2.5 用单摆测重力加速度 学案 -高中物理人教版（2019）选择性必修第一册

第二章机械振动第五节用单摆测重力加速度【知识梳理】1.实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2πeq\r(\f(l,g))，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝eq\f(4π2l,T2)。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。2.实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺.3.实验步骤(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆.(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示.(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′＋r.(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T＝eq\f(t,N)(N为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期的平均值eq\x\to(T)＝eq\f(T1＋T2＋T3,3).(5)根据单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，计算当地的重力加速度g＝eq\f(4π2l,T2).(6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值.(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因.4.注意事项(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放.(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时.因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大.②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.(4)本实验可以采用图象法来处理数据.即用纵轴表示摆长l，用横轴表示T2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k＝eq\f(g,4π2).这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法.5.数据处理处理数据有两种方法：(1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t，利用T＝eq\f(t,N)求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值eq\x\to(T)，然后利用公式g＝eq\f(4π2l,T2)求重力加速度.(2)图象法：由单摆周期公式不难推出：l＝eq\f(g,4π2)T2，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图象，图象应是一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k＝eq\f(Δl,ΔT2)，即可利用g＝4π2k求重力加速度.6.误差分析(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.(2)偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计全振动次数.【题型总结】1．某同学在探究单摆周期的影响因素时有如下操作，请判断是否恰当（填“是”或“否”）。①把单摆从平衡位置拉开约5°释放；___________②在摆球经过最低点时启动秒表计时；___________③用秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期。___________

2．某同学在“用单摆测重力加速度”的实验中进行了如下的操作：（1）如图甲所示，用游标卡尺测量摆球直径，摆球直径为_______cm。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长。（2）用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为，单摆每经过最低点记一次数，当数到时秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期_____s。（结果保留三位有效数字）（3）测量出多组周期、摆长数值后，画出图像如图丙所示，图线斜率的物理意义是_____。A．

