2025年高三数学高考不等式专题模拟试题

2025年高三数学高考不等式专题模拟试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，(B={x|x-a>0})，若(A\capB=\varnothing)，则实数(a)的取值范围是（）A.(a\geq2)B.(a>2)C.(a\leq1)D.(a<1)解析：解不等式(x^2-3x+2\leq0)，得((x-1)(x-2)\leq0)，即(1\leqx\leq2)，故(A=[1,2])。集合(B={x|x>a})，要使(A\capB=\varnothing)，需满足(a\geq2)。答案：A2.若(a>b>0)，则下列不等式中恒成立的是（）A.(a+\frac{1}{b}>b+\frac{1}{a})B.(\frac{2ab}{a+b}>\sqrt{ab})C.(a+\frac{1}{a}>b+\frac{1}{b})D.(a^2+b^2>2a+2b-2)解析：选项A：(a-b+\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=(a-b)+\frac{a-b}{ab}=(a-b)\left(1+\frac{1}{ab}\right))，因为(a>b>0)，所以(a-b>0)，(1+\frac{1}{ab}>0)，故A恒成立。选项B：由均值不等式知(\frac{2ab}{a+b}\leq\sqrt{ab})（当且仅当(a=b)时取等号），故B错误。选项C：取(a=2)，(b=\frac{1}{2})，则(a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2})，(b+\frac{1}{b}=\frac{5}{2})，此时C不成立。选项D：(a^2+b^2-2a-2b+2=(a-1)^2+(b-1)^2\geq0)，当(a=b=1)时取等号，故D不恒成立。答案：A3.设(x>0)，(y>0)，且(x+2y=1)，则(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值为（）A.(3+2\sqrt{2})B.(3-2\sqrt{2})C.(4\sqrt{2})D.(4)解析：由题意得：[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(x+2y)=1+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}+2=3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}]由均值不等式知(\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}\geq2\sqrt{\frac{2y}{x}\cdot\frac{x}{y}}=2\sqrt{2})，当且仅当(\frac{2y}{x}=\frac{x}{y})，即(x=\sqrt{2}y)时取等号。联立(x+2y=1)，解得(x=\sqrt{2}-1)，(y=\frac{2-\sqrt{2}}{2})，此时最小值为(3+2\sqrt{2})。答案：A4.关于(x)的不等式(ax^2+bx+c<0)的解集为((-\infty,-1)\cup(2,+\infty))，则关于(x)的不等式(ax^2-bx+c>0)的解集为（）A.((-1,2))B.((-\infty,-2)\cup(1,+\infty))C.((-2,1))D.((-\infty,-1)\cup(2,+\infty))解析：由题意知，(ax^2+bx+c=0)的两根为(x_1=-1)，(x_2=2)，且(a<0)。由根与系数的关系：(-1+2=-\frac{b}{a}\Rightarrow\frac{b}{a}=-1)，((-1)\times2=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{c}{a}=-2)。不等式(ax^2-bx+c>0)可化为(x^2-\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}<0)（两边同除以(a<0)，不等号变向），即(x^2+x-2<0)，解得(-2<x<1)。答案：C5.若不等式(x^2-ax+1\geq0)对任意(x\in(0,+\infty))恒成立，则实数(a)的取值范围是（）A.((-\infty,2])B.((-\infty,2))C.([2,+\infty))D.((2,+\infty))解析：当(x>0)时，不等式(x^2-ax+1\geq0)可化为(a\leqx+\frac{1}{x})。由均值不等式知(x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2)（当且仅当(x=1)时取等号），故(a\leq2)。答案：A6.设(a>0)，(b>0)，且(a+b=1)，则(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2)的最小值为（）A.(\frac{25}{2})B.(13)C.(8)D.(\frac{17}{2})解析：[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+4]因为(a+b=1)，所以(a^2+b^2=1-2ab)，且(ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{1}{4})（当且仅当(a=b=\frac{1}{2})时取等号）。[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{(a+b)^2-2ab}{a^2b^2}=\frac{1-2ab}{(ab)^2}]设(t=ab\leq\frac{1}{4})，则原式(=1-2t+\frac{1-2t}{t^2}+4=5-2t+\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t})。