黑龙江省哈尔滨市道外区青衿协作体2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

黑龙江省哈尔滨市道外区青衿协作体2025-2026学年八年级上学期期中数学试题一、单选题1．下列图案中，是轴对称图形的是（）A． B．C． D．2．下列运算中，正确的是（）A． B． C． D．3．如图：若，且，则的长为（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．54．点关于x轴对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．5．中，，的外角为，则的度数（

）A． B． C． D．6．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P到AB的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．67．某市要在河流上修建一个水站，向居民区提供自来水，要使点到的距离之和最短，则下列确定点位置的作法正确的是（

）A．

B．

C．

D．

8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD=4，则BC的长为（）A．8 B．4 C．12 D．69．下列说法正确的有（）①到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，②关于某条直线对称的两个图形，对应点所连线段被对称轴垂直平分，③等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，④等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题10．计算：．11．计算：．12．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是．13．如图，将长方形沿对角线折叠，使点恰好落在如图的位置，交于，，则的长为．14．计算：．15．如图，在中，点在边上，是的垂直平分线，的周长为19，的周长为12，则线段的长为．16．定义一种新运算：，例如：，则化简后的结果是．17．在中，，为边上的高．，则线段的长为．18．如图，在中，，，，的面积为，则三、解答题19．计算：(1)(2)(3)(4)20．先化简，再求值：，其中，．21．如图．三个定点坐标分别为．，(1)画出向下平移5个单位的；（A、B、C的对应点分别为、、）；(2)画出关于轴对称的三角形是；（A、B、C的对应点分别为）：(3)直接写出的面积___________．22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数．

23．如图，点D，E在的边上，，，求证：．24．在中，，点是的中点，连接，点在上.连接，.（1）如图1，求证：；（2）如图2，若，直接写出图中所有等腰三角形.25．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：(1)图中括号内的数为___________；(2)根据上面的规律，写出的展开式：___________．(3)的展开式共有___________项，第99项的系数为___________．26．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，CE＝BD，连接CD，BE，BE与CD相交于点F．（1）如图1，若△ACD为等边三角形，且CE＝DF，求∠CEF的度数；（2）如图2，若AC＝AD，求证：EF＝FB；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠CFE＝45°，△BCD的面积为4，求线段CD的长．27．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），顶点B在x轴的负半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，且∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，线段OC的垂直平分线分别交OC，BC于点D，E．（1）点C的坐标；（2）点P为线段ED的延长线上的一点，连接PC，PA，设点P的横坐标为t，△ACP的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F为线段BC的延长线上一点，连接OF，若OF＝CP，求∠OFP的度数．参考答案1．B解：A．不是轴对称图形，故不符合题意；B．是轴对称图形，故符合题意；C．不是轴对称图形，故不符合题意；D．不是轴对称图形，故不符合题意；故选：B．2．D解：A：，故该选项不合题意；B：，故该选项不合题意；C：，故该选项不合题意；D：，故该选项符合题意．故选：D．3．C解：∵，AB=5，∴AC=AB=5，∵AE=2，∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，故选：C．4．B解：点关于x轴对称时，其横坐标1保持不变，纵坐标2变为，因此对称点的坐标为，故选B．5．B解：∵中，，的外角为，∴底角．故选：B．6．A解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，PE=3，PE⊥AC，∴点P到AB的距离是3，故选：A7．B解：根据题意，作点关于的对称点，连接与交于点，即点的位置即为所求水站的位置，故选：．8．C解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴BD=2AD=2×4=8，∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4∴BC=BD+DC=8+4=12，故选：C．9．C解：①到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点（外心），正确；②轴对称图形中，对应点所连线段被对称轴垂直平分，正确；③等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半（设顶角α，底角β，，夹角为），正确；④等腰三角形只有底边上的高、中线、角平分线互相重合，腰上的不一定重合，错误．∴正确的有①②③，共3个．故选：C．10．解：原式．故答案为：．11．解：根据积的乘方法则，，以及幂的乘方法则，，可得．故答案为．12．/66度解：∵两个全等三角形，∴；故答案为：．13．7解：由题意可知：，，∵，∴，∴，又∵，∴，故答案为：7．14．解：故答案为：．15．7解：∵是的垂直平分线，∴，∵的周长为19，的周长为12，∴，，∴．故答案为：7．16．解：∵，∴；故答案为：．17．2或6解：在中，，∴．当点D在线段上时，；当点D在的延长线上时，．故答案为：2或6．18．7解：如图所示，由题意可知，将绕点A顺时针旋转得，连接，过点作于点，由旋转的性质可得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，又，∴，∵的面积为，∴，解得：，∴．故答案为：7．19．(1)(2)(3)(4)（1）解：原式===（2）解：原式===（3）解：原式===（4）解：原式====20．解：，，，把，代入原式．21．(1)见解析；(2)见解析；(3)（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，即为所求；（3）解：如图所示；，故答案为：．22．∠A=36°，∠ABC=∠C=72°解：设∠A=x，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x，∴∠BDC=∠ABD+∠A=2x，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x，∴在△ABC中，x+2x+2x=180°，∴x=36°，2x=72°，即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．23．见解析；解：如图，过点作于点,∵，∴,又∵，∴,同理得：,∴,∴24．（1）见解析