B．

C．

D．3．某实验小组的同学利用单摆测量了当地的重力加速度，实验时进行了如下操作：a.让细线穿过小球上的小孔，制成一个单摆；b.将单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂；c.用毫米刻度尺测出线长（准确到mm），并用游标卡尺测出小球的直径d，则摆长为；d.将摆线拉开一个角度，角度小于5°，由静止释放摆球，用秒表记录单摆完成30次（或50次）全振动的时间，求出周期；e.改变摆长，重复d操作，记录多组实验数据。回答下列问题：（1）步骤c中，游标卡尺的读数如图甲所示，则摆球的直径为___________mm；（2）步骤d中，开始计时时，摆球的位置应在___________（填“最高点”或“最低点”），该小组的同学用秒表记录了50次全振动的时间，如图乙所示，秒表的读数为___________s；（3）同学利用步骤e中的实验数据描绘出了图像，如图丙所示，由图像可知，当地的重力加速度大小g=___________（结果保留两位小数）。4．某同学“用单摆测量南川中学的重力加速度”。（1）组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示。这样做的目的是___________（填字母代号）。A．保证摆动过程中摆长不变B．可使周期测量得更加准确C．需要改变摆长时便于调节D．保证摆球在同一竖直平面内摆动（2）用游标卡尺测出单摆小球的直径D如图所示，则D=___________cm。（3）为减小实验误差，多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用多组实验数据绘制T2-L图像如图所示。由图可知重力加速度大小为g=___________（用图中字母表示）。（4）关于实验操作或结果分析，下列说法正确的是()（填正确答案标号）。A．如果有两个大小相等且都带孔的铁球和木球，应选用铁球B．摆线要选细些的、伸缩性好的C．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，测量出的重力加速度g值偏小5．在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中：（1）该实验中用于测量时间的工具是________；A．B．C．（2）如图甲所示小明用游标卡尺测量小球的直径为_______；（3）为了减小测量误差，下列操作正确的是________；A．摆线的长度应适当长些B．单摆的摆角应尽量大些C．测量周期时，取小球运动的最高点作为计时的起点和终点位置D．测量周期时，测摆球30~50次全振动的时间算出周期6．某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中（1）为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是___________。A．组装单摆须选用密度和半径都较小的摆球B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大（2）某同学先测得摆线长为l，再用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图5所示，则该摆球的直径为d=___________cm。（3）实验中在小钢球某次通过平衡位置时开始计时，并将这次通过平衡位置时记为0，数出以后小钢球通过平衡位置的次数为n，用停表记下所用的时间为t，用上面的测量数据符号计算重力加速度的表达式为g=___________。7．在“用单摆测量重力加速度”的实验中：（1）下面叙述正确的是______（选填选项前的字母）。A．1m和30cm长度不同的同种细线，选用1m的细线做摆线B．直径为1.8cm的塑料球和铁球，选用铁球做摆球C．如图A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，选A方式悬挂D．当单摆经过平衡位置时开始计时，50次经过平衡位置后停止计时，用此时间除以50作为单摆振动的周期A．B．C．（2）利用图甲的方式测量摆长l，图中示数为______cm。（3）若测出单摆的周期T、摆线长l、摆球直径d，则当地的重力加速度g=______（用测出的物理量表示）。（4）某同学用一个铁锁代替小球做实验。只改变摆线的长度，测量了摆线长度分别为l1和l2时单摆的周期T1和T2，则可得重力加速度g=______（用测出的物理量表示）。（5）另一位同学在利用图甲获得摆长l时，每次都在小球最低点b取数，然后测量了多组实验数据做出了T2-l图像，那么他最有可能得到的图像是______。A．B．C．D．（6）在一个实验小组中，得到的T2-l图像是一条倾斜直线。小组成员小牛同学算出图像斜率k，利用，求出g；小爱同学量出直线与横轴l之间的夹角θ，然后利用，求出g。请问两位同学的处理方案，哪一位更合理______，并说明另一位同学方案的不合理原因。______8．在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中：（1）摆线要选择细些的、伸缩性___________的，摆球要选择质量大些的、体积___________的；（2）从摆球经过平衡位置开始计时，测出n次全振动的时间为t，则单摆的周期为___________；用毫米刻度尺量出悬点到摆球的线长为l，用游标卡尺测出摆球直径为d，则单摆的摆长为___________；（3）实验测出不同摆长对应的多组数据，利用实验数据作出了T—l、T—l2、等图像，其中___________图像最能直观反应周期与摆长的关系，由该图像可得到单摆的周期与摆长的关系是___________；（用数学式表达）（4）某同学根据实验数据作出的图像如图所示。①图像斜率表示的物理意义是___________（用字母表示），由图像求出的重力加速度g=___________。（小数点后保留两位）②造成图像不过坐标点的原因可能是___________。A．摆长测量偏大

B．摆长测量偏小C．周期测量偏大

D．周期测量偏小9．在“用单摆测定重力加速度”的实验中：（1）为了尽量减小实验误差，以下做法正确的是__________；A．选用轻且不易伸长的细线组装单摆B．选用密度和体积都较小的摆球组装单摆C．使摆线偏离平衡位置的角度不大于5°D．选择最大位移处作为计时起点（2）用停表记录了单摆振动50次所用的时间如图所示，停表读数为_________s。（3）一位同学在实验中误将49次全振动计为50次，其它操作均正确无误，然后将数据代入单摆周期公式求出重力加速度g，则计算结果比真实值____________。（选填“偏大”或“偏小”）10．某同学学了《单摆》这一节后，回家去研究了摆钟。他把摆钟简化为单摆，先测得摆线长为，再用游标卡尺测了摆钟下面圆铁饼的直径d，如图所示。然后用秒表记录了摆钟完整摆动60次所用的时间。除读数外，本题的计算结果均保留到小数点后面两位。则：（1）如图甲，游标卡尺的读数为_________cm。（2）如图乙，秒表所示读数为___________秒，测出摆钟的周期为___________秒。（3）按单摆模型算出摆钟的周期为___________秒（当地的重力加速度为9.80m/s2）。实验测出的摆钟周期与按单摆模型算出摆钟的周期差别有点大，通过查资料该同学明白摆钟可以处理成单摆模型，但等效摆长与他的处理的结果不同。（4）该同学某次把在重庆走时准确的摆钟带到北京，发现钟走___________（填“快”或“慢”）了，要让该钟在北京也走时准确，他应该___________（填“调长”或“调短”）摆长。【答案解析】1.【答案】

