2021-2022学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁RA＝{x|0＜x＜2} D．A∩∅＝A2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1 D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2 C．y＝与y＝x+1 D．y＝与y＝x4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N* B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N* C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N* D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C． D．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2） B．f（﹣1）＜f（2） C．f（1）＞f（﹣2） D．f（0）＝07．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1 B．r+R1＝R2 C．＝R2 D．R1+R2＝r8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称 B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称 C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数 D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2 B． C．≥4 D．≥410．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0 B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1 C．方程无实数根的充要条件是m＞1 D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为011．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称 B．f（x）的单调减区间为（2，+∞） C．f（x）的值域为R D．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A． B．0 C．1 D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为.（注：写出一个满足条件的即可）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁RA；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁RA＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．

参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁RA＝{x|0＜x＜2} D．A∩∅＝A【分析】解出集合A再做判断．解：因为A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＜0或x＞2}，所以ACD选项均错误，故选：B．2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1 D．【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可求解．解：对于A，∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，即a2＞ab，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴a+b＞b+b，即a+b＞2b，故B错误，对于C，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴，即，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴＜0，即，故D正确．故选：D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2 C．y＝与y＝x+1 D．y＝与y＝x【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．解：对于A，函数y＝x2，定义域为R，y＝x＝x|x|，定义域为R，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于B，函数y＝＝|x|，定义域为R，y＝＝x，定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数y＝＝x+1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），y＝x+1，定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数y＝＝x，定义域为R，y＝x，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N* B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N* C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N* D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*，故选：C．5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C． D．【分析】分别根据二次函数的开口方向和对称轴的关系进行判断即可．解：把四个图象分别叫做A，B，C，D．若为A，由图象知a＜0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为B，则由图象知a＞0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为C，由图象知a＜0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝﹣1，此时对称轴有可能，所以此时a＝﹣1成立．若为D，则由图象知a＞0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝1，此时对称轴，矛盾，所以不成立．故图象为第三个，此时a＝﹣1．故选：B．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2） B．f（﹣1）＜f（2） C．f（1）＞f（﹣2） D．f（0）＝0【分析】由偶函数的定义和单调性的性质，可得结论．解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则f（x）在（0，+∞）是减函数，所以f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），且f（1）＞f（2），故选：C．7．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1 B．r+R1＝R2 C．＝R2 D．R1+R2＝r【分析】利用公式P2＝U2I和，表示出滑动变阻器消耗的电功率，然后利用基本不等式求解即可．解：根据公式P2＝U2I和可得，滑动变阻器消耗的电功率，因为，当且仅当U2＝E﹣U2，即时，此时时，R2消耗的电功率P最大．故选：B．8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称 B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称 C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数 D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数【分析】根据f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，分别对各个选项进行判断即可．解：由题意函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，则f（x+a）﹣b＝﹣f（﹣x+a）+b，则f（x+a）+f（﹣x+a）＝2b，对于A：f（x）＝2x+1，a＝，b＝0，则f（x+）+f（﹣x+）＝2（x+）+1+2（﹣x+）+1＝4≠2b＝0，故A错误；对于B：f（x）＝x3﹣3x2＝x2（x﹣3），a＝1，b＝2，则f（x+1）+f（﹣x+1）＝（x+1）2（x+1﹣3）+（﹣x+1）2（﹣x+1﹣3）＝﹣4≠2b＝4，故B错误；对于C：若f（x）关于x＝a对称，则f（x）＝f（2a﹣x），令x＝t+a，则f（t+a）＝f（a﹣t），用x替换t，则f（x+a）＝f（a﹣x），故f（x+a）是偶函数，若f（x+a）是偶函数，则f（x+a）＝f（﹣x+a），令h＝x+a，则f（h）＝f（2a﹣h），故f（h）关于h＝a对称，用x替换h，则f（x）关于x＝a对称，故C正确；对于D：f（x﹣1）＝x2﹣4x+8，f（﹣x﹣1）＝x2+4x+8，f（x﹣1）≠f（﹣x﹣1），故f（x﹣1）不是偶函数，故D错误，故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2 B． C．≥4 D．≥4【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，A：由，得．即a2+b2，当且仅当a＝b时取等号，A正确；B：由ab≤（）2＝，得，≥4，当且仅当a＝b时取等号，B错误，C正确；D：＝＝2+＝4，当且仅当a＝b时取等号，D正确；故选：ACD．