欧几里得空间课件

欧几里得空间满足性质：当且仅当

时一、欧氏空间的定义1.定义设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量、定义一个二元实函数，记作，若（对称性）（数乘）（可加性）（正定性）①

V为实数域R上的线性空间;②V除向量的线性运算外，还有“内积”运算;③

欧氏空间V是特殊的线性空间则称

为

和

的内积，并称这种定义了内积的实数域R上的线性空间V为欧氏空间.注：例1．在中，对于向量

当时，1）即为几何空间中内积在直角坐标系下的表达式.即这样对于内积就成为一个欧氏空间.易证满足定义中的性质～.1）定义

（1）

所以为内积

2）定义

从而对于内积也构成一个欧氏空间.由于对未必有注意：所以1），2）是两种不同的内积.从而对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.易证满足定义中的性质～.所以也为内积

例2．为闭区间上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数，定义（2）

则对于（2）作成一个欧氏空间.证：

且若则从而故因此，为内积，为欧氏空间.推广：

2.内积的简单性质V为欧氏空间，2)欧氏空间V中，使得有意义.二、欧氏空间中向量的长度1.引入长度概念的可能性1）在向量的长度（模）

2.向量长度的定义称为向量的长度.特别地，当时，称为单位向量.

3.向量长度的简单性质3）非零向量的单位化：

（3）

1）在

中向量与的夹角

2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先三、欧氏空间中向量的夹角1.引入夹角概念的可能性与困难应证明不等式：

此即,（4）

对欧氏空间V中任意两个向量，有（5）2.柯西－布涅柯夫斯基不等式当且仅当线性相关时等号成立.证：当时，结论成立.当时，作向量由内积的正定性，对，皆有（6）取代入（6）式，得即两边开方，即得当线性相关时，不妨设于是，(5)式等号成立.反之，若（5）式等号成立，由以上证明过程知或者，或者也即线性相关.3.柯西－布涅柯夫斯基不等式的应用（7）1）柯西不等式由柯西－布涅柯夫斯基不等式有从而得证.证：在中，与的内积定义为2）施瓦滋不等式（7）

证：

两边开方，即得（7）成立.对欧氏空间中的任意两个向量有3）三角不等式设V为欧氏空间，为V中任意两非零向量，的夹角定义为4.欧氏空间中两非零向量的夹角定义1：①零向量与任意向量正交.注：②即.设为欧氏空间中两个向量，若内积

则称与正交或互相垂直，记作

定义2：5.勾股定理设V为欧氏空间，证：若欧氏空间V中向量两两正交，推广：则证：若则即例3、已知在通常的内积定义下，求解：又通常称为与的距离，记作设V为欧氏空间，为V的一组基，对V中任意两个向量四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示令（8）定义：矩阵称为基的度量矩阵.（9）则（10）①度量矩阵A是实对称矩阵.②由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵.注：事实上，对，即有为正定矩阵.③由（10）知，在基下，向量的内积由度量矩阵A完全确定.

④对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.证：设为欧氏空间V的两组基，它们的度量矩阵分别为A、B，且设则于是欧氏空间V的子空间在所V中定义的内积之下也是一个欧氏空间，称之为V的欧氏子空间.五、欧氏空间的子空间一、正交向量组二、标准正交基三、正交矩阵9.2标准正交基设Ｖ为欧氏空间，非零向量①若则是正交向量组.②正交向量组必是线性无关向量组.一、正交向量组定义：如果它们两两正交，则称之为正交向量组.注：证：设非零向量两两正交.令则由知故线性无关.④

维欧氏空间中正交向量组所含向量个数③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．例如：中线性无关．但不是正交向量组.1.几何空间中的情况在直角坐标系下是由单位向量构成的正交向量组，即

二、标准正交基是的一组基.设

①从②③得④即在基下，中的与内积有关的度量性质有

简单的表达形式.维欧氏空间中，由个向量构成的正交向量组称为正交基；2.标准正交基的定义由单位向量构成的正交基称为标准正交基.