当(t=\frac{1}{4})时，代入得：[5-2\times\frac{1}{4}+\frac{1}{\left(\frac{1}{4}\right)^2}-\frac{2}{\frac{1}{4}}=5-\frac{1}{2}+16-8=\frac{25}{2}]答案：A7.已知(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right))，则函数(f(x)=\frac{1+\cos2x+8\sin^2x}{\sin2x})的最小值为（）A.(2)B.(4)C.(6)D.(8)解析：化简(f(x))：[f(x)=\frac{2\cos^2x+8\sin^2x}{2\sinx\cosx}=\frac{\cos^2x+4\sin^2x}{\sinx\cosx}=\frac{\cosx}{\sinx}+4\frac{\sinx}{\cosx}=\cotx+4\tanx]设(t=\tanx>0)，则(f(x)=\frac{1}{t}+4t\geq2\sqrt{\frac{1}{t}\cdot4t}=4)（当且仅当(\frac{1}{t}=4t\Rightarrowt=\frac{1}{2})时取等号）。答案：B8.若不等式(|x-1|+|x+2|\geqa^2+a+1)对任意(x\in\mathbb{R})恒成立，则实数(a)的取值范围是（）A.([-1,2])B.((-1,2))C.((-\infty,-1]\cup[2,+\infty))D.((-\infty,-1)\cup(2,+\infty))解析：由绝对值三角不等式知(|x-1|+|x+2|\geq|(x-1)-(x+2)|=3)，故最小值为3。要使不等式恒成立，需(a^2+a+1\leq3\Rightarrowa^2+a-2\leq0\Rightarrow(a+2)(a-1)\leq0\Rightarrow-2\leqa\leq1)。答案：A9.设(a)，(b)，(c)均为正数，且(a+b+c=1)，则(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})的最小值为（）A.(3)B.(6)C.(9)D.(12)解析：由柯西不等式：[(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq(1+1+1)^2=9]当且仅当(a=b=c=\frac{1}{3})时取等号，故(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq9)。答案：C10.已知(a>0)，(b>0)，且(a+2b=4)，则(\log_2a+\log_2b)的最大值为（）A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)解析：由题意得(\log_2a+\log_2b=\log_2(ab))，需最大化(ab)。因为(a=4-2b>0\Rightarrowb<2)，所以(ab=(4-2b)b=-2b^2+4b=-2(b-1)^2+2)。当(b=1)时，(ab)取最大值(2)，故(\log_2(ab)\leq\log_22=1)。答案：A11.若关于(x)的不等式(x^2-4x-2-a>0)在区间((1,4))内有解，则实数(a)的取值范围是（）A.((-\infty,-2))B.((-\infty,-2])C.((-6,+\infty))D.((-6,-2))解析：不等式(x^2-4x-2-a>0)在((1,4))内有解，等价于(a<x^2-4x-2)在((1,4))内有解。设(f(x)=x^2-4x-2)，对称轴为(x=2)，在((1,2))上单调递减，在((2,4))上单调递增。(f(1)=1-4-2=-5)，(f(4)=16-16-2=-2)，故(f(x))在((1,4))内的最大值为(-2)（当(x)趋近于4时）。因此，(a<-2)。答案：A12.已知(a)，(b)，(c)为正实数，且(a+b+c=3)，则(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})的最大值为（）A.(\sqrt{3})B.(3)C.(3\sqrt{3})D.(9)解析：由柯西不等式：[(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\leq(1^2+1^2+1^2)(a+b+c)=3\times3=9]当且仅当(a=b=c=1)时取等号，故(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq3)。答案：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若(x>2)，则(x+\frac{4}{x-2})的最小值为________。解析：设(t=x-2>0)，则(x=t+2)，[x+\frac{4}{x-2}=t+2+\frac{4}{t}=t+\frac{4}{t}+2\geq2\sqrt{t\cdot\frac{4}{t}}+2=4+2=6]当且仅当(t=\frac{4}{t}\Rightarrowt=2\Rightarrowx=4)时取等号。答案：614.不等式(\frac{x-1}{x+2}\leq0)的解集为________。解析：不等式等价于((x-1)(x+2)\leq0)且(x+2\neq0)，解得(-2<x\leq1)。答案：((-2,1])15.已知(x)，(y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\y\leq2\end{cases})，则(z=x+2y)的最大值为________。解析：画出可行域（如图），联立(\begin{cases}x-y=2\y=2\end{cases})，解得(x=4)，(y=2)，即点((4,2))。代入(z=x+2y)得(z=4+4=8)，为最大值。答案：816.若对任意(x>0)，(\frac{x}{x^2+3x+1}\leqa)恒成立，则实数(a)的取值范围是________。