10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0 B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1 C．方程无实数根的充要条件是m＞1 D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0【分析】利用根与系数关系与判别式计算判断即可．解：关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0中△＝（m﹣3）2﹣4m＝m2﹣10m+9、两根和为3﹣m、两根积为m．若方程有一个正根一个负根，则，解得m＜0，∴A对；若方程有两个正根，则，解得0＜m≤1，∴B对；若方程无实根，则△＝m2﹣10m+9＜0，解得m＜1或m＞9，∴C错；当m＝3时，关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0为x2+3＝0无解，∴D错．故选：AB．11．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称 B．f（x）的单调减区间为（2，+∞） C．f（x）的值域为R D．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值【分析】根据函数奇偶性判断A；化简f（x）解析式，根据f（x）的单调性判断B；根据f（x）≠0判断C；根据奇偶性和单调性判断D．解：对于A，函数f（x）＝的定义域为{x|x≠±2}，关于原点对称，且f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，f（x）的图像关于y轴对称，故A正确；对于B，当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）时，f（x）＝＝﹣，当x∈[0，2）∪（2，+∞）时，f（x）＝＝，所以f（x）的单调递减区间为[0，2）和（2，+∞），故B错误；对于C，由函数解析式可得f（x）≠0，故C错误；对于D，当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝﹣为增函数，f（x）＜f（0）＝﹣，当x∈[0，2）时，f（x）＝为减函数，f（x）≤f（0）＝﹣，所以当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值为f（0）＝﹣，故D正确．故选：AD．12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A． B．0 C．1 D．【分析】由条件可知C（A）＝2，根据A*B＝1，可得C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，然后分析方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0根的情况，即可得出a的可能取值．解：根据题意，已知A＝{1，2}，则C（A）＝2，又A*B＝1，则C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，若（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0，则必有ax2+3x＝0或x2+ax+2＝0，若ax2+3x＝0，则x＝0或ax+3＝0，当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意，当a≠0时，ax2+3x＝0对应的根为0或﹣，所以①需要x2+ax+2＝0有两根且根不为0或﹣，当△＝0时，a＝±2，当a＝2，此时B＝{0，﹣2，﹣}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣2，此时B＝{0，2，}，C（B）＝3，符合题意，②当﹣是x2+ax+2＝0的根时，解得a＝±3，当a＝3，此时B＝{0，﹣1，﹣2}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣3，此时B＝{0，1，2}，C（B）＝3，符合题题意，综上所述，a可取的值为0，±3，±，故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝1．【分析】由{2，m}＝{2m﹣1，2}得m＝2m﹣1．解：∵{2，m}＝{2m﹣1，2}，∴m＝2m﹣1，解得，m＝1，故答案为：1．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为2．【分析】由题意得f（3）＝f（5）＝f（7），故f（7）为所求．解：∵f（x）＝，则f（3）＝f（5）＝f（7）＝7﹣5＝2，故答案为2．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3.（注：写出一个满足条件的即可）【分析】根据题意，将f（x）≤g（x）变形可得b≤x++1，由基本不等式的性质求出b的取值范围，即可得“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件，由充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），即﹣x2+bx≤x+，变形可得b≤x++1，又由x∈（0，+∞），则x++1＝+++1≥3+1＝+1，当且仅当x＝时等号成立，若“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），必有b≤+1，即“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件为b≤+1，故满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3，故答案为：b≤3，（答案不唯一）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为[2，4]．【分析】根据题意，分析y＝|x2﹣x﹣2|的单调区间，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，y＝|x2﹣x﹣2|＝，在区间（﹣1，）、[2，+∞）上为增函数，若函数是定义在R上的增函数，则有，解可得2≤a≤4，即a的取值范围为[2，4]；故答案为：[2，4]．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．【分析】（1）由x+x＝3结合完全平方公式可求出x+x﹣1的值，进而求出x﹣x﹣1的值，代入所求式子即可求出结果．（2）解方程组，用x表达出y，z的值，代入所求式子化简，即可求出结果．解：（1）∵x+x＝3，∴＝x+x﹣1+2＝9，∴x+x﹣1＝7，∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝49，∴x2+x﹣2＝47，又∵（x﹣x﹣1）2＝x2+x﹣2﹣2＝47﹣2＝45，∴x﹣x﹣1＝，∴＝＝＝＝．（2）由，得，∴＝＝．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁RA；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁RA＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）【分析】（1）先求出集合A，B，然后结合集合的交并补运算即可求解；（2）根据所选条件，进行转化，然后结合集合包含关系可求．解：（1）当a＝1时，A＝{x||x﹣4|≤3}＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|x2﹣2x﹣3）≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}A∪B＝{x|﹣1≤x≤7}，B∩∁RA＝{x|﹣1≤x＜1}；（2）若选①A∪B＝A，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；若选②B∩∁RA＝∅，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，∁RA＝{x|x＜1或x＞7}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）【分析】（1）由矩形的长为xm，求出矩形的宽，中间区域的长，宽，得到定义域，表示出总造价y即可；（2）利用基本不等式求解最值，比较即可得到答案．解：（1）由矩形的长为xm，则矩形的宽为m，则中间区域的长为x﹣4m，宽为﹣4m，所以定义域为x∈（4，50），故y＝100×200[200﹣（x﹣4）（﹣4）]，整理可得y＝18400+400（x+），x∈（4，50）；（2）因为x+＝20，当且仅当，即x＝时取等号，所以当x＝时，总造价最低为18400+8000≈2.97万元＜3万元，故仅根据总造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地．20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．【分析】（1）利用奇函数的定义以及奇函数的性质，得到f（0）＝0，结合f（1）＝，求出a，b的值，验证即可；（2）将问题转化为证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，利用函数单调性的定义证明即可．【解答】（1）解：因为函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，则f（x）为奇函数，又f（1）＝，所以，解得b＝0，a＝9，所以，经检验，f（x）为奇函数，所以；（2）证明：要证明对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立，即证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，用定义证明如下：设﹣3≤x1＜x2≤3，则＝＝，因为﹣3≤x1＜x2≤3，所以x1x2﹣9＜0，x2﹣x1＞0，，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在[﹣3，3]上单调递增，故对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．