注：①由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基.②维欧氏空间V中的一组基

为标准正交基③维欧氏空间V中的一组基为标准正交基当且仅当其度量矩阵

(1)

④维欧氏空间V中标准正交基的作用:设为V的一组标准正交基，则(i)设由(1)，(ii)

(3)这里

(iii)有

(2)(定理1)维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证：设欧氏空间Ｖ中的正交向量组，对作数学归纳法．当时,

3.标准正交基的构造

─施密特(Schmidt)正交化过程

就是一组正交基了.

1）使假设时结论成立，即此时可找到向量

成为一组正交基.现在来看的情形.所以必有向量不能被线性表出，因为作向量待定．从正交向量组的性质知于是取即为正交向量组．由归纳法假设知，对这个向量构成的正交组可得可扩充得正交基.于是定理得证．2）都可找到一组标准正交基使证：基本方法─逐个构成出满足要求的(定理2)对于维欧氏空间中任一组基首先，可取

一般地，假定已求出是单位正交的，且

(4)

当时，因为有由(4)知不能被线性表出．按定理1证明中的方法，作向量(5)

即再设

可知是单位正交向量组．从(4)和(5)知与

是等价向量组，因此，有由归纳原理，定理2得证.则且

则过渡矩阵是上三角形（即）

注：且①由知，若②Schmidt正交化过程:化成正交向量组先把线性无关的向量组再单位化得标准正交向量组例1.

把

变成单位正交的向量组.解：正交化令再单位化即为所求．例2.

在中定义内积为

求的一组标准正交基．(由基出发作正交化)解:取正交化单位化于是得的标准正交基设与是维欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是

即

4.标准正交基间的基变换或由于是标准正交基，所以（6）由公式（3），有（7）

把A按列分块为由（7）有（8）

则称A为正交矩阵.

2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.三、正交矩阵1．定义设若Ａ满足2．简单性质1）A为正交矩阵3）设是标准正交基，A为正交矩阵，若

则

也是标准正交基.

4）为正交矩阵A的列向量组是欧氏空间的标准正交基.6）为正交矩阵A的行向量组是欧氏空间的标准正交基.5）为正交矩阵一、欧氏空间的同构二、同构的基本性质9.3同构一、欧氏空间的同构定义：实数域R上欧氏空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个1－1对应，适合这样的映射称为欧氏空间V到V'的同构映射.1、若是欧氏空间V到V'的同构映射，则也是线性空间V到V'同构映射.2、如果是有限维欧氏空间V到V'的同构映射，则3、任一维欧氏空间V必与同构.二、同构的基本性质标准正交基，证：设V为维欧氏空间，为V的一组在这组基下，V中每个向量可表成

作对应易证是V到的对应.且满足同构定义中条件1）、2）、3），故为由V到的同构映射，从而V与同构.①反身性；②对称性；③传递性.4、同构作为欧氏空间之间的关系具有：①单位变换是欧氏空间V到自身的同构映射.②

若欧氏空间V到V'的同构映射是，则是其次，对有事实上，首先是线性空间的同构映射.欧氏空间V'到V的同构映射.为欧氏空间V'到V的同构映射.③若分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射，

则是欧氏空间V到V"的同构映射.事实上，首先，是线性空间V到V"的同构映射.其次，对有为欧氏空间V到V"的同构映射.5、定理3

两个有限维欧氏空间V与V'同构一、一般欧氏空间中的正交变换二、n维欧氏空间中的正交变换§9.4正交变换一、一般欧氏空间中的正交变换1.定义即，欧氏空间V的线性变换如果保持向量的内积不变，则称为正交变换.注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广.2.欧氏空间中的正交变换的刻划下述命题是等价的：（定理4）设是欧氏空间V的一个线性变换.3）保持向量间的距离不变，即2）保持向量长度不变，即1）是正交变换；证明：首先证明1)与2)等价．即，两边开方得，若是正交变换，则有，(1)(2)若保持向量长度不变，则对把(3)展开得，再由(1)(2)即得，(3)是正交变换．再证明2)与3)等价．根据２）故3）成立.若则有，即，故2）成立.二、维欧氏空间中的正交变换1.

