（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型14 函数奇偶性的判断、证明与应用（原卷版）

常考题型14函数奇偶性的判断、证明与应用奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称考法一：函数奇偶性的判定与证明1.定义法判断函数的奇偶性时，必须先判断函数定义域是否关于原点对称.若对称，再验证=±或其等价形式±=0是否成立.具体做法如下第一步，确定函数的定义域.第二步，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，若对称，进行第三步.第三步，判断与的关系，并确定结论.若=，则该函数是偶函数；若=-，则该函数是奇函数；若≠且≠-，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数；若=且=-，则该函数既是奇函数也是偶函数.2.性质法(1)如果一个函数可以写成两个常见函数的和、差、积、商形式，那么可以根据这两个函数的奇偶性直接判断出这个函数的奇偶性.(2)复合函数的奇偶性原理:有偶则偶，同奇为奇.3.分类讨论法判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点通过分类讨论进行判断.4.配凑法判断或证明抽象函数的奇偶性，需要利用已知条件找准方向，巧妙赋值，配凑出f(-x)与f(x)的关系，再利用奇函数、偶函数的定义加以判断.考法二：函数的奇偶性的应用1.求函数值利用函数的奇偶性求函数值时，要注意:若函数是奇函数，则=-；若函数是偶函数，则==.2.求函数解析式利用函数的奇偶性求函数解析式的步骤(1)将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围.(2)将转化后的自变量代入已知解析式.(3)利用函数的奇偶性求出解析式.3.求参数在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足=-或偶函数满足=列等式，根据等式两侧对应项相等确定参数的值.4.求不等式的解集已知函数的奇偶性以及它的部分图象求解有关不等式的解集时，可以根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，画出函数的图象，结合图象求解相关不等式的解集.5.比较函数值的大小根据函数奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为与的相等或相反关系，体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.探究一：利用函数奇偶性求函数解析式已知是奇函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【变式练习】1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．2．定义在上的奇函数，当时，，则在时的(

)A． B． C． D．探究二：利用函数奇偶性求参数若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．1【变式练习】1．已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2．已知定义在R上的偶函数．若正实数a，b满足，则的最小值为（

）A．9 B．5 C．25 D．探究三：利用函数奇偶性解不等式已知，若，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式练习】1．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（

）A． B．C． D．探究四：利用函数奇偶性比较大小定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．【变式练习】1．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（

）A． B．C． D．2．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（

）A． B．C． D．一、单选题1．下列函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．，2．已知对任意都有，且与都是奇函数，则在上有（

）A．最大值 B．最小值C．最大值 D．最小值3．下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．4．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（

）A． B． C． D．5．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．函数是奇函数 B．函数的值域是C．函数在R上是增函数 D．方程有实根6．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（

）A． B． C． D．7．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知函数是偶函数，且函数的图像关于点对称，当时，，则（

）A． B． C．0 D．2二、填空题9．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．10．函数是定义在上的奇函数，，当时，，不等式的解集为__________.11．已知偶函数的定义域为，且图象是连续不断的，若，，当时，有，则满足不等式的实数a的取值范围是________．12．若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为__________三、解答题13．已知是奇函数，且.(1)求实数的值．(2)判断函数在上的单调性，并加以证明．(3)求的最大值．14．设函数，．(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．(2)若是偶函数，求实数a的值．(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．15．设函数，，令函数．(1)若函数为偶函数，求实数a的值；(2)若，求函数在区间上的最大值；(3)试判断