（2）、、、（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE=CE；（2）∵∠BEC=2∠BAC，BE=CE，∴∠BED=2∠BAE，∴∠ABE=∠BAE，∴AE=BE，∴AE=BE=EC等腰三角形有：△ABE，△AEC，△ABC，△BEC．25．(1)6，(2)(3)101；4950（1）解：由所给的杨辉三角发现，括号里的数应该是其肩上的两个数之和，∴括号里的数为，故答案为：6；（2）解：由题中可知展开共有2项，系数依次为1，1；展开共有3项，系数为依次1，2，1；展开共有4项，系数依次为1，3，3，1，展开共有5项，系数依次为1，4，6，4，1，展开共有6项，系数依次为1，5，10，10，5，1，∴的展开式为，故答案为：；（3）解：由（2）中规律可知展开式共有101项，由（2）中规律可发现倒数第三项的系数从次数为2开始依次为：1，3，6，10，15，21，28，…，，∴展开式中，第99项的系数为；故答案为：101；4950．26．（1）90°；（2）证明见解析；（3）4.（1）∵CE＝BD，CE＝DF，∴BD＝DF，∴∠DFB＝∠B，∵△ACD为等边三角形，∴∠ADC＝∠C＝60°，∴∠DFB＝∠B＝30°，∴∠CEF＝90°；（2）证明：作BG∥AC交CD的延长线于G，∴∠C＝∠G，∵AC＝AD，∴∠C＝∠ADC，∴∠BDG＝∠G，∴BD＝BG，∵CE＝BD，∴BD＝CE，∵BG∥AC，在△CFE和△GFB中，，∴△CFE≌△GFB，∴EF＝FB；（3）解：作EP⊥CD于P，BH⊥CD交CD的延长线于H，设EP＝x，GH＝a，∵∠CFE＝45°，∴FP＝EP＝x，∵△CFE≌△GFB，∴BH＝EP＝x，则FH＝BH＝x，∵BD＝BG，BH⊥CD，∴DH＝GH＝a，∴CF＝FG＝x+a，DF＝x﹣a，∴CD＝CF+DF＝2x，由题意得，×CD×BH＝4，即×2x×x＝4，解得，x＝2，则CD＝2x＝4．27．（1）C（0，3）；（2）S＝2t；（3）60°.（1）∵∠ABC＝90°，∴∠CBO+∠ABO＝90°，∵∠CBO+∠ACB＝90°，∴∠ABO＝∠ACB，∴∠ACB＝30°，∴∠ABO＝30°，在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，∴AB＝2OA，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，∵A（0，﹣1），∴OA＝1，∴AB＝2，AC＝4，∴OC＝AC﹣OA＝4﹣1＝3，∴C（0，3）；（2）∵DE所在直线为线段OC的垂直平分线，∴PD⊥OC，∵点P的横坐标为t，∴PD＝t，∵AC＝4，∴S△ACP＝＝2t，即S＝2t；（3）如图3，过点O