（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型08 一元二次不等式的求解问题（解析版）

常考题型08一元二次不等式的求解问题1.一元二次不等式：一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解与解集一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解。一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。3.分式不等式若f(x)与g(x)是整式且g(x)中含有未知数(g(x)≠0)，则不等式f(x)>0(或<0)称为分式不等式.4.一元高次不等式：最高次项的次数高于二次的不等式称为高次不等式。5.含参数的不等式恒成立问题通过分离参数，把参数的范围问题转化为函数的最值问题。6.一元二次不等式的恒成立问题通过抛物线的开口方向以及相应方程的判别式与零的关系列式解决。考法一：解一元二次（高次）不等式及分式不等式1.解一元二次不等式(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax²+bx+c>0(a>0)或ax²+bx+c<0(a>0)的形式；(2)计算相应方程的判别式；(3)当△≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集.2.解分式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x3.解一元高次不等式(1)将不等式化为标准形式：一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正）或二次不可分解因式的积.(2)求出各因式等于0时的实数根，并在数轴上依次标出。(3)自最右端上方起，用曲线自右至左依次由各根穿过数轴，遇到奇次重根一次穿过，遇到偶次重根穿而不过.(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集.这种方法叫根轴法或穿根法或穿针引线法。考法二：含参数的一元二次不等式的解法一般步骤：(1)二次项系数若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断相应方程的根的个数，讨论判别式△与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式。考法三：二次不等式恒成立与有解问题1.图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.2.更换主元法：如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗.一般思路为将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解.3.分离参数法：如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值（或范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min。探究一：解不含参数的一元二次不等式解下列不等式：(1)；(2)．思路分析：思路分析：（1）分解因式得，进而解即可；（2）将不等式转化为，再解不等式即可.【解析】（1）解：原不等式因式分解得，因为，所以，解得或，因此，原不等式的解集为或；（2）解：由，得，即，等价于，解得或，因此，原不等式的解集为或．【答案】(1)或；(2)或【变式练习】1．不等式的解是___________.【答案】【解析】由题设，，∴，可得，原不等式的解集为.故答案为：.2．不等式的解集是____________.【答案】【解析】依题意，不等式化为：，解得：或，解，即得：，所以不等式的解集是.故答案为：探究二：解含参数的一元二次不等式“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”有如下解法:由，得，令，则，即:，所以不等式的解集为.参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________.思路分析：思路分析：根据已知条件将不等式变形为，由此得到的取值范围，从而可求解出的取值范围，即可求解出不等式解集。【解析】已知关于的不等式的解集为，令，原不等式化为，又因为，所以，解得故答案为：.【答案】【变式练习】1．设，则关于的不等式的解集是_________.【答案】【解析】时，，且，则关于的不等式可化为，解得或，

所以不等式的解集为，，．故答案为：2．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是______．【答案】【解析】解：由不等式的解集是，可知，且，所以，不等式可化为，解得．所以不等式的解集是.故答案为：探究三：由一元二次不等式的解确定参数已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集是___________．思路分析：思路分析：结合一元二次方程与一元二次不等式的关系可得的关系及范围，然后结合一元二次不等式的求法即可求解。【解析】解：关于x的不等式的解集为则方程的两个分别为：，且由韦达定理得：所以不等式转化为：，整理得即，解得：所以不等式的解集为：.故答案为：.【答案】【变式练习】1．如果关于的不等式的解集是，那么等于_________.【答案】81【解析】不等式可化为，其解集是，那么，由根与系数的关系得，解得，；所以．故答案为：812．知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为______．【答案】2【解析】∵的解集为，∴,且方程的两根为m，，∴,，∴，∵，∴，即，当且仅当时取“=”．∴，当且仅当时取“=”，∴的最小值为2．探究四：一元二次不等式在某区间上的恒成立问题已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________.思路分析：思路分析：对分两种情况讨论，再转化为恒成立问题，分别求出函数的最值，即可得到答案。【解析】，①当时，；②当时，，，，，综上所述：.故答案为：.【答案】【变式练习】1．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】解：要使对任意的，恒成立，即在上恒成立，即当时，函数的图像在函数图像的下方，由图像得，要使上述成立，只需，即，则①式解得，②式解得，所以.故答案为：.2．已知不等式，若对任意及，该不等式恒成立，则实数的范围是___________.【答案】【解析】由题意可知：不等式对于，恒成立，即对于，恒成立，令，则，在上恒成立，，，，故答案为：探究五：一元二次不等式在某区间上的有解问题设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是___________.思路分析：思路分析：分别求出命题，为真时对应的的取值范围，依题意可知命题，一真一假，进而可求得结果。【解析】对于：成立，而，有，∴，∴；对于：存在，使得不等式成立，只需，而，∴，∴；若为假命题，为真命题，则，一真一假.若为假命题，为真命题，则，所以；若为假命题，为真命题，则，所以.综上，或，即实数的取值范围是.故答案为：.【答案】【变式练习】1．若存在实数满足，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】解：由题意可得，存在实数时，令，即，对称轴为：所以在单调递增故即所以实数a的取值范围为：故答案为：2．若至少存在一个，使得关于x的不等式成立，则实数m的取值范围是______________．【答案】【解析】解：不等式可化为：；若对任意，都有，作函数与的图象如下，结合图象可知，当或时，对任意，都有；所以实数m的取值范围是．故答案为：，．一、单选题1．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为(