是

是

否【解析】①[1]把单摆从平衡位置拉开约5°释放，这样可认为是简谐振动，该说法正确，应该填“是”；②[2]在摆球经过最低点时启动秒表计时，该说法正确，应该填“是”；③[3]用秒表记录摆球至少30次全振动的时间，根据计算周期，该说法错误，应该填“否”。2.【答案】

2.26

1.69##1.68

D【解析】（1）[1]图甲为10分度游标卡尺，精确值为，根据其示数可得摆球直径为（2）[2]由图示秒表可知，秒表示数为单摆的周期为（3）[3]由单摆周期公式可得则图像的斜率为D正确，ABC错误；故选D。3.【答案】

18.6

最低点

95.1

9.86【解析】（1）[1]游标卡尺主尺读数为18mm，游标尺的第6个刻度线与主尺的某刻度线对齐，读数为6×0.1mm=0.6mm因此摆球的直径为（2）[2]摆球经过最低点时小球速度最大，容易观察和计时。[3]由图乙所示秒表可知，分针示数为60s，秒针示数为35.1s，秒表读数。（3）[4]由单摆的周期公式得由图像可得可解得4.【答案】

AC##CA

1.35

AD##DA【解析】（1）[1]ABCD．在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧的目的一是为了防止摆动过程中摆长发生变化，二是方便调节摆长，故AC正确，BD错误。故选AC。（2）[2]单摆小球的直径（3）[3]由单摆周期公式得由图像可知解得（4）[4]A．摆球应选择小体积大质量，所以如果有两个大小相等且都带孔的铁球和木球，应选用铁球，故A正确；B．为了减小空气阻力的影响，摆线要选细些的；为了保证摆长不变，摆线应选择伸缩性小的，故B错误；C．单摆运动的摆角应不超过，故C错误；D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，则实际摆长变长，测量值偏小，由可知测量出的重力加速度g值偏小，故D正确。故选AD。5.【答案】

B

14.4

AD##DA【解析】（1）[1]该实验中用于测量时间需要准确的时间，则选用秒表，所以B正确；AC错误；故选B。（2）[2]游标卡尺的读数为主尺读数＋游标尺的读数精度值＝14mm+40.1mm=14.4mm（3）[3]A．摆线的长度应适当长些，测量长度时误差减小，所以A正确；B．单摆的摆角不能过大，需要满足摆角，所以B错误；C．测量周期时，取小球运动的最低点作为计时的起点和终点位置，所以C错误；D．测量周期时，测摆球30~50次全振动的时间算出周期，多次测量求平均值可以减小误差，所以D正确；故选AD。6.【答案】

BC##CB

2.26

【解析】（1）[1]A．组装单摆须选用密度大半径小的摆球，A错误；B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线，B正确；C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动，C正确；D．摆长一定的情况下，摆的振幅要适当，摆角不能超过5°，D错误。故选BC。（2）[2]摆球的直径为（3）[3]单摆的周期为根据单摆的周期公式单摆的摆长为解得7.【答案】

AB##BA

91.60（91.50-91.70）

C

小牛

小爱同学用求斜率是错误的。因为在T2-l图像中，横轴和纵轴的单位长度不一定相同，所以小爱同学方案不合理。【解析】（1）[1]A．1m和30cm长度不同的同种细线，选用1m的细线做摆线，A正确；B．直径为1.8cm的塑料球和铁球，选用铁球做摆球，B正确；C．如图A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，为了使摆长不变，选C方式悬挂，C错误；D．当单摆经过平衡位置时开始计时，50次经过平衡位置后停止计时，相邻两次经过平衡位置的时间是半个周期，正确的方法是用此时间除以25作为单摆振动的周期，D错误。故选AB。（2）[2]利用图甲的方式测量摆长l，图中示数为91.60cm。（3）[3]根据单摆的周期公式解得（4）[4]设摆线下端到锁的重心的距离为x，根据单摆的周期公式得解得（5）[5]设球半径为r，根据单摆的周期公式得解得他最有可能得到的图像是C。（6）[6]小牛同学的方案更合理；[7]小爱同学用求斜率是错误的。因为在T2-l图像中，横轴和纵轴的单位长度不一定相同，所以小爱同学方案不合理。8.【答案】

小些

小些

（k为比例系数）

9.86

BC##CB【解析】（1）[1]摆线要选择细些的、伸缩性小些的。[2]摆球要选择