维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基不变的线性变换．是V的标准正交基，则也是V的标准正交基.1).若是维欧氏空间V的正交变换，事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质即有，2).若线性变换使V的标准正交基变成变换．标准正交基，则为V的正交证明：任取设由为标准正交基，有故是正交变换．又由于为标准正交基，得2.维欧氏空间V中的线性变换是正交变换在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．设为V的标准正交基，且证明：的标准正交基，当是正交变换时，由1知，也是V而由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.设为V的标准正交基，且再由

1

即得为正交变换．由于当A是正交矩阵时，也是V的即，标准正交基，所以，A是正交矩阵．1）正交变换的逆变换是正交变换；2）正交变换的乘积还是正交变换．3.

欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射．因而有，（由同构的对称性可得之）（由同构的传递性可得之）4.

维欧氏空间中正交变换的分类：设维欧氏空间V中的线性变换在标准正交基1）如果则称为第一类的（旋转）;2）如果则称为第二类的．下的矩阵是正交矩阵A，则例、在欧氏空间中任取一组标准正交基定义线性变换为：则为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．一、正交子空间二、子空间的正交补9.5子空间一、欧氏空间中的正交子空间1．定义：1)

与是欧氏空间V中的两个子空间，如果对则称子空间与为正交的，记作则称向量与子空间正交，记作恒有2)对给定向量如果对恒有注：①

当且仅当中每个向量都与正交．

②③

当且时，必有

证明：设子空间两两正交，2．定理5两两正交的子空间的和必是直和．要证明中零向量分解式唯一．只须证：设由内积的正定性，可知

二、子空间的正交补1．定义：如果欧氏空间V的子空间满足并且则称为的正交补.

维欧氏空间V的每个子空间都有唯一正交补.证明：当时，V就是的唯一正交补．

当时，也是有限维欧氏空间.取的一组正交基2．定理6由定理1，它可扩充成V的一组正交基记子空间

显然,又对

即为的正交补.

再证唯一性.设是的正交补，则由此可得对由上式知

即有

又从而有

即有

同理可证唯一性得证.②

维欧氏空间V的子空间W满足:

①子空间W的正交补记为即

i)

ii)iii)注：ⅳ)W的正交补必是W的余子空间.但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.称为在子空间W上的内射影.3．内射影设W是欧氏空间V的子空间，由对有唯一的使一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题9.6对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质引理1

设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．证：设是A的任意一个特征值，则有非零向量满足其中为的共轭复数，令又由A实对称，有由于是非零复向量，必有故

考察等式，引理2

设A是实对称矩阵，在

n

维欧氏空间上定义一个线性变换如下：则对任意有

或证：取的一组标准正交基，则在基下的矩阵为A，即任取即于是又是标准正交基，即有又注意到在中

二、对称变换1．定义则称为对称变换．设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足

1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：

2．基本性质①

实对称矩阵可确定一个对称变换．

一组标准正交基．事实上，设为V的定义V的线性变换：则即为V的对称变换．②对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．为V的一组标准正交基，事实上，设为n维欧氏空间V上的对称变换，为

在这组基下的矩阵，即或于是即所以A为对称矩阵．由是对称变换，有2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间．对任取即证明：设是对称变换，W为的不变子空间．

要证即证由W是子空间，有因此故也为的不变子空间．1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量分别是属于的特征向量．

