上海市黄浦区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷（含答案）

第第页上海市黄浦区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷一、单选题1．如果5x=3y（x、y均不为零），那么x：A．53 B．35 C．382．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，那么BC为（）A．7sinα B．7cosα C．7tanα D．7cotα3．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（）A．DEBC=23 B．DEBC=25 C．AEAC=24．下列命题正确的是（）A．如果|a|＝|b|，那么a＝bB．如果a、b都是单位向量，那么a＝bC．如果a＝kb（k≠0），那么a∥bD．如果m＝0或a＝0，那么ma＝05．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：256．如图，D是△ABC边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交ADA．1对 B．2对 C．3对 D．4对二、填空题7．如果x：y=5：38．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A，B两地的图上距离是1.6厘米，那么A、B两地的实际距离是千米．9．若Q是线段MN延长线上一点，已知MN＝a，QN＝b，则MQ＝．（用含a、b表示）10．设点P是线段AB的黄金分割点(AP<BP)，AB=2厘米，那么线段BP的长是11．如图，直线AD∥BE∥CF，BC=23AB12．已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC=BC=6，那么AG的长为．13．如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往走2.5米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A离地面的高度AB的长为米．14．如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F在边BC上，DG=2DE，AH是△ABC的高，BC=20，AH=15，那么矩形DEFG的周长是．15．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为．16．如图已知在△ABC中，∠C=90°，AB=5， cotB=12，正方形DEFG的顶点G、F分别在边17．新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的角平分线，AC：BC=3：4．将Rt△ABC绕点A旋转，如果点C落在射线CD上，点B落在点E三、解答题19．计算：2sin20．如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设AB=a，（1）求向量MN；（2）在图中求作向量MN在AB、AD方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．21．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝513（1）求∠EAD的余切值；（2）求BFCF22．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE、BE，∠ABE=∠AED，DE（1）求证：DE∥（2）若S△ADE=1，S23．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．求证：（1）△ABE（2）CD⋅EF=AC⋅AE．24．已知：如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（1）求∠BAC（2）若点P在y轴的正半轴，且△POC与△AOB相似，请直接写出点（3）已知点M在y轴上，如果∠OMB−∠OAB=∠ACB，求点M的坐标．25．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E是对角线BD上一点（与B、D不重合），EF平分∠AED交边AD（1）当EF⊥AD时，求（2）当△AFG与△BCD相似时，求（3）如果△DEF的面积是△EFG面积的2倍，求

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：等式两边同除以5y，可得：5x5y=3y故答案为：B．

【分析】利用比例的性质求解即可。2．【答案】C【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，∴tanα=BCAC=BC∴BC=tanα．故选：C．【分析】根据题意画出图形，由锐角三角函数的定义解答即可．3．【答案】D【解析】【解答】解：当时，DE∥BD，即．故选D．

【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当时，DE∥BD，然后可对各选项进行判断．4．【答案】C【解析】【解答】解：A．向量是既有大小又有方向，|a|＝|b|表示有向线段的长度，a＝b表示长度相等，方向相同，所以A选项不符合题意；B．长度等于1的向量是单位向量，所以B选项不符合题意；C.a＝kb（k≠0）⇔a∥b，所以C选项符合题意；D．如果m＝0或a＝0，那么ma＝0，不符合题意．故答案为：C．

【分析】根据相量的定义和要素逐一判断即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴DEAC=1∴DE∥AC，∴BEBC=DEAC=∴BEBC=1∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，故选：B．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到DEAC=15，BEBC=DEAC=156．【答案】C【解析】【解答】解：

∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△BAD∽△BCA①

∵∠BAD＝∠C，∴∠BAD+∠CAD＝∠C+∠CAD，∴∠BAC＝∠BDA，

又∠ABE＝∠DBF，∴△BAE∽△BDF②

∵∠BAF＝∠C，∠ABF＝∠CBE，∴△BAF∽△BEC③

综上，有3对相似三角形。

故答案为：C

【分析】

根据∠BAD＝∠C，∠ABC为公共角，BE平分∠ABC，得出等角，推导并判断相似的三角形。7．【答案】2【解析】【解答】

解：

∵x：y=5：3，∴y=0.6x，

∴x-yy=x-0.6x0.6x=8．【答案】16【解析】【解答】

解：

设实际距离为x千米，根据题意得，

1.6x×100000=11000000

解得，x=16

9．【答案】a−【解析】【解答】解：∵QN＝b，∴NQ＝−QN＝-b又MN＝a，∴MQ=MN+NQ=a−故答案为：a−

【分析】利用向量的线性运算可得MQ=MN+NQ=a−b10．【答案】(【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP<BP，∴BP2=AB⋅AP令BP=x，则x即x2∵Δ=2∴x1=∴线段BP的长是(5故答案为：(5

【分析】根据黄金分割点的性质可得BP2=AB⋅AP，再BP=x11．【答案】4【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，BC=2∴，即，解得：EF=4故答案为：4．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可得出结果．12．【答案】2【解析】【解答】解：连接CG并延长交AB于点D，∴CD是等腰直角三角形ABC斜边的中线∴CD=∵点G是等腰直角三角形ABC的重心，∴DG=13在Rt△ADGAG=

【分析】连接CG并延长交AB于点D，根据三角形重心的性质可得DG=13CD=13．【答案】5【解析】【解答】解：

设BC=y米，AB=x米，

由题意可知EH∥CG∥AB，

∴△FEH∽△FBA，△DCG∽△DBA，

∴HEAB=FEFB，GCAB=DCDB保存进入下一题

∵HE＝GC，∴FEFB=DCDB＝GCAB

∵FE＝2，CD＝1，CE＝2.5，GC＝1.5，

∴FB＝2+2.5+y=4.5+y，DB=DC+BC=1+y，

∴14．【答案】36【解析】【解答】解：∵DG∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥DG，△ADG∽△ABC，∴DGBC=AH−DE∴DE=6，∴DG=2DE=12，∴矩形DEFG的周长=2×（6+12）=36．故答案为：36．【分析】根据相似三角形的判定和性质结论得到结论．15．【答案】15【解析】【解答】解：如图，

∵边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，

∴DE=CD=10，BC=6，AB=4，∠D=∠ACH=∠ABG=90°，

∴BE∥CF∥BG，

∴△ABG∽△ACF∽△ADE，

∴ABAC=BGCF，ABAD=BGDE，

∴44+6=BGCF，44+6+10=16．【答案】10【解析】【解答】

解：设BC＝x，∵∠C＝90°，∴cotB=BCAC=12，∴AC＝2x，

∴x2+2x5=52，∴x=5，

即BC＝5，AC＝25，

过C作CH⊥AB于H，交FG于M，

∴12×AC×BC＝12×AB×CH

∴12×25×5＝12×5×CH

∴CH＝2

设EF＝FG＝x，则CM＝CH-MH＝2-x，

∵17．【答案】4+42【解析】【解答】

解：有两种情形，

情形1，如图，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝AD，BD＝4，BD＝CD，

则AB＝AD＝42＝22，

过D作DE⊥BC于E，则四边形ABED是正方形，DE＝BE＝AB＝22

∵BD＝CD，∴CE＝BE＝22，∴BC＝42

∴梯形ABCD的面积是：22+42×22×12＝12

情形2，如图，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝AD，BD＝4，BD＝BC，

则AB＝AD＝42＝22，18．【答案】3【解析】【解答】解：设点C落在射线CD上的点C'∵∠ACB=90°，AC：设AC=3x，BC=4x，则AB=A∵CD是△ABC∴∠ACD=∠DCB=45°，∵将Rt△ABC绕点A∴AC=AC'，∠CAB=∠C∴∠ACD=∠AC∴90°=∠EAB=∠CAC∴AC∴ADDB∵AD+BD=5x由①②得：AD=15由旋转的性质可知，AE=AB=5x，∴tan∠AED=故答案为：37