解析：设(f(x)=\frac{x}{x^2+3x+1})，(x>0)，则(f(x)=\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3})。由均值不等式知(x+\frac{1}{x}\geq2)，故(x+\frac{1}{x}+3\geq5\Rightarrowf(x)\leq\frac{1}{5})。因此，(a\geq\frac{1}{5})。答案：(\left[\frac{1}{5},+\infty\right))三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）解不等式组：[\begin{cases}x^2-5x+6<0\\frac{x+2}{x-3}\leq0\end{cases}]解析：解第一个不等式(x^2-5x+6<0)：((x-2)(x-3)<0\Rightarrow2<x<3)。解第二个不等式(\frac{x+2}{x-3}\leq0)：等价于((x+2)(x-3)\leq0)且(x-3\neq0\Rightarrow-2\leqx<3)。取交集得(2<x<3)。答案：((2,3))18.（12分）已知(a>0)，(b>0)，且(a+b=1)，求证：（1）(ab\leq\frac{1}{4})；（2）(\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\geq\frac{25}{4})。证明：（1）由均值不等式知(ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4})，当且仅当(a=b=\frac{1}{2})时取等号。（2）[\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)=ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab}]由（1）知(ab\leq\frac{1}{4})，设(t=ab\leq\frac{1}{4})，则(\frac{1}{ab}\geq4)。[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2][ab+\frac{1}{ab}\geq\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}]故原式(\geq\frac{17}{4}+2=\frac{25}{4})，当且仅当(a=b=\frac{1}{2})时取等号。19.（12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品需用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品需用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该工厂现有A原料120吨，B原料100吨，求生产甲、乙两种产品各多少吨，可获得最大利润？解析：设生产甲产品(x)吨，乙产品(y)吨，利润为(z)万元，则：[\begin{cases}3x+y\leq120\2x+3y\leq100\x\geq0,y\geq0\end{cases}]目标函数(z=5x+3y)。联立(\begin{cases}3x+y=120\2x+3y=100\end{cases})，解得(x=32)，(y=24)。代入(z=5\times32+3\times24=160+72=232)（万元）。答案：生产甲产品32吨，乙产品24吨，最大利润为232万元。20.（12分）已知函数(f(x)=x^2+ax+b)，且对任意实数(x)，均有(f(x)\geq2x+a)。（1）求(b)的取值范围；（2）若(f(2)=2)，求(f(x))的解析式。解析：（1）由(f(x)\geq2x+a)得(x^2+(a-2)x+(b-a)\geq0)对任意(x\in\mathbb{R})恒成立，故判别式(\Delta=(a-2)^2-4(b-a)\leq0\Rightarrowa^2-4a+4-4b+4a\leq0\Rightarrowa^2+4-4b\leq0\Rightarrowb\geq\frac{a^2+4}{4}\geq1)（当(a=0)时取等号）。（2）由(f(2)=2)得(4+2a+b=2\Rightarrowb=-2a-2)。代入（1）中(b\geq\frac{a^2+4}{4})得：[-2a-2\geq\frac{a^2+4}{4}\Rightarrowa^2+8a+12\leq0\Rightarrow(a+2)(a+6)\leq0\Rightarrow-6\leqa\leq-2]又由(\Delta=0)（等号成立）得(a^2+4-4b=0)，将(b=-2a-2)代入：[a^2+4-4(-2a-2)=0\Rightarrowa^2+8a+12=0\Rightarrowa=-2)或(a=-6)。若(a=-2)，则(b=-2(-2)-2=2)，(f(x)=x^2-2x+2)；若(a=-6)，则(b=-2(-6)-2=10)，(f(x)=x^2-6x+10)。验证(f(x)\geq2x+a)：当(a=-2)时，(x^2-2x+2\geq2x-2\Rightarrowx^2-4x+4\geq0\Rightarrow(x-2)^2\geq0)，成立。当(a=-6)时，(x^2-6x+10\geq2x-6\Rightarrowx^2-8x+16\geq0\Rightarrow(x-4)^2\geq0)，成立。答案：(f(x)=x^2-2x+2)或(f(x)=x^2-6x+10)。21.（12分）已知(x>0)，(y>0)，且(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1)，求(x+y)的最小值。解析：[x+y=(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}\right)=1+\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}+9=1