则

三、实对称矩阵的正交相似对角化是正交的．

正交基下的矩阵，证：设实对称矩阵A为上对称变换的在标准是A的两个不同特征值，由又即正交．(定理7)对总有正交矩阵T，使有即２．证：设A为上对称变换在标准正交基下的矩阵．由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有n个特征向量作成的标准正交基即可．n=1时，结论是显然的．

对的维数n用归纳法．

有一单位特征向量，其相应的特征值为，即假设n－1时结论成立，对设其上的对称变换设子空间显然W是子空间，则也是子空间，且

又对有所以是上的对称变换．由归纳假设知有n－1个特征向量构成的一组标准正交基．从而就是的一组标准正交基，又都是的特征向量．即结论成立．3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设

(i)

求出A的所有不同的特征值：其重数必满足;

(ii)

对每个，解齐次线性方程组

求出它的一个基础解系：它是A的属于特征值的特征子空间的一组基．正交基把它们按正交化过程化成的一组标准(iii)因为互不相同，且就是V的一组标准正交基．所以则T是正交矩阵，且将的分量依次作矩阵T的第1，2，…，n列，使为对角形．例1．设

求一正交矩阵T使成对角形．解：先求A的特征值．A的特征值为（三重）,其次求属于的特征向量，即求解方程组得其基础解系

把它正交化，得

再单位化，得这是特征值(三重)的三个单位正交特征向量，也即是特征子空间的一组标准正交基．再求属于的特征向量，即解方程组得其基础解

再单位化得

这样构成的一组标准正交基，它们都是A的特征向量，正交矩阵

使得

注：成立的正交矩阵不是唯一的．①对于实对称矩阵A，使而且对于正交矩阵T,

还可进一步要求事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T

取正交矩阵则是正交矩阵且同时有②如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的．③因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：设为实对称矩阵A的所有特征值(i)A为正定的(ii)A为半正定的(iii)A为负定（半负定）的

(iv)A为不定的且

④

实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数（重根按重数计）．n－秩(A)是0为A的特征值的重数.1．解析几何中主轴问题将上有心二次曲线或上有心二次曲面通过坐标的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.四、实二次型的主轴问题2．任意n元实二次型的正交线性替换化标准形1）正交线性替换如果线性替换X=CY的矩阵C是正交矩阵，则称之为正交线性替换.2）定理8任一n元实二次型

都可以通过正交的线性替换变成平方和

其中平方项的系数为A的全部特征值．例2、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是

（1）

（2）

则（1）式可以写成

令对（2）中的有正交矩阵C（且）确定的坐标变换公式

曲面（1）的方程化成

这样由（2）知道经过由的坐标轴旋转，或其中

这时，再按是否为零，作适当的坐标轴的平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程．如当

全不为零时，作平移

曲面方程（1）可以化为

其中一、向量到子空间的距离二、最小二乘法9.7向量到子空间的距离向量间的距离长度称为向量和的距离，基本性质（i）

（ii）并且仅当的等号才成立；（iii）(三角形不等式)

一、向量到子空间的距离

定义记为2.向量到子空间的距离(1)

设为一固定向量，如果与子空间中每个向量垂直，

称垂直于子空间记作如果则

注:

(2)

向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短.

如图示意，对给定，设是中的满足的向量，则对有因是子空间，则由勾股定理证明：故所以二、最小二乘法问题提出:实系数线性方程组（1）

即任意都可能使

（2）

不等于零．可能无解，设法找实数组使（2）最小,

这样的为方程组（1）的最小二乘解，

此问题叫最小二乘法问题.最小二乘法的表示:设

（3）

用距离的概念，（2）就是

由（3）,

设则要找使（2）最小，等价于找子空间

中向量使到它的距离比到

中其它向量的距离都短.

设这等价于

（4）

即

这样（4）等价于（5）

为此必或这就是最小二乘解所满足的代数方程.

已知某种材料在生产过程中的废品率与某种化学成份有关．下列表中记载了某工厂生产中与相应的的几次数值：找出对的一个