【分析】设AC＝3x，BC＝4x，则AB=5x。AE＝5x。证明AC′∥BC，得ADDB19．【答案】解：原式====2【解析】【分析】代入各三角函数的值进行计算即可。注意绝对值的化简和根式的化简。20．【答案】（1）解：∵AB=a，AD=b，∴DB=AB-AD=a-b，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴MN=12（2）解：作图：结论：AP、AQ是向量MN分别在AB、AD方向上的分向量．．【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，则可得DB→＝AB→-AD→＝21．【答案】（1）解：∵BD⊥AC，∴∠ADE=90°，Rt△ADB中，AB=13，cos∠BAC=513∴AD=5，由勾股定理得：BD=12，∵E是BD的中点，∴ED=6，∴∠EAD的余切=ADED=5（2）解：过D作DG∥AF交BC于G，∵AC=8，AD=5，∴CD=3，∵DG∥AF，∴CDAD=CG设CD=3x，AD=5x，∵EF∥DG，BE=ED，∴BF=FG=5x，∴BFCF=5x8x=【解析】【分析】（1）根据已知条件计算出AD，再结合勾股定理求出ED，即可计算出∠EAD的余切值。

（2）过D作DG∥AF交BC于G，根据平行线分线段成比例得出比例式，设CD=3x，AD=5x，代入进行计算得出BF，CF即可求出比值。22．【答案】（1）证明：∵∠ABE=∠AED，∠A=∠A，∴△ADE∴∠ADE=∠AEB，∵∠ADE+∠BDE=∠AEB+∠BEC=180°，∴∠BDE=∠BEC，又∵DEBE∴△∴∠AED=∠DBE=∠C，∴DE∥（2）解：∵DE∥∴△ADE又∵S△ADE=1∴S△∴3DE=BC，∵△BDE∴BEBC∴3DE=BE又∵△ADE∴S△∵S△∴S△∴S△【解析】【分析】（1）先证明△BDE∽△CEB，可得∠AED=∠DBE=∠C，再利用平行线的判定方法可得DE∥BC；

（2）根据△BDE∽△CEB可得BEBC=DE23．【答案】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=90°=∠AFD，∴△ABE（2）证明：∵ABCD是平行四边形，∴BC=AD，∵△ABE∴ABAD=AE∴ABAE∵∠BAE+∠B=90°=∠BAE+∠EAF，∴∠B=∠EAF，∴△ABC∴ABAE=AC∴CD⋅EF=AC⋅AE．【解析】【分析】（1）证明∠B＝∠D，∠AEB＝∠AFD可得△ABE∽△ADF。

（2）证明ABAE24．【答案】（1）解：∵A(∴AO=4=CO，∴BC=6，∴AC=42如图1，过点B作BH⊥AC于H，∴∠BCA=∠CBH=45°，∴BH=CH，∴BC=2∴BH=32∴AH=2∴cot∠BAC=（2）(0，（3）解：∵∠OMB−∠OAB=∠ACB，∠ACB=∠OAC，∴∠OMB=∠OAB+∠ACB=∠OAB+∠OAC=∠BAC，由（1）得：cot∠BAC=∴cot∠BMO=∴MOOB∴MO=2此时点M的坐标为(0，−【解析】【解答】（2）解：△POC与△AOB相似有两种情形：

情形1，OPOB＝OCOA，则OP2＝44，∴OP＝2

情形2，OPOA＝OCOB，则OP4＝42，∴OP＝8

综上，P的坐标为（0，8）或（0，2）。

【分析】25．【答案】（1）解：∵EF⊥AD，四边形∴∠EFD=∠BAD=90°，∵EF平分∠AED∴∠AEF=∠DEF，∵EF=FE，∴△EFA∴F