上海延安中学2026届数学高二上期末学业质量监测试题含解析

上海延安中学2026届数学高二上期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如果，那么下面一定成立的是（）A. B.C. D.2．在等差数列中，，则（）A.9 B.6C.3 D.13．双曲线实轴长为（）A.1 B.C.2 D.4．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（）A. B.C. D.5．如图，是函数的部分图象，且关于直线对称，则（）A. B.C. D.6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）A. B.C. D.7．已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件8．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A.1 B.3C.9 D.819．如图，椭圆的右焦点为，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，点关于坐标原点的对称点为，且，，则椭圆方程为（）A. B.C. D.10．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析作出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在区间内的导函数为，在区间内的导函数为，在区间内恒成立，则称函数在区间内为“凸函数”，则下列函数在其定义域内是“凸函数”的是（）A. B.C. D.11．若双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A.2 B.3C.4 D.612．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围__________14．已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是___________.15．曲线在点（1，1）处的切线方程为_____16．过直线上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数在区间上的最大值；（2）当时，求函数的极值.18．（12分）近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势，一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染，空气污染，土壤污染的重要来源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题.研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提.某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.参考数据：65091.552.51478.630.5151546.5表中.（1）根据散点图判断与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；（3）经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N），那这种化肥的有效率超过58%的概率约为多少？附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②若随机变量，则有，；③取.19．（12分）在①成等差数列；②成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.问题：已知为数列的前项和，，且___________.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．（12分）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围21．（12分）在数列中，，，且对任意的，都有.（1）数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.22．（10分）.在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于A，B两点（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，求值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据不等式的基本性质，以及特例法和作差比较法，逐项计算，即可求解.【详解】对于A中，当时，，所以不正确；对于B中，因为，根据不等式的性质，可得，对于C中，由，可得可得，所以，所以正确；对于D中，由，可得，则，所以，所以不正确.故选：C.2、A【解析】直接由等差中项得到结果.详解】由得.故选：A.3、B【解析】由双曲线的标准方程可求出，即可求双曲线的实轴长.【详解】由可得：，，即，实轴长，故选：B4、C【解析】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是三好学生，求出和，利用条件概率公式计算即可求解.【详解】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是‘三好学生’”，则所求概率为.由题意可得：男生有人，“三好学生”有人，所以“三好学生”中男生有人，所以，，故.故选：C.5、C【解析】先根据条件确定为函数的极大值点，得到的值，再根据图像的单调性和导数几何意义得到和的正负即可判断.【详解】根据题意得，为函数部分函数的极大值点，所以，又因为函数在单调递增，由图像可知处切线斜率为锐角，根据导数的几何意义，所以，又因为函数在单调递增，由图像可知处切线斜率为钝角，根据导数的几何意义所以.即.故选：C.6、B【解析】模拟程序运行后,可得到输出结果,利用裂项相消法即可求出答案.【详解】模拟程序运行过程如下:0),判断为否,进入循环结构,1),判断为否,进入循环结构,2),判断为否,进入循环结构,3),判断为否,进入循环结构,……9),判断为否,进入循环结构,10),判断为是,故输出,故选:B.【点睛】本题主要考查程序框图,考查裂项相消法,难度不大.一般遇见程序框图求输出结果时,常模拟程序运行以得到结论.7、D【解析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，故选：D.8、A【解析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c关系列式计算即得.【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，于是得，解得，所以值为1.故选：A9、C【解析】连结，设，则，，由可求出，进而可求出，得出椭圆方程.【详解】由题意设椭圆的方程：，设左焦点为，连结，由椭圆的对称性易得四边形为平行四边形，由得，又，设，则，，又，解得，又由，，解得，，，则椭圆的方程为.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆的标准方程求解及椭圆的简单几何性质，在求解椭圆标准方程时，关键是求解基本量，，.10、B【解析】根据基本初等函数的导函数公式求各函数二阶导函数，判断其在定义域上是否恒有，即可知正确选项.【详解】A：，则，显然定义域内有正有负，故不是“凸函数”；B：，则，故是“凸函数”；C：，则，故不是“凸函数”；D：，则，显然定义域内有正有负，故不是“凸函数”；故选：B11、A【解析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据渐近线方程为求解.【详解】因为双曲线所以焦点在x轴上，又因为渐近线方程为，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.12、B【解析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减得：，即.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】联立直线与双曲线方程，可知二次项系数不为零、判别式大于零、两根之和与两根之积均大于零，据此构造不等式组，解不等式组求得结果.详解】将代入双曲线方程整理可得：设直线与双曲线右支交于两点，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查根据直线与双曲线位置关系求解参数范围的问题，属于基础题.14、【解析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由二次函数求最值即可求得最小值.【详解】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则，由可设，由是单位空间向量可得，由可设，，当，的最小值是2，所以，取，，，当时，最小值为.故答案为：.15、【解析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式可求出结果.【详解】因为，所以曲线在点（1，1）处的切线的斜率为，所以所求切线方程为：，即.故答案为：.16、【解析】当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可.【详解】解：根据题意可知：当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.圆心到直线的距离为四边形面积的最小值为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2（2）当时，没有极值；当时，极大值为，极小值为.【解析】（1）当时，，可得：.，，得或，列出函数单调性表格，即可最大值；（2），令，得或，分别讨论和，即可求得的极值.【详解】（1）当时，，所以.令，得或，列表如下：-2-11+0-0+极大值极小值由于，，所以函数在区间上的最大值为2.（2），令，得或.当时，，所以函数在上单调递增，无极值.当时，列表如下：+0-0+极大值极小值函数的极大值为，极小值为.【点睛】本题主要考查根据导数求函数单调性和极值，解题关键是掌握导数求单调性的方法和极值定义，考查分析能力和计算能力，属于中档题.18、（1）；（2）；810公斤；（3）.【解析】（1）根据散点图的变化趋势，结合给定模型的性质直接判断适合的模型即可.（2）将（1）中模型取对得，结合题设及表格数据求及参数，进而可得参数c，即可确定回归方程，进而估计时粮食亩产量y的值.（3）由题设知，结合特殊区间的概率值及正态分布的对称性求即可.【小问1详解】根据散点图，呈现非线性的变化趋势，故更适合作为关于的回归方程类型.【小问2详解】对两边取对数，得，即，由表中数据得：，，，则，∴关于的回归方程为，当时，，∴当化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量约为810公斤.小问3详解】依题意，，则有，∴，则，∴这种化肥的有效率超过58%的概率约为.19、（1）（2）【解析】（1）由可知数列是公比为的等比数列，若选①：结合等差数列等差中项的性质计算求解；若选②：利用等比数列等比中项的性质计算求解，若选③：利用直接计算；（2）根据对数的运算，可知数列为等差数列，直接求和即可.小问1详解】由，当时，，即，即，所以数列是公比为的等比数列，若选①：由，即，，所以数列的通项公式为；若选②：由，所以，所以数列的通项公式为；若选③：由，即，所以数列的通项公式为；【小问2详解】由（1）得，所以数列等差数列，所以.20、.【解析】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．根据非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要条件，可得，1﹣m≤1+m，解得m范围【详解】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．∴P=[﹣2，10]非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要条件，∴，1﹣m≤1+m，解得0≤m≤3∴m的取值范围是[0，3]【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21、（1）；（2）.【解析】（1）由递推式