专题03 解一元二次方程的八种考法（原卷版）-2025数学常考压轴题上册九年级湘教版

专题03解一元二次方程的八种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、利用直接开平方法解一元二次方程的复合型 2类型二、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 3类型三、配方法的应用 7类型四、用公式法求解一元二次方程 11类型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 13类型六、用十字相乘法求解一元二次方程 15类型七、与新定义型有关的求解一元二次方程 18类型八、换元法解一元二次方程 21压轴能力测评（12题） 25解题知识必备知识点一、直接开方法解一元二次方程直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.知识点二、配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．知识点三．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.知识点四.用因式分解法解一元二次方程（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.压轴题型讲练类型一、利用直接开平方法解一元二次方程的复合型例1.（23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程：【变式训练1】（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程：【变式训练2】（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：．【变式训练3】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程：类型二、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程例2.（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：．【变式训练1】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）解方程：（配方法解）．【变式训练2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程：．【变式训练3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：(1)；(2)；(3)；(4)【变式训练4】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：解：原方程可变形为，（第一步）∴，（第二步）∴，（第三步）∴，（第四步）∴，（第五步）∴，．（第六步）(1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的．(2)请写出此题正确的解答过程．类型三、配方法的应用例3.（23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）阅读理解：一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4．请同学们思考以下问题：(1)已知代数式，此代数式有最值（填“大”或“小”），且值为．(2)已知代数式，此代数式有最值（填“大”或“小”），且值为．(3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论．【变式训练1】（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读并解答问题：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1．(1)当_______时，代数式有最_______（填写“大”或“小”）值，为______．(2)代数式有最大值或最小值吗？若有，请求出这个最大值或最小值．【变式训练2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________．（2）当__________时，多项式的最大值为__________．（3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值．【变式训练3】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与的大小，填“>”“<”或“=”：当时，；当时，；当时，；（2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由；（3）拓展，试通过计算比较．与的大小．【变式训练4】（23-24八年级下·山东济南·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：

(1)填空：（______）______；(2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由．(3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米?类型四、用公式法求解一元二次方程例4.（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：．【变式训练1】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：．【变式训练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：【变式训练3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．类型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程例5．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）：(1)；(2)．【变式训练1】（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：．【变式训练2】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：．【变式训练3】（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程：(1)；(2)．类型六、用十字相乘法求解一元二次方程例6.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式①竖分二次项与常数项：②交叉相乘，验中项：

③横向写出两因式：（2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解：方程左边因式分解得或试用上述这种十字相乘法解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)．【变式训练1】（2024·广东广州·二模）解方程：．【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式①竖分二次项与常数项：，②交叉相乘，验中项：③横向写出两因式：（2）若，则或，所以方程可以这样求解：方程左边分解因式得∴或∴，上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：(1)；(2)．【变式训练3】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答：解：①坚分二次项与常数项：．②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：

③横向写出两因式：．我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法．（2）根据乘法原理：若，则或．试用上述方法和原理解下列方程：①；②；③；④．类型七、与新定义型有关的求解一元二次方程例题：（23-24八年级下·山东泰安·期末）定义新运算：规定，例如，若，则x的值为．【变式训练1】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为．【变式训练2】（2024·山东聊城·二模）对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为．【变式训练3】（23-24九年级上·广东珠海·阶段练习）对于实数、，定义运算“※”：，如果，则x的值为．类型八、换元法解一元二次方程例8.（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）阅读下列例题的解答过程：解方程：．解：设，则原方程可以化为．∴，，，∴，∴，∴y1=−1，当时，，∴；当时，，∴．∴原方程的解为，．请仿照上面的例题解方程：．【变式训练1】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）阅读下面的材料，解答后面的问题．材料：解方程．解：设，原方程变为，解得或．当时，即，解得；当时，即，解得．综上所述，原方程的解为，，，．问题：(1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________．A．加减消元法

B．代入消元法

C．换元法

D．待定系数法(2)采用类似的方法解方程：．【变式训练2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．当时，，．当时，，，．原方程的解为，，，．由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．阅读后解答问题：(1)利用上述材料中的方法解方程：；(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．【变式训练3】（23-24九年级上·广东汕头·期中）综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解这个方程得：，，当时，，；当时，，，所以原方程有四个根：，，．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：(1)解方程：．(2)若，求的值．压轴能力测评（12题）一、单选题1．（23-24九年级上·广东湛江·期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（）A． B．C． D．2．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“”，使，则方程的解为（）A． B．，C． D．二、填空题3．（2024·山东泰安·二模）关于y的方程的解是．4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知代数式，则A的最小值为．三、解答题5．（23-24九年级上·浙江台州·期中）解下列方程：6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）解方程：．7．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）解方程：(1)；(2)．8．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．9．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）选用适当方法解下列方程：(1)(2)(3)(4)10．（23-24九年级上·吉林长春·期末）阅读材料，并回答问题．小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：解：．．①．②．③．④．⑤．⑥问题：(1)上述过程中，从步开始出现了错误（填序号）；(2)发生错误的原因是：；(3)写出这个方程的解：．11．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）阅读材料，并解答问题：数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程，我们将看成一个整体，然后设，则原方程化为，∴，解得，．当时，，∴；当时，，∴．综上所述：，，，．请利用以上方法解下面方程：(1)；(2)；(3)．12．（23-24八年级下·山东济宁·期末）学习的本质是提高