（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型09 应用基本不等式求最值和证明不等式（原卷版）

常考题型09应用基本不等式求最值和证明不等式1.如果a，b都是正数，那么a+b2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立。我们称上述不等式为基本不等式，其中a+b2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b2.利用基本不等式求最值时，等号必须取得才能求出最值，若由于定义域或题设的限制使等号不能成立，则要换另一种方法解答，如函数的单调性等。3.几个常用的重要结论(1)ba+ab≥2(a与b同号，当且仅当(2)a+1a≥2(a>0，当且仅当a=1时取等号)，a+1a≤-2(a(3)ab≤a+b22(a，b∈R，当且仅当a=b(4)(a，b>0，当且仅当a=b时取等号)。考法一：求最值1.直接法：利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等。(1)各项或各因式均为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值。2.配凑法：在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后利用基本不等式.常用方法有：(1)加项变换；(2)拆项变换；(3)统一换元；(4)平方后利用基本不等式。3.常数代换法：若不直接满足应用基本不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，其中常数代换法应用比较广泛，如构造“1”的代换等。考法二：证明不等式1.两种常见类型：一是无附加条件的不等式证明；二是有附加条件的不等式证明。2.要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件。3.若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，常用常数代换.解题过程中要时刻注意等号能否取到。探究一：基本不等式求积的最大值已知，，，则的最大值为___________.【变式练习】1．已知，，，则的最大值为________．2．已知对任意，，恒有成立，则实数a的取值范围为______．探究二：基本不等式求和的最小值已知，若，则的最小值为___________．【变式练习】1．设关于x的一元二次方程的两个解分别为，则的最小值为___________．2．已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．探究三：二次与二次（或一次）的商式的最值不等式的解集为，则的最大值为____________.【变式练习】1．是不同时为0的实数，则的最大值为________．2．已知，则的最大值为______________;探究四：利用基本不等式证明不等关系已知a，b，c均为正实数，求证：(1)；(2)．【变式练习】1．已知a，b，c均为正实数.(1)求证：.(2)若，求证：.2．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件.(1)若，则；(2)若，则.一、单选题1．已知，则的最大值为（）A．2 B．4 C．5 D．62．若，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．负实数，满足，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．4．设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．5．已知正实数a，b，c，d满足，则最小值为（

）A．4 B． C．9 D．106．已知为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．37．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．已知的斜边长为2.则下列关于的说法中，正确的是A．周长的最大值为 B．周长的最小值为C．面积的最大值为2 D．面积的最小值为1二、多选题9．以下结论正确的是（

）A．函数的最小值是2；B．若且，则；C．的最小值是2；D．函数的最大值为0．10．下列说法正确的有（

）A．的最小值为2B．已知，则的最小值为C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3D．设x，y为实数，若，则的最大值为11．下列说法正确的有（

）A．若，则的最大值是-1B．若，，都是正数，且，则的最小值是3C．若，，，则的最小值是2D．若实数，满足，则的最大值是三、填空题12．若实数满足，则的最大值为___________.13．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________.14．已知，，下面四个结论:①；②；③若，则；④若，则的最小值为；其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上)四、解答题15．已知x，y都是正实数．(1)求证：；(2)若，求的最小