，，）．基础巩固通关测基础巩固通关测1．（（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习））若，则锐角的度数是（

）A． B． C． D．2．（（25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段练习））在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）若，则是（）A．直角三角形B．等边三角形C．含有的任意三角形D．顶角为钝角的等腰三角形4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，则等于（

）A． B． C． D．5．（2025·河北石家庄·三模）如图，四边形是平行四边形，连接对角线，将沿所在直线折叠得到，交于点，若，，，则的长度是（）A． B． C． D．6．（2025·河北唐山·三模）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，其中点、、都在格点上，则的值为（

）A． B．2 C．3 D．7．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是8．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，，，，那么长为．9．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图，在中，，若，则．10．（25-26九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，中，，，的垂直平分线分别交、于、，若，则．11．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则的周长为．12．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，折叠矩形的一边，使落在边上的处，且．

（1）与是否相似？（选填“是”或者“否”）（2）若则矩形的面积为．13．已知为锐角，且，求的度数．14．（2025·河北承德·二模）一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值，是活动连杆，其可绕点B旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降．(1)当时，求的度数；(2)求点B到的距离．15．（2025·河北邯郸·二模）如图是某跨江大桥段抽象出的竖直截面图．【测量】从点处测得支架顶端的仰角为，从点处测得支架顶端的仰角为，支架的竖直高度为202米．【计算】求的长．【应用】通过该桥的限速标准为22米/秒，一辆汽车用时36秒通过路段，通过计算判断这辆汽车是否超速？（结果精确到1米，参考数据：，）16．解答课题设计遮阳棚前挡板模型抽象示意图德百旅游小镇游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度．测量数据实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服条窗口前恰好有宽的阴影，如图3．任务1求遮阳棚前端到墙面的距离．任务2当时，求线段的长度．结果精确到，参考数据：17．（2025·河北廊坊·一模）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究如图②，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．（结果精确到，参考数据：）(1)__________，_________；(2)求点到道路的距离．18．（23-24九年级上·河北·期末）汉中龙头山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．）(1)求索道的长（结果精确到1m）；(2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，）19．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为（

）A． B． C． D．120．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（

）（参考数据，，）A．160 B．330 C．480 D．52021．（2024·河北·模拟预测）如图，在菱形中，分别是边的中点，连接，若，则的长为（）A． B． C． D．22．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（

）A． B．C．且，或 D．且，或23．（2025·河北邯郸·二模）在正六边形中，点是的中点，连接，，若图中阴影部分的面积为，如下结论：结论一：．结论二：．下列判断正确的是（

）A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确24．在等腰中，，点D在上，点E在上且，连接，将沿翻折到的内部，得到，连接．则（）A． B． C． D．能力提升进阶练能力提升进阶练25．（2025·河北·模拟预测）如图，点A、B、C都在正方形网格的格点上，则的值是．26．如图，在中，，则27．如图，在正方形纸片中，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么的值是．28．在中，为线段上一点，且，则的值为29．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为m．（结果精确到；参考数据：，，）30．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为．

31．（24-25九年级上·河北·期末）某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时40海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值）