)A． B．C． D．或【答案】B【解析】当a＝0时，不等式变为－2＜0恒成立，故a＝0满足题意；当a≠0时，若恒成立，则，即，解得．综上，．故选：B．2．不等式的解集为（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【解析】可化为，即，即或．所以不等式的解集为或.故选：A3．若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由不等式在上有实数解，等价于不等式在上有实数解，因为函数在上单调递减，在单调递增，又由，所以，所以，即实数的取值范围是.故选：A.4．不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】可变形为，令，得，，所以或，即不等式的解集为.故选：A.5．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】由题意知，，当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，即，解得.故选：C.6．已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（

）A．9 B．8 C．6 D．4【答案】D【解析】∵函数（）的最小值为0，∴，∴，∴函数，其图像的对称轴为．∵不等式的解集为，∴方程的根为m，，∴，解得，，又∵，∴．故A，B，C错误.故选：D．7．若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为不等式的解集为，由题意得不等式的解集是的子集，不等式，即，①当时，不等式的解集为，满足；②当时，不等式的解集为，若，则，所以；③当时，不等式的解集为，满足；综上所述，实数a的取值范围为．故选：B．8．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解不等式，得或解方程，得，（1）当，即时，不等式的解为：此时不等式组的解集为，若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；（2）当，即时，不等式的解为：此时不等式组的解集为，若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；综上，可知的取值范围为故选：B二、多选题9．已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（

）A．B．C．的解集为D．的解集为或【答案】ABC【解析】不等式的解集为，，故A正确；，令，，即，故B正确；由上所述，易知，，由题意可得为一元二次方程，则，，则，，即为方程的解，则可知不等式的解集为，故C正确，D错误.故选：ABC.10．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．关于x的不等式的解集可以是B．关于x的不等式的解集可以是C．函数在上可以有两个零点D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”【答案】BCD【解析】若不等式的解集是，则且，得，而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；取，，此时不等式的解集为，故B正确；取，，则由，得或3，故C正确；若关于x的方程有一个正根和一个负根，则得，若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，且，即关于x的方程有一个正根和一个负根．因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确．故选：BCD．11．已知，关于x的不等式的解集可能是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】当时，不等式等价于，解得；当时，不等式的解集是；当时，不等式等价于，解得或；当时，不等式的解集为；当时，不等式等价于，解得或．故选:BCD．三、填空题12．设集合，，若，则m的值为_________.【答案】4【解析】当时，，显然，不符合题意；当时，，因为，所以必有；当时，，显然，不符合题意.故答案为：.13．“，”是假命题，则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】由题意可知，“，”的否定是真命题，即“，”是真命题，当时，，不等式显然成立，当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，综上，实数的取值范围为.故答案为：.14．设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是___________，全部不等式的整数解的和为___________.【答案】

-2或-1

-10【解析】若，则原不等式为，即，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故.设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解，所以，即，所以，又，所以或，若，则不等式为，解得，因为为整数，所以；若，则不等式为，解得，因为为整数，所以.所以全部不等式的整数解的和为.故答案为：-2或-1；-10.四、解答题15．解下列关于x的不等式：(1)；(2)【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）解：当时，，原不等式变形为，解得，故不等式的解集为，当时，，原不等式变形为，解得，故不等式的解集为，综上所述，不等式的解集为；（2）解：当时，则，解得，故不等式的解集为；当时，不等式因式分解可得，当时，则，解得，故不等式的解集为；当时，，解得，故不等式的解集为；当，即时，化为，解得或，故不等式的解集为；当，即时，化为，解得或，故不等式的解集为；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.16．（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）答案见解析．【解析】（1）由题意，恒成立，当时，不等式可化为，不满足题意；

当时，满足，即，解得；

（2）不等式等价于．当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为或；③当时，，不等式的解集为.17．设函数．(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)若，且，使成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由题意可知：方程的两根是，1所以解得（2）由得，成立，即使恒成立